Obligatoriska inlämningsuppgifter. Del 1 av kursen.

Övningar till Mar 109
Grunder i matematik
ODE: grunder
Numeriska lösningar
Kopplade diffekv.
Obligatoriska inlämningsuppgifter. Del 1 av kursen.
Lös följande uppgifter. Ni får gärna jobba i grupp och välja grupperna själv. Det är bra om ni har olika
former av begåvning och att ni hjälper varandra. Ni får gärna samarbeta med andra grupper.
Inlämningsdatum är 2012-12-20. Men jag föreslår att ni lämnar in dem före biologidelen kommer
igång på alvar, dvs., 2012-12-12.
Inlämningsuppgift 1
Bakgrund
Solinstrålningen förändras med under dygnet. När man vill beräkna t.ex. planktonproduktionen
måste man ta hänsyn till det. Antag att solstrålningen ungefärligen ges av en formel
I  I 0 cos(t )  I1
där t är tiden given från 12.00 lokal tid. Låt oss anta att I0=625 Wm-2 och I1=425 under en klar
sommardag. Man kan även använda suncycle.m för att få fram solstrålning som funktion av lat, lon,
och tid (dag på året), då kan man lätt se på hur ljusintensitet förändras med position.
Produktionen av plankton ges av
GCHL 
I ( z)
 CHL
 I  I ( z ) CHL
I=20 Wm-2 är en konstant som bestämmer hur plankton kan använda ljus vid låg ljusintensitet, CHL
=1 dag-1 är tillväxttakten för plankton, CHL är concentrationen av klorofyll. Vi har även en metabolism
som ges av
M CHL  CHLCHL
Där CHL =0.3 dag-1 representerar planktonens metabolism.
Den totala netto produktionen till ett visst djup ges av
0

Ptot (t )    GCHL (t ) M CHL (t ) dz
 d

Frågor:
1. Hur ser ljusintensiteten ut på olika djup i havet (för olika tider på dygnet)? Beräkna vilket
djup som har 1 % ljusintensitet.
2. Vid vilket djup är nettoproduktionen lika med noll?
3. Över vilket djup är nettoproduktionen lika med noll (och vad kallas det djupet? vilken
signifikans har det?)
4. Vad blir djupet för noll nettoproduktion om man tar hänsyn till att ljuset ändras över dygnet?
Inlämningsuppgift 2
Analyser experimenten som din lätt förvirrade föreläsare demonstrerat till allmän förnöjelse.
Eftersom detta är så kul så gör du två till experiment.
A: du seriekopplar burkarna (dvs vattnet från ena burken rinner ner i den andra).
B: Du har seriekopplade burkar men använder två olika pumpar till de olika burkarna.
Frågor att besvara/filosofera över.
1. Sätt upp ekvationer som beskriver experimenten.
2. Bestäm ingående konstanter eller parametrar som vi måste veta.
3. Lös ekvationerna numeriskt.
4. Jämför med observationer.
5. Visa att vattenmängden är konstant (för ett slutet system),
6. Beräkna frånflödet ifall det är ett öppet system (dvs, om vattnet från sista behållaren rinner
ut i slasken)
Diskutera hur detta enkla experiment belyser viktiga ekologiska/biogeokemiska faktorer.
Övning 1: Grunder i Matematik (2012-12-05)
Uppgift 1.1: Algebra
Lös följande ekvationer
f ( x)  1
För de olika fallen
f ( x)  ax  b
f ( x)  ax 2  bx
f ( x)  2 x 3  x
Tips: sista ekvationen har en lösning x=1.
Fundera på: hur kan man lösa det med dator?
Uppgift 1.2:
Om det lyser med 300 Wm-2 på ytan, ta fram ljusintensiteten på 20 m djup om
extinktionskoefficienten är k=0.05 m-1, eller k=k0+ kCHL CHL där k0=0.02 m-1 och kCHL=0.02 mg-1m3 m-1
där CHL=2 mgm-3 är klorofyllkoncentrationen.
Tips från coachen: I ( z )  I 0 e kz
Uppgift 1.3: Derivata
Visa att
f ( x)  Aekx
Är en lösning till både
f ' ( x)  kf ( x)
f ( 0)  A
Uppgift 1.2b:
Visa att
f ( x)  Aekx
Omöjligt kan vara en lösning till
f ' (1)  0
under antagande att vi har en icke triviell lösning.
Uppgift 1.4: Derivata igen
Visa att
f ( x)  Aekx  Be  kx
Är en lösning till både
f ' ' ( x)  k 2 f ( x)
f (0)  A  B
f ' (0)   A  B k
Om vi vill att f ska ge 1 vid x=0 noll flöde vid x=0 (i.e., f’(x=0)=0, hur ska vi välja A och B?
Uppgift 1.4b
Om vi vill att f’(x=0)=-1, och f(x=1)=0. Hur ska vi välja A och B?
f ' ' ( x)  k 2 f ( x)
f (0)  A  B
f ' (0)   A  B k
Uppgift 1.5: Integration
Utför integrationen
2
 f ( x)dx
1
där
f ( x)  ax  b
f ( x)  Ae x
f ( x)  B sin( kx)
Utför integrationen
2
 f (q)dq
1
För ovanstående (sitt inte för länge med denna, det är enklare än ni tror).
Hur skulle ni lösa integralen i matlab? Skissera på hur programmet kan se ut.
Uppgift 1.6: Integration 2, verkliga verkligheten
Solinstrålningen under dagen ges ungefärligen av en formel
I  I 0 cos(t )  I1
där t är tiden given från 12.00 lokal tid. Låt oss anta att I0=625 Wm-2 och I1=425 under en klar
sommardag.
1. Vad är vinkelfrekvensen ?
2. När går solen upp och ner?
3. Hur mycket soljusinstrålning kommer det in över en dag?
4. Om det är 5 m djupt i en vik, hur mycket varmare blir det över en dag om man bara räknar
med inkommande solstrålning?
Uppgift 1.7: jaha derivata igen :/
Visa att
f ( x)  A sin( kx)  BA cos( kx)
Är en lösning till
f ' ' ( x)  k 2 f ( x )
Varför tror ni att jag tjatar så om den här typen av uppgifter?
Uppgift 1.8:
Lös x 3  1
Varför i hela friden ska man kunna något sådant, va?
Övvning 2 (ODE) (2012-12-06)
Uppgift 2.1:
Du har jästsvamp i ett kar. Massan växer exponentiellt och massan fördubblas var 18’e timme.
1. Bestäm den exponentiella tillväxttakten?
2. Efter 10 dagar har du 1 kg jäst, hur mycket hade du när du startade?
3. Efter hur lång tid hade du 0.5 kg?
4. Hur ser ekvationen ut som beskriver jästmängden?
Uppgift 2.2:
Ta fram trycket på 5000 m djup. Inget fusk utan härled ekvationen för hur trycket förändras med
djupet.
Uppgift 2.3
Utför experimenten som din lätt förvirrade föreläsare demonstrerat till allmän förnöjelse. Vi kan med
viss säkerhet säga att vattenytan bestäms av en ekvation
A
dh
 Fin  Fout
dt
Där
Fout  hAutlopp
Med två experiment kan man bestämma två konstanter. Identifiera och bestäm två konstanter
(parametrar) som beskriver systemet.
Klurilurigt, om man är lite lat, räcker det med ett experiment? I så fall vad bör man observera och hur
kan man bestämma parametrarna från de observationerna?
Uppgift 2.4
Lite mer kuligt om experimentet
Hur ser tidsberoendet ut i experimentet?
Efter hur lång tid når vattennivån halva slutliga nivån?
Uppgift 2.5
Ännu mer kuligt om experimentet
Om vattnet rinner ner i en ny burk, hur kommer vattenståndet i den andra burken att förändras med
tiden?
Uppgift 2.6
Din lätt klantige räkneövningsledare råkar hälla färg i behållaren. Hur lång tid tar det innan färgen
försvinner? Hmm, vad menar man med försvinner egentligen?
Följdfråga: Jaha, din korkade bror som jobbar på pappersbruk ringde precis. De har en läcka
någonstans. Vattennivån i behållaren hålls konstant så de vet inte riktigt hur mycket det läcker. Men
det visar sig att han inte är fullt så korkad som man kan tro. Han hällde i färgämne i behållaren och
efter 24 timmar var 30% av färgen kvar. Behållaren är 10 m3, hur stor är läckan?
Uppgift 2.7
Man använder ofta optiska metoder för att bestämma hur mycket färgämne man har i en behållare.
Man lyser med en lampa och så har man en ljusmätare. Ta fram en ekvation som beskriver hur ljuset
förändras när den färdas genom behållaren. Hur kommer ljuset från lampan att förändra sig i tiden
från experimentet i 2.6?
Uppgift 2.8
Beräkna hur ett isberg driver med de krafter som verkar på isberget. Ta hänsyn till luftens och
vattnets hastigheter i driftekvationen. Sätt upp en ekvation som beskriver problemet och lös det
numeriskt.
Övning 3: Numeriska metoder och kopplade ODE (2012-12-05)
Uppgift 3.1
Sätt upp en modell (dvs sätt upp relevanta ekvationer för situationen) för hur plankton tillväxer i
tiden och skriv att matlab-program som löser ekvationen numeriskt.
1. Ingen begränsning av näringsämne
2. Given mängd näringsämne
i. Visa att totala mängden näringsämne är konstant
3. Antag att det förs till näringsämne med en given takt. Hur förändras Tidsutvecklingen.
4. Ta med effekten av att plankton faller ur systemet.
a. Förklara vad som styr planktonkoncentrationen.
5. Hur kan man beskriva självskuggning?
Uppgift 3.2
Gör om Uppgift 2 men Inkludera ett zooplankton.