I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel
3, 6, 9, 12, 15, 18
eller
1, 2, 4, 8, 16, 32
Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18
och
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32
med dosans hjälp får vi den första summan till 63 och den andra också till 63. (Den
första frågan man ställer sig är förstås om alla summor av talföljder blir 63. Nej så
är det förstås inte.)
• Då differensen mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant
(alltid lika stor) kallar vi talföljden aritmetisk.
• Då kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant (alltid
lika stor) kallar vi talföljden geometrisk
De geometriska talföljderna lämnar vi här till nästa föreläsning.
När vi diskuterade talföljder var dessa ofta oändliga. När vi nu ska studera summor
av aritmetiska talföljder är de alltid ändliga.
Vad är summan av
1 + 2 + 3 + . . . + 98 + 99
Om man inte kommer på något bättre tvingas man knappa in 99 tal på dosan
komma fram till svaret efter 5 minuter.
När Carl Friedrich Gauss, kanske tidernas störste matematiker, gick i skolan, berättas det, blev han ofta klar med sina uppgifter långt före sina kamrater. Så långt
före, att det irriterade hans lärare, som hade svårt att finna lämpliga extrauppgifter.
På den tiden hade eleverna små griffeltavlor, i stället för kollegieblock, som de
räknade på. När den pressade magistern uppmanade Carl Friedrich att lägga ihop
talen 1 till 99 hade han tänkt sig få lite andrum. Men Carl Friedrich hade inte mer
än hört frågan innan ha direkt skrev ned summan på griffeltavlan och lade fram
Håkan Strömberg
1
KTH Syd
Figur 1:
den på lärarens kateder. Vilket tal stod det på tavlan och vilken teknik hade han
använt för att så snabbt kunna ge svaret?
Man behöver bara studera figur 1 ett ögonblick för att förstå Gauss idé.
Det finns 49 par av tal, som vart och ett har summan 100. Återstår sedan talet 50.
Vi får
s = 49 · 100 + 50 = 4950
Detta är ett exempel på hur man kan summera en aritmetisk talföljd. Nu över till
den inledande talföljden:
3, 6, 9, 12, 15, 18
och till en annan uppställning
3
18
21
6
15
21
9
12
21
12
9
21
15
6
21
18
3
21
• Vi startar med att skriva in talföljden på första raden
• Vi skriver i talföljden en gång till, men nu baklänges
• Vi adderar kolumnerna och blir inte förvånad över att alla summor blir lika.
• Vi summerar sedan summorna.
• Denna summa är förstås dubbelt så stor som den vi söker. Vi dividerar därför
med 2 och vi har den eftersökta summan.
Alltså
21 + 21 + 21 + 21 + 21 + 21
= 63
2
Talet 21 fick vi på 6 olika sätt. Speciellt då vi summerade det största och det minsta
talet i följden. Vi fick talet 21 lika många gånger som det finns tal i följden. Nu kan
vi skriva ner en formel som alltid gäller
s=
sn =
n(a1 + an)
2
n är antalet tal i talföljden. a1 är det första talet i följden (behöver inte vara det
minsta). an är det sista talet i talföljden (som inte heller behöver vara det största).
Håkan Strömberg
2
KTH Syd
Man kan enkelt ta reda på ett tal med ett bestämt ordningsnummer i en aritmetisk
talföljd. Ett exempel:
Vi har följden
11, 24, 37, 50, . . .
Vilket är det 2007 talet i denna talföljd? Vi konstaterar att differensen hela tiden är
13. Något som är ett krav för aritmetiska talföljder.
an = 11 + 13(n − 1)
För att få det önskade talet
a2007 = 11 + 13(2007 − 1) = 26089
Om differensen är d och det första talet är a1 får vi formeln
an = a1 + d · (n − 1)
för vilken aritmetisk talföljd som helst.
1 Skriv de fem första talen i den aritmetiska talföljden, där första talet är 80 och
differensen 10
Lösning:
80, 90, 100, 110, 120
2 Du vet att att det första talet i en aritmetisk talföljd är 123 och att differensen
är 39. Bestäm vilket ordningsnummer talet 591 har.
Lösning:
Vi har formeln
an = 123 + 39(n − 1)
Den här gången känner vi talet 591, men inte ordningsnumret n, som vi kan
ta reda på genom ekvationen
591
591 − 123 + 39
507
n
=
=
=
=
123 + 39(n − 1)
39n
39n
13
3 Vilket ordningsnummer har talet 784 i den aritmetiska talföljden
0, 7, 14, 21, . . .
Lösning:
Först skriver vi ned formeln
an = 7(n − 1)
Håkan Strömberg
3
KTH Syd
Sedan löser vi ekvationen
784 = 7(n − 1)
7n = 791
n = 113
Svar: Ordningsnumret är 113.
4 Beräkna den aritmetiska summan
5 + 16 + 27 + . . . + 1094 + 1105
Lösning:
Först måste vi ta reda på hur många termer serien innehåller. Formeln är
an = 5 + 11(n − 1)
Sedan löser vi ekvationen
1105 = 5 + 11(n − 1)
n = 101
Vi vet nu att summan innehåller 101 termer. Vi använder till sist formeln
101(5 + 1105)
= 56055
2
s=
5 Är talföljden aritmetisk? Beräkna i så fall summan av de 20 första talen.
a)
b)
c)
d)
6, 8, 10, 12, 14, . . .
2, 4, 8, 16, 32, . . .
36, 33, 30, 27, 24, . . .
125, 100, 80, 64, . . .
Lösning:
a) Formeln är
an = 6 + 2(n − 1)
a20 = 6 + 2(20 − 1) = 44. Summan blir då
s20 =
20(6 + 44)
= 500
2
Svar: 500
b) Ej aritmetisk
c) Formeln är
an = 36 − 3(n − 1)
a20 = 36 − 3(20 − 1) = −21. Summan blir då
s20 =
20(36 − 21)
= 150
2
Svar: 150
Håkan Strömberg
4
KTH Syd
d) Ej aritmetisk
6 Bestäm talet x, om talen
. . . , 8 + x, 10, 3 + 2x, . . .
finns efter varandra i en aritmetisk talföljd.
Lösning:
Alla differenser ska vara lika stora. Vi kan teckna differensen på två sätt och
får ekvationen
10 − (8 + x) = 3 + 2x − 10
10 − 8 − x = 3 + 2x − 10
9 = 3x
x = 3
7 I en aritmetisk talföljd är a10 = 20 och a20 = 10. Bestäm a30.
Lösning:
Antag att b1 = 20 då blir b11 = 10 och ordningsnumret på det tal vi söker 21.
b11 = b1 + d(11 − 1)
10 = 20 + d(11 − 1)
d = −1
Nu bestämmer vi
b21 = 20 − 1(21 − 1) = 0
Svar: a30 = 0
P
8 Symbolen , den grekiska bokstaven sigma, används normalt för att teckna
summor. Till exempel
3
X
2k + 1 = (2 · 1 + 1) + (2 · 2 + 1) + (2 · 3 + 1) = 3 + 5 + 7 = 15
k=1
Bestäm
4
X
3k − 1
k=0
Lösning:
Vi får summan
−1 + 2 + 5 + 8 + 11 = 17
Håkan Strömberg
5
KTH Syd
1L Skriv de fem första talen i den aritmetiska talföljden, där an = 20 + 4(n − 1)
2L Vilket är det 100:e talet i den aritmetiska talföljd där första talet är 9 och
differensen 10
3L Vilket ordningsnummer har talet 256 i den aritmetiska talföljden
1024, 1016, 1008 . . .
4L Beräkna
20
X
5i − 3
i=10
5L Bestäm
1000
X
(6(i + 1) − 6i)
i=1
6S När Adam stod på startlinjen inför årets maratonlopp. Kom han att tänka på
att summan av numren på de nummerlappar som var lägre än hans var lika
stor som summan av talen på de nummerlappar som högre än hans. Loppet
hade 288 deltagare. Vilket startnummer hade Adam?
1 a1 = 20. Differensen är 4, så talen blir
20, 24, 28, 32, 36
2 Vi använder direkt formeln
an = 9 + 10(n − 1)
för n = 100 och får
a100 = 9 + 10(100 − 1) = 999
3 Det är inget som hindrar att talföljden är avtagande, vilket betyder att d < 0.
Det är heller inget som hindrar att de ingående talen är < 0.
Först skriver vi formeln
an = 1024 − 8(n − 1)
Vi söker ordningsnumret för talet 256 och får ekvationen
256 = 1024 − 8(n − 1)
256 = 1024 − 8n + 8
8n = 1024 − 256 + 8
Håkan Strömberg
6
KTH Syd
4 När vi tolkat uttrycket rätt har vi summan
47 + 52 + 57 + 62 + 67 + 72 + 77 + 82 + 87 + 92 + 97
Med hjälp av formeln för aritmetiska summor får vi
s=
11(47 + 97)
= 792
2
5 Genom att förenkla finner vi snabbt svaret
1000
1000
X
X
(6(i + 1) − 6i) =
6 = 6000
i=1
i=1
6 Antag: Adam hade startnummer x. Summan av de nummer som var lägre än
Adams
1, 2, 3, . . . , x − 1
kan skrivas
x(x − 1)
(x − 1)(1 + x − 1)
=
2
2
Summan av de nummer som var högre än Adams
sL =
x + 1, x + 2, . . . , 288
kan skrivas
sH =
(288 − (x + 1) + 1)(x + 1 + 288)
(288 − x)(289 + x)
=
2
2
Genom att sätta sL = sH får vi ekvationen
(288−x)(289+x)
2
x(x−1)
2
=
x(x − 1) =
x2 − x =
2x2 =
x1 =
(x2 =
(288 − x)(289 + x)
83232 − x − x2
83232
204
−204)
Svar: Adam hade startnummer 204
Håkan Strömberg
7
KTH Syd
