Tenta - Högskolan i Halmstad

Högskolan i Halmstad
IDE/MPE-lab
Mikael Hindgren
Tentamensskrivning
Diskret matematik 4 p för D, E och T
Tisdagen den 9 januari 2007
Skrivtid: 13.30-17.30
Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt och skriv namn på varje papper. Skriv läsligt och högst
en uppgift per sida. För att erhålla full poäng på ett problem krävs en kortfattad men fullständig motivering
samt ett tydligt och exakt angivet svar på enklaste form. Betygsgränserna är 15 p för 3 och godkänd, 20
p för 4 och 25 p för 5.
1. (a) Bestäm den allmänna lösningen till differensekvationen
(4p)
yn+2 − 3yn+1 + 2yn = 2n+2 (n + 1), n ≥ 0.
(b) Bestäm den lösning yn i (a) för vilken y0 = 1 och y1 = 0.
2. (a) A = {1, 2, 3} och B = {a, b, c, d}. Hur många funktioner f : A → B finns det? Hur
många är injektiva respektive surjektiva? Vad blir motsvarande resultat för funktioner
g : B → A?
(1p)
(2p)
(b) Visa att
n
X
(2k)2 =
k=1
för alla heltal n ≥ 1.
2n(n + 1)(2n + 1)
3
(3p)
3. Hur många 30-siffriga “tal” kan man bilda med siffrorna 1, 2 och 3 om man bortser från
siffrornas inbördes ordning i talet (dvs bara tar hänsyn till vilka siffror talet innehåller) och
om de skall innehålla ett jämnt antal 1:or, högst 3 2:or och minst 4 3:or?
(5p)
4. Den sammanhängande och öglefria grafen G = (V, E) har 6 noder där alla noder har gradtal 4.
(a) Bestäm |V |.
(1p)
(b) Har G en Eulercykel respektive en Hamiltoncykel? Rita i förekommande fall en graf
som uppfyller villkoren ovan och ange en Euler- respektive Hamiltoncykel i denna graf. (3p)
(c) Är det möjligt att rita en graf med 7 noder där alla noder har gradtal 3?
5. (a) Visa att (a ≡ b ∧ c ≡ d) ⇒ ac ≡ bd (mod q) där a, b, c, d, och q är heltal.
(b) Bestäm alla positiva heltal x som satisfierar
(
x≡8
x ≡ 38
6. (a) Formulera och bevisa Eulers sats.
(1p)
(1p)
(4p)
(mod 9)
(mod 11)
(3p)
(b) Bestäm alla n ∈ N sådana att ϕ(n) = 10.
Lycka till!
(2p)