Poissonfördelning

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Poissonfördelning
POISSONFÖRDELNING
Poissonfördelningen används oftast för att beskriva antalet händelser som inträffar oberoende
av varandra under ett givet tidsintervall. En Poissonfördelad stokastisk variabel X kan anta en
av följande värden 0, 1, 2, 3, ... (icke-negativa heltal eftersom X= antalet händelser under en
given tidsperiod)
Exempelvis 1. antalet kunder som kommer till ett kösystem eller
2. antalet datapaket som kommer till en server
kan modelleras som Poissonfördelade stokastiska variabler.
Definition 1. Låt X vara en diskret stokastisk variabel vars värdemängd är 0, 1, 2,...k,...
Vi säger att X är en Poissonfördelning med parameter λ och betecknar X ∈ Po(λ ) om X har
följande sannolikhetsfunktion
P( X = k ) =
λk
k!
⋅ e −λ ,
k = 0, 1, 2, 3...
Anmärkning: Parameter λ i Poissonfördelningen kallas oftast för intensitet.
Egenskaper:
1. Låt X vara Poissonfördelad s.v. med parameter λ , dvs X ∈ Po(λ ) . Då gäller
a) väntevärdet E(X) = λ
b) variansen σ 2 = λ och därmed
c) standardavvikelsen σ = λ
2. (Viktigt i köteori) Om X1, X2,..., Xn är oberoende Poissonfördelade s.v. med parametrar
λ1 , λ2 ,..., λn , då är summan X1+X2+,...+Xn också en Poissonfördelade s.v. med parameter
λ = λ1 + λ2 + ... + λn .
3. (Andra intervall ) Låt X ∈ Po(λ ) vara en s.v. som beskriver antalet händelser som
inträffar under en viss tidsperiod av längden L. Alltså λ händelser inträffar i genomsnitt
under tidsperiod av längden L och därmed λt händelser inträffar i genomsnitt under
tidsperiod av längden L ⋅ t . Låt Y vara antalet händelser under tidsperioden L ⋅ t . Då är
Y ∈ Po(λt ) , med andra ord
( λ t ) k − λt
P(Y = k ) =
⋅e ,
k!
k = 0, 1, 2, 3...
4. (Sambandet mellan Poissonfördelning och exponentialfördelning)
Om antalet händelser K(t) under en tidsperiod av längden t är Poissonfördelad, K (t ) ∈ Po(λt ) ,
så är tiden T mellan två konsekutiva händelser exponentialfördelad, T ∈ exp(λ ) dvs
P(T ≤ t ) = 1 − e − λt .
5. (Approximation med normalfördelning)
Om λ > 15 då kan en Poissonfördelad s.v. X ∈ Po(λ ) approximeras med normalfördelningen
N ( µ , σ ) där µ = λ och σ = λ .
1 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Poissonfördelning
Uppgift 1. Låt X vara Poissonfördelad , X ∈ Po(3) .
Bestäm
a) P( 2 ≤X <5).
b) P(X ≤ 2).
c) P(X >3).
Lösning:
a) P( 2 ≤X <5)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
32 − 3 33 − 3 34 − 3 −3  32 33 34 
=
⋅ e + ⋅ e + ⋅ e = e  + +  = 0.61611
2!
3!
4!
 2! 3! 4! 
30 − 3 31 − 3 32 − 3
⋅ e + ⋅ e + ⋅ e =0.42319
0!
1!
2!
c) P(X >3) =1–P(X ≤3)=1– [P(X=0)+P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)]=1– 0.64723= 0.35277.
b) [P(X=0)+P(X=1)+ P(X=2)]=
Uppgift 2. Låt X vara Poissonfördelad, X ∈ Po(9) .
Bestäm
a) P(X =8).
b) P(X ≤ 4).
c) P(X >2).
Svar:
a) 0.13176 b) 0.05496
c) 0,993768
Uppgift 3.
Låt K(t) beteckna antalet kunder som ankommer till ett system i tidsintervallet (0,t), där t
betecknar antal minuter. Vi antar att ankomsten är Poissonfördelad och att det i genomsnitt
ankommer λ =2 kunder per minut.
Bestäm sannolikheterna för följande händelser:
a) 3 kunder ankommer i tidsintervallet vars längd är 2 minuter.
b) Ingen kund ankommer i tidsintervallet vars längd är 30 sekunder (0.5 min).
c) Högst 5 kunder ankommer i tidsintervallet vars längd är 3 minuter.
Lösning
a) Först bestämmer vi ankomstintensitet för 2 minuter. I genomsnitt ankommer λ =2 kunder
per 1 minut och därför under tidsperioden av 2 min ankommer i genomsnitt 2*2=4 kunder.
Låt Y1 vara s.v som beskriver ankomst under 2 minuter. Då är Y1 ∈ Po(λt ) = Po( 4)
43 − 4
⋅ e =0.195367
3!
b) Y2 ∈ Po(λt ) = Po( 2 ⋅ 0.5) = Po(1)
Därför P(Y1 =3)=
P( Y2=0) =
10 −1 −1
⋅ e = e =0.367879
0!
2 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Poissonfördelning
c) Y3 ∈ Po(λt ) = Po( 2 ⋅ 3) = Po(6)
P( Y3 ≤ 5) = p0+p1+p2+p3+p4+p5= 0.44568
Uppgift 4. På ett kontor finns tre telefoner. Antalet ankommande samtal för respektive telefon
är Poissonfördelade s.v. med respektive parametrar (intensiteter) 2, 3 och 5 samtal per en
timme. Bestäm sannolikheten att under en 8-timmars arbetsdag ankommer totalt minst 70
samtal till kontoret.
Lösning: Summan av Poissonfördelade s.v. är en Poissonfördelad sv. Under 8 timmar
ankommer till kontoret totalt 8*(2+3+5)= 80 samtal i genomsnitt .
Låt X beteckna det totala antalet samtal som ankommer till kontoret under 8 timmar.
Då är X ∈ Po(80) .
P( X ≥ 70) = 1 − P( X < 70) = (diskret fördelning) = 1 − P( X ≤ 69) = 1 − FX (69) .
Det är tidskrävande att beräkna FX (69) med en miniräknare, därför approximerar vi Poissonmed normalfördelning Y ∈ N ( µ , σ ) där µ = λ = 80 och σ = 80 .
1 − P( X ≤ 69) = 1 − ΦX (69) ≈ 1 − ΦY (69) = 1 − Φ (
69 − 80
) = 1 − Φ ( −1.23) = 1 − 0.1093 = 0.8907
80
Svar: ≈ 0.9 =90%
TEORIFRÅGOR
Uppgift T1. Låt X vara Poisson-fördelad s.v. med parameter λ , dvs X ∈ Po(λ ) .
Då gäller P( X = k ) = p k =
λk − λ
e . Bevisa att
k!
∑p
k
= 1.
k
Lösning:
λk − λ − λ ∞ λk
e =e ∑
k = 0 k!
k = 0 k!
∞
*
∑ pk = ∑
k
= e − λ eλ = e0 = 1 , vilket skulle bevisas.
*
Anmärkning. I övergången = har vi använt den kända formeln
∞
λk
∑ k! = e λ .
k =0
Uppgift T2. Låt X vara Poisson-fördelad s.v. med parameter λ , dvs X ∈ Po(λ ) .
Då gäller P( X = k ) = p k =
λk
k!
e− λ . Bevisa att E ( X ) = λ .
Lösning:
∞
E ( X ) = ∑ x k pk = ∑ k
k =0
k
∞
= λe − λ ∑
j =0
λj
j!
λk − λ ∞ λk − λ ∞ λk
e = ∑k e = ∑
e−λ ,
k!
k!
k =1
k =1 ( k − 1)!
*
= λe − λ eλ = λ , vilket skulle bevisas.
3 av 5
( subst. k-1=j)
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Poissonfördelning
λj
Anmärkning. I övergången = har vi använt den kända formeln ∑ = e λ .
j = 0 j!
∞
*
Uppgift T3. (svår):
n k
(
=
)
=
P
X
k
  p (1 − p ) n −k .
Låt X n vara en följd av binomialfördelade s.v. sådana att
n
k 
Anta att np = λ är er konstant då n → ∞ .
Visa att X n går mot Poissonfördelning dvs visa att
lim ( P( X n = k )) =
n→∞
λk
k!
e−λ .
Bevis.
Låt k ≥ 0 vara ett fixt tal. Vi har
n
lim ( P( X n = k )) = lim   p k (1 − p ) n − k
n→∞ k
n→∞
 
n( n − 1)...( n − k + 1)  λ 
 
n→∞
k!
n
k
= λim
λk
 λ
1 − 
 n
n( n − 1)...( n − k + 1)  λ 
= λim
1 − 
n
→
∞
k!
nk
 n
λk
n −k
n −k
n  1  2   k − 1  λ   λ 
= λim 1 − 1 − ...1 −
 1 −   1 − 
k ! n → ∞ n  n  n  
n  n   n 
λk
= ⋅1 ⋅ e−λ ⋅1
k!
=
λk
k!
n
−k
(*)
e − λ V.S.B .
Förklaring av (*): Om n → ∞ , eftersom k är ett fixt tal, har vi i uttrycket
(*)
i
 λ
 λ

−λ
1 −  → 1 , 1 −  → e and 1 − 
n
n

 n

n
−k
→1.
Uppgift T4. Låt X 1 ∈ Po(λ1 ) och X 2 ∈ Po(λ2 ) vara två oberoende Poisson-fördelade s.v.
Visa att Z = X 1+ X 2 ∈ Po(λ1 + λ2 ) . Med andra ord: summan av Poisson-fördeladestokastiska
variabler är också en Poisson-fördelad s.v.
Bevis.
Vi ska visa att P( Z = k ) = p k =
(λ1 + λ2 ) k −( λ1 + λ2 )
e
.
k!
Z = X 1+ X 2 = k i följande fall:
X 1= 0 och X 2 = k , X 1= 1 och X 2 = k − 1 , X 1= 2 och X 2 = k − 2 ,…, X 1= k och X 2 = 0 .
Därför
4 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Poissonfördelning
k
P( Z = k ) = ∑ P( X 1= i och X 2 = k − i )
( X 1 och X 2 är oberoende)
i =0
k
= ∑ P( X 1= i ) ⋅ P( X 2 = k − i ) (*)
i =0
Eftersom X 1 ∈ Po(λ1 ) och X 2 ∈ Po(λ2 ) har vi från (*)
λ1i −λ λ2 k −i −λ
e ⋅
e = e −λ −λ
−
i
k
i
!
(
)!
i =0
k
P( Z = k ) = ∑
=
e − ( λ1 + λ2 )
k!
1
2
1
e − ( λ1 + λ2 )
k!
i
k −i
=
λ
λ
⋅
∑
1 2
k!
i = 0 i! ( k − i )!
k
λ1i λ2 k −i
⋅
∑
i =0 i! ( k − i )!
k
2
k
k 
∑  i  ⋅ λ λ
i =0
 
i
1
2
k −i
(vi förlänger med k!)
(binomialsatsen)
e − ( λ1 + λ2 )
(λ1 + λ2 ) k .
k!
Detta betyder att Z är en Poissonfördelning med parameter λ = λ1 + λ2
=
5 av 5
(V.S.B.).