Flervariabelanalys för I2
läsperiod III 2007
MVE 120
Lösningar till övningstentamen 10 mars 2007
1.
Beräkna volymen av det område som ligger innanför sfären x 2 + y 2 + z 2 = 16 och
utanför cylindern x 2 + y 2 = 4
Lösning: Volymen som skall beräknas ges av
∫∫
16 − x 2 − y 2 dxdy där B är
B
området 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 . Genom att gå över till polära koordinater får man
integralen
∫∫
2≤ r ≤ 4
2
3
1
16 − r rdrdθ = 2π 16 − r 2 2 = 16 3π
3
4
(
2
)
0≤θ < 2π
2.
Bestäm en ekvation för tangentplanet till ytan z 2 = x 2 + y 2 i punkten (3,4,5) .
Visa att varje tangentplan till ytan passerar origo.
Lösning: sätt w = z 2 − x 2 − y 2 så att den givna ytan blir nivåytan w = 0 . Då blir
grad w = (− 2 x,−2 y,−2 z ) en normal till tangentplanet. Eftersom grad w i punkten
(3,4,5) blir = (− 6,−8,10) får vi ekvationen till tangentplanet som
− 6( x − 3) − 8( y − 4) + 10(z − 5) = 0 ⇔ 3x + 5 y − 5 z = 0
(
)
Väljer man en godtycklig punkt a, b, a 2 + b 2 på ytan (ovanför (x,y)-planet) får
(
)
man på samma sätt tangentplanet a ( x − a ) + b( y − b ) − a 2 + b 2 z − a 2 + b 2 = 0
som ju passerar origo eftersom den konstanta termen blir
= −a 2 − b 2 + a 2 + b 2 = 0
3.
Antag att z = y + f (x 2 − y 2 ) . Visa att yz ′x + xz ′y = x
Lösning: Med hjälp av kedjeregeln (sätt t = x 2 − y 2 ) får man
z ′x = f ′ ⋅ 2 x
och
z′y = 1 − f ′ ⋅ 2 y
följaktligen yz ′x + xz ′y = x
1
4.
Låt f ( x, y ) = x 2 y − y 2
Bestäm riktningsderivatan av f i punkten (1,1) och riktningen (1,2 )
I vilken riktning är derivatan maximal?
I vilken riktning är derivatan hälften av maximum?
Lösningar: gradf = (2 xy, x 2 − 2 y ) = (2,−1) i punkten (1,1) . Så
(2,−1)⋅ (1,2) = 0 där v = (1,2)
f v′(1,1) =
5
5
(2,−1)
Derivatan är maximal i gradientens riktning,
5
I gradientens riktning är derivatan = gradf = 5 . För att hitta en riktning där
derivatan är hälften av det beloppet söker vi en vektor u sådan att
5
u ⋅ (2,−1) =
Men u = 1 och skalärprodukten i VL är u (2,−1) cos θ där θ är
2
1
π
vinkeln mellan gradienten och u . Alltså måste cos θ = och θ = .
2
3
Svar: i den riktning som bildar vinkeln
5.
π
3
med gradienten.
Beräkna medelavståndet från ringen 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 till origo.
Lösning: Låt B vara området i uppgiften. Då beräknas medelavståndet som
1
x 2 + y 2 dxdy . Genom att införa polära koordinater får vi integralen till
µ (B ) ∫∫
B
14
14π
. Och eftersom arean av ringen är = 3π , blir svaret =
r 2 drdθ =
∫∫
3
9
1≤r ≤ 2
0≤θ < 2π
6.
Bestäm största och minsta värde till f ( x, y ) = x 3 y 2 (1 − x − y ) över den slutna triangel
som har sina hörn i punkterna (0,0 ), (2,0), (0,2 )
f x′ = 0
Lösningar: bestäm först stationära punkter genom att lösa systemet
.
f y′ = 0
3 x 2 y 2 (1 − x − y ) − x 3 y 2 = 0
⇔ 3
Eftersom vi letar i det inre av triangeln kan vi
3 2
2 x y (1 − x − y ) − x y = 0
4 x + 3 y = 3
förutsätta att xy > 0 och systemet är därför ekvivalent med
som
2 x + 3 y = 2
2
1 1
han den enda lösningen (x, y ) = , . På randen är f = 0 på linjestyckena
2 3
utmed axlarna och det räcker att undersöka x + y = 2 .
2
Sätt g (x ) = f (x,2 − x ) = x 3 (2 − x ) (− 1) så att g ′( x ) = x 2 (2 − x )(3(2 − x ) − 2 x ) = 0 i
6
punkten x = . I var och en av de tre hörnpunkterna är f = 0 och svaret blir
5
1
1 1
därför att funktionens maximum är f , =
och dess minimum är
2 3 432
3456
6 4
f , =−
3125
5 5
3
