TEKNISKT BASÅR: Kontrollskrivning 2 i matematik Datum: 031110 Tid

advertisement
TEKNISKT BASÅR:
Kontrollskrivning 2 i matematik
Datum: 031110
Tid 10.15-12.00
Hjälpmedel: Räknedosa och formelsamling
1.
2.
3.
4.
En rät linje går genom punkterna (0,3) och (5,7).
Ange linjens ekvation.
1 p.
Summan av två tal är 52.
Multiplicerar man det ena talet med 5 blir resultatet detsamma som om
man multiplicerar det andra med 8. Ange de båda talen.
1 p.
Utgå från funktionerna f ( x) = ( x − 3) och g ( x) = ( x − 5) och bilda den
nya funktionen f ( x) + g ( x) , som har ett minimum för något värde på x
För vilket värde på x har funktionen f ( x) + g ( x) ett minimum?
2 p.
y
Förenkla uttrycket lg x 3 − 2 lg x + lg
så långt som möjligt.
x
x och y är positiva tal.
1 p.
2
2
5.
Lös ekvationen 7 x +1 = 4 3 . Svara med två decimaler.
6.
Bestäm en ekvation för parabeln i nedanstående figur
1 p.
y
6
4
2
x
-2
-1
1
2
3
-2
-4
1 p.
-6
7.
Man har f ( x) = 3 x 2 + 2 x . Bilda differenskvoten
f ( x + h) − f ( x )
h
och förenkla den så långt som möjligt.
2 p.
8.
g ( x) = 7 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 8 . Bestäm g ′(−1)
2 p.
9.
Lös ekvationen f ′( x) = 0 då f ( x) = ( x − 1) 2 (2 x + 3)
2 p.
10.
När en organism dör avtar mängden kol-14 exponentiellt med tiden,
varvid halveringstiden är 5730 år. I farao Amenhoteps grav har man
funnit en mumie, vars kol-14-mängd år 1980 uppmättes till 65,5 % av
den normala halten i levande material.
När dog farao Amenhotep? Svara i hela år.
2 p.
LÖSNINGSFÖRSLAG
1.
(0,3)
x1 = 0
(5,7)
x2 = 5
y1 = 3
y2 = 7
Enpunktsformen:
y − y1 = k ( x − x1 )
k=
∆y y 2 − y1
=
∆x x 2 − x1
k=
7−3 4
=
5−0 5
Vi får med insatta värden: y − 3 =
y=
Svar: y =
2.
4
( x − 0)
5
4
⋅x+3
5
4
⋅x+3
5
Låt talen vara x och y .
x + y = 52
(1)
5x = 8 y
(2)
⇒
Kombineras (1) och (3) får vi:
8y
+ y = 52
5
8y 5y
+
= 52
5
5
13 y
= 52
5
13 y = 260
y = 20
Detta sätts in i (3):
x=
8y
5
(3)
8 ⋅ 20
5
x = 32
x=
Svar: x = 32 , y = 20
3.
f ( x) = ( x − 3) 2
g ( x) = ( x − 5) 2
f ( x) + g ( x) = ( x − 3) 2 + ( x − 5) 2
f ( x) + g ( x) = x 2 − 6 x + 9 + x 2 − 10 x + 25
f ( x) + g ( x) = 2 x 2 − 16 x + 34
2 x 2 − 16 x + 34 = 0 :
2( x 2 − 8 x + 17) = 0
x 2 − 8 x + 17 = 0
x = 4 ± 16 − 17
I uttrycket ovan framgår att symmetrilinjen har värdet 4, dvs x = 4 .
Svar: x = 4
4.
lg x 3 − 2 lg x + lg
y
= 3 lg x − 2 lg x + lg y − lg x = lg y
x
Svar: lg y
5.
7 x +1 = 4 3
lg 7 x +1 = lg 4 3
( x + 1) lg 7 = lg 4 3
x lg 7 + lg 7 = lg 4 3
x lg 7 = lg 4 3 − lg 7
lg 4 3 − lg 7
x=
lg 7
x = 1,14
Svar: x = 1,14
6.
Följande punkter ligger på kurvan: (−1,0) , (0,6) och (2,0) .
Kurvan är en andragradskurva: y = ax 2 + bx + c
⇒
⇒
⇒
(−1,0)
(0,6)
(2,0)
0 = a(−1) 2 + b(−1) + c
6 =0+0+c
0 = a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c
(1)
(2)
(3)
(2) ger direkt att c = 6
(1): a − b + 6 = 0
⇒
a =b−6
Detta sätts in i (3):
4(b − 6) + 2b + 6 = 0
4b − 24 + 2b + 6 = 0
6b − 18 = 0
6b = 18
b=3
Vilket ger att:
a = 3−6
a = −3
Svar: y = −3x 2 + 3x + 6
7.
f ( x) = 3 x 2 + 2 x
(
) (
) (
)
(
)
f ( x + h) − f ( x) 3( x + h ) + 2( x + h ) − 3 x 2 + 2 x 3 x 2 + 2 xh + h 2 + 2 x + 2h − 3 x 2 + 2 x
=
=
=
h
h
h
3 x 2 + 6 xh + 3h 2 + 2 x + 2h − 3 x 2 − 2 x 6 xh + 2h + 3h 2 h(6 x + 2 + 3h )
=
=
=
= 6 x + 2 + 3h
h
h
h
Svar:
8.
2
f ( x + h) − f ( x )
= 6 x + 2 + 3h för f ( x) = 3 x 2 + 2 x
h
g ( x) = 7 x 3 − 5 x 2 + 3x − 8
g ′( x) = 21x 2 − 10 x + 3
g ′(−1) = 21(−1) 2 − 10(−1) + 3 = 21 + 10 + 3 = 34
9.
Svar: g ′(−1) = 34
f ( x) = ( x − 1) 2 (2 x + 3)
Ekvationen f ′( x) = 0 ska lösas:
f ( x) = ( x − 1) 2 (2 x + 3)
f ( x) = ( x 2 − 2 x + 1)(2 x + 3)
f ( x) = 2 x 3 + 3x 2 − 4 x 2 − 6 x + 2 x + 3
f ( x) = 2 x 3 − x 2 − 4 x + 3
f ′( x) = 6 x 2 − 2 x − 4
f ′( x) = 0
6x 2 − 2x − 4 = 0
2
4
x− )=0
6
6
1
2
x2 − x − = 0
3
3
1
1 24
x= ±
+
6
36 36
1 5
x= ±
6 6
6( x 2 −
x1 = 1
Svar: x1 = 1
10.
x2 = −
,
2
3
x2 = −
2
3
y = y0 ⋅ a t
Efter halveringstiden, T år, finns hälften,
y0
, av den ursprungliga
2
mängden, y 0 , kvar:
y0
= y0 ⋅ a T
2
1
= 1 ⋅ a 5730
2
, T = 5730 år
1
= a 5730
2
1
 1  5730
a= 
 2
t
för y (t ) = 0,655 söks:
( y 0 = 1,000 )
1


  1  5730 
0,655 = 1,000 ⋅   

 2 



t
t
 1  5730
0,655 =  
 2
t
 1  5730
lg 0,655 = lg 
 2
lg 0,655 =
t=
t
1
⋅ lg
5730
2
5730 ⋅ lg 0,655
1
lg
2
t = 3498
Svar: Faraon dog år 1518 f Kr.
Download
Random flashcards
Svenska

105 Cards Anton Piter

Create flashcards