FFF + =

1 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer
GEOMETRISKA VEKTORER
Vektorer i rummet.


Några av de storheter som förekommer inom naturvetenskap kan specificeras genom
att deras mätetal anges med ett enda reellt tal. Exempel på sådana storheter, som kallas
skalära storheter, är t.ex. massa, tid, arbete och temperatur.
För att undersöka andra, så kallade vektorstorheter eller vektoriella storheter, måste
man förutom ett mätetal som anger storhet även ange en riktning. Exempel på
vektorstorheter är kraft, hastighet, elektrisk fält och magnetfält.
F F1  F2
För att åskådlig göra vektorstorheter (i 3 eller 2 dimensioner) använder vi riktade sträckor.

Låt A och B vara två punkter i rummet. Då betecknar AB den riktad sträcka
d v s vektor som har startpunkt (fotpunkt) i A och ändpunkt (spets) i B.


Vektorn BA är inte detsamma som vektorn AB . De har motsatta riktningar.




Vi kallar AB och BA för motsatta vektorer och skriver AB   BA


( eller BA   AB )
Vektorbeteckningar:
Vi kan beteckna vektorer, som i ovanstående exempel, med hjälp av startpunkt, ändpunkt och



en pil ovanpå t ex AB , CD , OM .
Några använder ett streck ovanpå punkterna t ex : AB , CD .
  
Ett vektornamn skrivs vanligen med en pil ovanför t ex: u , v , w
I de flesta böcker används fetstil för vektorbeteckning, t ex: u, v, w.
Andra beteckningar kan också förekomma t ex a eller â .
2 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer


Längden ( beloppet) av vektorn AB betecknas | AB | och definieras som längden av
sträckan AB ( d v s avståndet mellan punkterna A och B ) .
Andra beteckningar:


1. I några böcker är || AB || beteckning för längden av vektorn AB .

2. Om man använder en bokstav i fetstil, till ex a, för att beteckna en vektor a då vanligt
stil, a, oftast betecknar längden ( beloppet) av vektorn a:
|a| =a
Nollvektorn , som betecknas 0 eller 0, är den vektor som har längden lika med 0, d v s
vektors startpunkt och ändpunkt sammanfaller. Nollvektorn saknar riktning.


Alltså AA = 0 ,

MM = 0 ,
PP = 0 .
Enhetsvektorer. En enhetsvektor är en vektor med längden 1. ( En enhetsvektor kallas
ibland för normerad vektor) Vi behöver ofta en enhetsvektor som har samma riktning med
 
en given vektor v  0 .

En sådan enhetsvektor e får vi genom att dela

e



v med dess längd | v | ,
1 
 v
|v |



Definition1. Låt AB och CD vara två vektorer skilda från 0 . Vi säger att AB och CD


är lika vektorer, och skriver AB  CD om de har samma riktning (dvs. vektorerna är
parallella och är lika orienterade) och dessutom har samma längd.


Alltså, för två vektorer AB och CD , som är skilda från 0 , gäller:


AB  CD  ab

 


1. AB och CD är parallella



har samma riktning

 
AB  CD  2. AB och CD är lika orienterade






 3. | AB | | CD | (dvs AB och CD har samma längd)
Med andra ord får vi parallell förflytta geometriska vektorer i rummet.
3 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer
Exempel:
Nedanstående vektorer är lika
   
a b c d


Viktigt: Om två vektorer är lika , dvs AB  CD betyder detta inte att A=B och C=D .
Men, om två vektorer är lika och dessutom har samma startpunkt då måste deras
ändpunkter sammanfalla!


Alltså AB  AD  B  D
======================================




är
Definition 2. Låt a och b vara två vektorer skilda från 0 . Vi säger att a och b


motsatta vektorer, och skriver a  b om de har motsatt riktning (dvs. vektorerna är
parallella men motsatt orienterade) och dessutom har samma längd.


Alltså, för två vektorer a och b , som är skilda från 0 , gäller:
 1.



a  b   2.
 3.

Exempel:


a och b är parallella


a och b har motsatt orientation




| a | | b | (dvs a och b har samma längd)
4 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
a
Geometriska vektorer
b


a  b
=====================================
Räkneoperationer med geometriska vektorer.
Multiplikation av en vektor med tal (= skalär).
Definition 3.

Låt λ vara ett reellt tal och v en given vektor.
 
 
1. Om λ=0 eller v  0 då är v  0 .

 
2. Om λ ≠ 0 och v  0 då med v menas den vektor som har

( i) längden = |  |  | v | och

(ii) samma riktning som v om λ > 0, motsatt riktning om λ < 0

Exempel: Vektorn a är given i nedanstående figur.
a




Skissera (rita) vektorerna 3a , 1.5a ,  a och  2a
Lösning:
a
-a
3a
-2a
1.5a
Addition av vektorer



För att addera två geometriska vektorer a och b placerar vi startpunkten för b i spetsen på




a ( vi parallellförflyttar vektorn b så att startpunkten till b hamnar på ändpunkten till a ) . Då

 

är summan a  b den vektor som har startpunkt i a :s startpunkt och ändpunkt i b :s ändpunkt.
5 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer
+ b
C
a
b
B
A
a
Definition 4.
 
 
  
Låt a  AB och b  BC . Då är a  b  AC
 

På liknande sätt får vi summan av flera vektorer v1  v2    vn . Vi parallellförflyttar


vektorer så att ändpunkt för vektorn vk blir startpunkt för vk 1 . Summan blir då den vektor


som har startpunkt i v1 :s startpunkt och ändpunkt i vn :s ändpunkt.
   
Exempel: Skissera summan a  b  c  d för nedanstående vektorer:
Lösning: Se nedanstående figur.
D
B
b
c
d
a
C
A
E
a + b + c + d





   
Alltså, a  b  c  d = AB  BC  CD  DE  AE
===================================
6 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer



Anmärkning: Om a och b är skilda från 0 och ej parallella vektorerer då kan vi erhålla
 
summan a  b med hjälp av diagonalen i den parallellogram som konstrueras med hjälp


a och b (den här gången med gemensam fotpunkt) , se figuren nedan.
a
D
C
b
A
b
a
B

   
a  b  b  a  AC

  
 
Subtraktion av två vektorer a  b definieras genom a  b  a  (b )


 
Exempel: Skissera a  b för nedanstående vektorer a och b .
Lösning: Se figuren nedan
-b
b
a
====================================
Linjära kombinationer av vektorer
 

Definition 5. Låt 1 , 2 , n vara reella tal (= skalärer) och v1 , v2 ,..., vn givna vektorer.



 

Vektorn 1v1  2v2    n vn kallas för en linjär kombination av vektorerna v1 , v2 ,..., vn
7 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer
 


  1
Exempel: Skissera vektorn v  2a  3b  c för nedanstående vektorer a , b och c .
2
Lösning: Se figuren nedan
2a
-3b
V
1
2
c
==========================================
RÄKNELAGAR
Sats 1. Följande räknelagar gäller för vektoroperationer:
   
a) u  v  v  u
( kommutativa lagen)
     
b) (u  v )  w  u  (v  w)
( associativa lagen)
  
c) v  0  v

 
d) v  (v )  0
 
e) 1v  v
 
f) 0v  0
 
g)  0  0



h) (1  2 )v  1v  2v ( distributiva lagen)
 


i)  (u  v )  u  v
( distributiva lagen)
De flesta av ovanstående lagar följer direkt från definitionen. Andra, a) b) h) och i) bevisar
man med hjälp av elementär geometri och nedanstående figurer.
T ex från figuren
8 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer

 
 
följer u  v  AC  v  u dvs egenskapen a).
Egenskapen i) visas med hjälp av likformiga trianglar och följande figurer:
för λ >0
och, för λ < 0,

[ Om λ =0 är påståendet i) uppenbart korrekt eftersom båda leden blir 0 i detta fall.]
ÖVNINGSUPPGIFTER
Uppgift 1. Vi betraktar en parallellogram med hörnen i punkterna A, B, C och D ( se
nedanstående figur). Låt S vara skärningspunkten mellan diagonalerna. Låt E vara den punkt
som ligger i mitten av sidan AB och F den punkt som ligger på linjen genom A och C så att


AF  3 AC .


 
Vi betecknar a  AB och b  AD .


Utryck följande vektorer som linjära kombinationer av a och b .

a) CA
Lösning:

b) AS

c) BD
d)

DB
e)



SE f) BF g) FE
9 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer

Anmärkning. Vi använder ofta att (enligt definitionen för vektoraddition) en vektor PQ kan



alltid skrivas som summan PQ  PM  MQ (där M är en godtycklig punkt).



 
a) CA  CD  DA  a  b

1  1  
1 1
b) AS  AC  (a  b )  a  b
2
2
2
2





c) BD  BA AD  a  b



   
d) DB  DA AB  b  a  a  b



1  1  1   1
1
e) SE  SA AE  CA AB  (a  b )  a   b
2
2
2
2
2







 

f) BF  BA AF  a  3 AC  a  3(a  b )  2a  3b




  1
1 
5 
g) FE  FA AE  3 AC  AB  3(a  b )  a   a  3b
2
2
2
Uppgift 2. Förenkla följande uttryck utan att rita motsvarande figurer:





a) AB  DA PC  BP


b) AB  CB  CD
Lösning:
a) Vi skriver om summan ( vi faktisk använder den kommutativa lagen) för att få att andra
vektor startar i ändpunkten för första vektor, att tredje startar i slutet av andra och att fjärde
startar i slutet av tredje vektor:









AB  DA PC  BP  DA AB  BP  PC  DC


b) Vi använder relationen:  CB  BC







AB  CB  CD  AB  BC  CD  AD

Svar: a) DC

b) AD
 
Uppgift 3. Vi betraktar en regelbunden sexhörning ABCDEF ( se bilden nedan). Låt a  AB


och b  AF . Låt P vara mittpunkten på sträckan BC.



Bestäm vektorn PD som en linjär kombination av a och b .



Bestäm vektorn PF som en linjär kombination av a och b .
Lösning:
10 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR



a) PD  PC  CD

Geometriska vektorer


 
(Lägg märke till att BC  AS  a  b )

1 
1    1 3
AS  CD  (a  b )  b  a  b
2
2
2
2



b) PF  PC  CF


 
(Lägg märke till att BC  AS  a  b )

1  
1  
3 1
AS  CF  (a  b )  2a   a  b
2
2
2
2
==============



Låt a och b vara två icke parallella vektorer. Då är relationen


xa  yb
möjligt endast om x=0 och y=0. Använd detta för att lösa följande uppgift.


Uppgift 4. Låt a och b vara två icke parallella vektorer. Bestäm x och y om vektorerna
satisfierar ekvationen



  




b) a  ( x  y )b  2 xa  2 yb
a) xa  2b  2 xa  yb  3a  b
Lösning:

  


a) Från xa  2b  2 xa  yb  3a  b har vi


( x  3)a  ( y  1)b
(*)


Eftersom, enligt antagande, a och b är två icke parallella vektorer är (*) möjligt endast om
 x  3  0 , och y  1  0
dvs x  3 , och y  1 .
b)




a  ( x  y )b  2 xa  2 yb
 .

 (1  2 x)a  ( y  x)b


Härav (eftersom, enligt antagande, a och b är två icke parallella) får vi
1  2 x  0 och y  x  0 , som ger
x  1 / 2 , och y  1 / 2 .
=================================

I nedanstående uppgifte använder vi ofta fäljande två omskrivningar av en vektor MN :

1. Enligt definitionen för vektoraddition kan vi alltid skriva om en vektor MN som summan



MN  MO  ON


( för en godtyckligt vald punkt O i rummet).


2. MN   NM
( MN och NM är två motsatta vektorer
-------------------------------------------------------------------------------
11 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer

Uppgift 5. Låt O,A och B vara tre punkter i rummet. Uttryck vektorn AB som en linjär


kombination av vektorerna OA och OB . (se figuren nedan)







AB  AO  OB   AO  OB  OB  AO



Svar. AB  OB  AO
Uppgift 6.
Låt S vara mittpunkten på sträckan A B ( se figuren nedan). Låt vidare O vara en
(godtyckligt vald) punkt i rummet.



Uttryck vektorn OS som en linjär kombination av vektorerna OA och OB
Lösning:









1 
1 
1
1  1 
OS  OA AS  OA AB  OA ( AO  OB)  OA ( OA OB)  OA OB
2
2
2
2
2



1
1
Svar: OS  OA OB
2
2
Uppgift 7.
Låt S vara den (inre) punkt på sträckan A B som delar AB i förhållandet 3:7 ( se figuren
nedan). Låt vidare O vara en (godtyckligt vald) punkt i rummet.



Uttryck vektorn OS som en linjär kombination av vektorerna OA och OB
Lösning:









3 
3 
3
7  3 
OS  OA AS  OA AB  OA ( AO  OB)  OA ( OA OB)  OA OB
10
10
10
10
10
12 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Svar:
Geometriska vektorer
7  3 
OA OB
10
10
Uppgift 8. Låt L vara den räta linje som går genom punkterna A och B (där A≠ B) och S en
punkt på linjen L som ligger ( i vår figur) till höger om punkten B och satisfierar
d ( A, S )  4d ( B, S )
[ där d ( M , N ) betecknar avståndet mellan två punkter M och N)].
Låt O vara en punkt i rummet.



Uttryck vektorn OS som en linjär kombination av vektorerna OA och OB
Lösning:









5 
5 
5
1  5 
OS  OA AS  OA AB  OA ( AO  OB)  OA ( OA OB)   OA OB
4
4
4
4
4


1
5
Svar:  OA OB
4
4
Uppgift 9. Låt L vara den räta linje som går genom punkterna A och B ( där A≠ B) .
Skissera den punkt P som ligger på linjen L och satisfierar








1 
1 
a) AP   AB
b) AP  3 BP
c) AP  3 PB d) AP  PB e) AP  3 PB
3
3
Lösning:


1 
a) Eftersom AP (  AB) och AB har motsatta riktningar och dessutom längden
3


1
| AP |  | AB | har vi följande figur:
3
P
A
B
A
b)
c)

d) AP 


1 
PB  3 AP  PB
3
B
P
13 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
P
A


Geometriska vektorer
B


e) AP  3 PB  AP  3 BP ( samma skiss som i b)
A
B
P
Uppgift 10. Låt L vara den räta linje som går genom punkterna A och B (där A≠ B) och P
den punkt på linjen L som satisfierar


AP  3 BP .

 
Låt O vara en godtycklig punkt. Utryck vektorn OP som en linjär kombination av a  OA
 
och b  OB .
Lösning:


Först skriver vi AP och BP med hjälp av vektorer som har startpunkt i O.










AP  AO  OP   OA OP  OP  OA
och på samma sätt
BP  OP  OB


Från relationen AP  3 BP får vi nu




OP  OA  3(OP  OB)



 2 OP  OA 3 OB

3  1 
 OP  OB  OA
2
2


3
1
Svar: OP  b  a
2
2
Uppgift 11. Låt L vara den räta linje som går genom punkterna A och B ( där A≠ B)


Låt P vara en punkt på linjen L som satisfierar | AP |  2 | AB | .

 
Låt O vara en godtycklig punkt. Utryck vektorn OP som en linjär kombination av a  OA
 
och b  OB . ( Tips: Det finns två lösningar.)
Lösning:


Enligt antagandet A, B och P ligger på samma linje L och därför är AP parallell med AB .




Från | AP |  2 | AB | ( samt AP är parallell med AB ) har vi två möjliga fall:


1. AP  2 AB
och


ii) AP  2 AB
14 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer
Vi börjar med


i) AP  2 AB


V skriver AP och AB med hjälp av vektorer som har startpunkt i O.










AP  AO  OP   OA OP  OP  OA
och på samma sätt
AB  OB  OA


Från relationen AP  2 AB får vi nu




OP  OA  2(OB  OA)





 OP   OA 2 OB   a  2b


2. Fallet AP  2 AB :
Först ( som i fallet 1. )






AP  OP  OA
och
AB  OB  OA


Från relationen AP  2 AB får vi nu




OP  OA  2(OB  OA)





 OP  3 OA 2 OB  3a  2b






Svar: Två lösningar: 1. OP   a  2b 2. OP  3a  2b
=========================
Många satser i geometrin kan vi härleda och bevisa med hjälp av vektorer. Ett exempel har vi
i nedanstående exempel.
Uppgift 11. Låt ABC vara en triangel. Vi betecknar med A1, B1, C1 mittpunkter på BC,
AC och AB. Låt vidare T vara skärningspunkten mellan medianer AA1 och BB1.
(En sammanbindningssträcka mellan triangelns hörn och motstående sidas mittpunkt kallas
median. )
15 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer
a) Bestäm i vilket förhållande delar punkten T sträckan AA1 .
b) Visa att den tredje median CC1 går genom samma punkt T, (dvs att medianerna i en triangel
skär varandra i en enda punkt . Punkten T kallas triangelns tyngdpunkt)


1  
c) Visa att OT  (OA OB  OC )
3
Lösning:
a) Vi betecknar med x den ”okända” kvoten mellan AT och AA1.


Alltså, vi söker x så att AT  x AA1 .


På samma sätt söker vi talet y så att BT  y BB1




 
Vidare betecknar vi a  AB och b  AC och uttrycker AT som en linjär kombination av a

och b på två olika sätt:




 1  
x x
i) AT  x AA1  x( AB  BA1 )  x(a  (b  a ))  a  b
2
2
2
(*)

Andra sätt att beräkna vektorn AT : Vi går genom punkten B.









 1
 y
ii) AT  AB  BT  AB  y BB1  a  y ( BA AB1 )  a  y ( a  b )  (1  y )a  b (**)
2
2
Från (* ) och (**) har vi
 y
x x
a  b  (1  y )a  b
2
2
2
 
eller ( om vi skriver a , b på var sin sida)

x
y x 
(  y  1)a  (  )b
(***)
2
2 2


Eftersom a , b är icke parallella vektorer är (***) möjlig endast om följande två villkor är
uppfyllda
x
y x
 y  1  0 och   0 .
2
2 2
Från
y x
x
  0 har vi x  y som vi substituerar i  y  1  0 och får
2 2
2
16 av 16
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Geometriska vektorer
x
2
3x
 x 1  0 
1 x  .
3
2
2
2
Därför y  x  .
3
Alltså, vi har fått


2 
AT  x AA1  AA1 och
3


2 
BT  y BB1  BB1 .
3
Därmed 2/ 3 delar av medianen AA1 ligger mellan hörnet A och T och 1/3 mellan T och
sidans mittpunkten A1.
Alltså T delar AA1 i förhållandet 2:1.
b) Låt S vara skärnings punkt mellan den tredje medianen CC1 och medianen AA1.
( Vi ska visa att S och T sammanfaller och därmed blir det exakt en skärningspunkt för alla
tre medianer.)

2 
Vi har fått i a) delen att AT  AA1 . På samma sätt som i a) får vi att
3

2 
AS  AA1 .
3


Därmed AT  AS .


Eftersom AT och AS är lika vektorer med gemensam startpunkt måste deras ändpunkter
sammanfalla.
Därför är S=T.
Vi har bevisat att den tredje medianen går genom skärningspunkten T för de andra två
medianer. Alltså alla tre medianer går genom en enda punkt.

c) Vi använder a och b delen och beräknar OT :





2 
2  
OT  OA AT  OA AA1  OA ( AO  OA1 )
3
3




2
1
 OA [ OA  (OB  OC )]
3
2
1  1  1 
 OA OB  OC , vad skulle bevisas.
3
3
3