13. CHURCH´S OCH GÖDELS SATSER. KORT ORIENTERING OM

81
13.
CHURCH´S OCH GÖDELS SATSER.
KORT ORIENTERING OM BERÄKNINGSBARHET,
EFFEKTIV UPPRÄKNELIGHET OCH AVGÖRBARHET.
Våra beräkningar skall utföras på symbolsträngar, där symbolerna tas från
ett givet alfabet Σ = {a0 ,a1,a2 ,..........}, ändligt eller uppräkneligt oändligt. Vi
sätter Σ* = {alla ändliga strängar över Σ} ; vi tar i detta sammanhang inte
med den tomma strängen.
Vi använder beteckningen N för mängden av naturliga tal, betraktade som
abstrakta matematiska objekt utan referens till någon speciell
representation. Vid beräkningar används någon representation. Vi
betraktar några sådana:
Binär representation: välkänd.
Nbin = {strängen 0 och alla strängar över {0,1} som börjar på 1}.
Decimal representation: välkänd.
Ndec = {strängen 0 och alla strängar över {0,1,2,.....,9}
som inte börjar på 0}.
Unär representation: talet n representeras av n+1 stycken ettor.
Nun = {alla strängar över {1}} = {1}*.
Peano-representation: talet n representeras av strängen
S(S(S(.......(S(0)).......))) med n stycken S.
I övrigt kommer vi att arbeta med två logiska alfabet, det ena satslogiskt,
det andra predikatlogiskt:
Alfabetet
ΣSL = { ∧ , ∨ , ¬ , → , ↔ , ( , ) , ⊥ , p0 .p1,p2 ,...........}
innehåller symbolerna i satslogiken.
ΣSL
* består av alla ändliga
strängar över ΣSL. En delmängd därav är WFSSL = {wellformed
sentences i satslogiken}. En delmängd därav är LGSL =
= {alla logiskt giltiga sentenser (tautologier) i satslogiken}.
Alfabetet
ΣAR = { ∧ , ∨ , ¬ , → , ↔ , ∀ , ∃ , ( , ) , , (kommatecken),
⊥ , = , S , + , ∗ , 0 , x0 , x1 , x2 , ....................}
innehåller symbolerna i predikatlogiken med de icke-logiska
symbolerna S , + , ∗ , 0 ("det aritmetiska språket"; AR står för
aritmetik) som används i Peanos axiomsystem. Här kan vi betrakta
mängderna ΣAR
* ⊇ WFFAR ⊇ WFSAR ⊇ LGAR . (WFF står för
wellformed formula).
82
Med ett mekaniskt förfarande eller program P menar vi här en
uppsättning föreskrifter, som för varje tillåtet input ger upphov till en
stegvis process, vars förlopp är entydigt bestämt av input. Begreppet är av
intuitivt matematiskt slag (preciseringar skall diskuteras nedan), inget
sägs om programspråk eller hårdvara; programmet kan t.ex. bestå av ett
antal svenska satser skrivna på ett papper, hårdvaran av en människa med
papper och penna. Fysikaliska begränsningar, i form av ändliga resurser i
materia och tid, antas ej föreligga.
Processen kan (beroende av input) stoppa efter ett ändligt antal steg eller
fortsätta i oändlighet. Den kan under sitt förlopp ge ifrån sig inget, ett eller
flera output (i det fall att processen aldrig stoppar är det möjligt att den
ger oändligt många output). I denna text använder vi följande
Definitioner
P kallas en algoritm, om processen stoppar och ger precis ett output för
varje tillåtet input. En funktion f: U → V är beräkningsbar, om det
finns någon algoritm som beräknar den, dvs som för varje x ∈ U som
input stoppar med f(x) som output.
P säges generera mängden M (vid input a), om (vid input a)
{outputs som fås under processen} = M.
(Denna definition tillåter upprepningar i uppräkningen av M:s element ,
men programmet kan lätt modifieras så att upprepningar ej
förekommer). En mängd M är effektivt uppräknelig, om det finns
något program som genererar M.
Givet nu en mängd U ("universum") och en delmängd M av U.
P är ett fullständigt test för M, om för varje input x ∈ U
x∈ M
och
x∉ M
 processen stannar och ger output
⇔ 
 som visar x ∈ M, t.ex. 1
. . . . . . . . (1)
 processen stannar och ger output
⇔ 
 som visar x ∉ M, t.ex. 0
. . . . . . . . (2)
P är ett positivt test för M om (1) gäller.
P är ett negativt test för M om (2) gäller.
M är avgörbar om det finns något fullständigt test för M.
Exempel 13.1 Vilken som helst av de ovan givna representationerna av N
är effektivt uppräknelig (läsaren bör övertyga sig om detta).
Vi kan kortfattat säga: "N är effektivt uppräknelig".
83
Exempel 13.2 Låt N' och N" vara två vilka som helst av ovan betraktade
representationer av N. Då är förstås funktionen f: N' → N",
som översätter representationen i N' för ett tal till
representationen i N" för samma tal, beräkningsbar (tänk
efter!). Om delmängden M' ⊆ N' svarar mot M" ⊆ N", så
inser vi att följande gäller:
(i)
M' är eff. uppräknelig ⇔ M" är eff. uppräknelig
(ii)
M' är avgörbar ⇔ M" är avgörbar
Vi kan kortfattat säga att en delmängd av N är effektivt
uppräknelig respektive avgörbar.
Exempel 13.3 Varje ändlig mängd är avgörbar. (Varför?)
Exempel 13.4 {primtal} i N är avgörbar. (test?)
Exempel 13.5 Tag ΣSL
* som universum. WFSSL är avgörbar, som t.ex.
framgår av programmet "wfs" i Scheme-paketet. Med
WFS SL som universum är LGSL avgörbar, t.ex. ger
sanningsvärdestabell-konstruktion eller tablåalgoritmen
fullständiga test. LG SL är också avgörbar med ΣSL
* som
universum enligt principen: C avgörbar delmängd av B och B
avgörbar delmängd av A ⇒ C avgörbar delmängd av A
(motivera!) .
Exempel 13.6 Tag ΣAR
* som universum. WFFAR och WFSAR är avgörbara (se t.ex. programmet "wff" i Scheme-paketet). Tablåmetoden ger nu bara ett positivt test för LGAR: om den
matas med en logiskt giltig sentens kommer den efter ett
ändligt antal steg att producera ett bevis för denna (en
"fullständig automatisk teorembevisare"), men om den
matas med en falsifierbar sentens, så kan det hända att
processen inte stoppar. Detta utesluter inte att det skulle
kunna finnas något annat test för LGAR som är fullständigt.
Avgörbarheten av LGAR skall behandlas nedan.
Några allmänna observationer
Givet ett effektivt uppräkneligt universum U
och en delmängd M av U. Då gäller
a)
M är avgörbar
b)
M är eff. uppräknelig
⇔ det finns både ett positivt test
och ett negativt test för M
⇔ det finns något positivt test för M
84
c)
M är avgörbar
d)
M är eff. uppräknelig
e)
M är avgörbar
⇔ M:s karakteristiska funktion
är beräkningsbar
⇔ det finns någon beräkningsbar
surjektion: M → N .
⇔ både M och M c (M:s komplement)
är eff. uppräkneliga.
Bevis: a) ⇒) Uppenbart.
⇐) Låt P+ och P- vara ett positivt och ett
negativt test för M. Ett fullständigt test fås så här: ge input x ∈ U till både
P+ och P- och tag omväxlande ett steg enligt P+ och P- . Efter ett ändligt
antal steg får vi antingen veta från P+ att x ∈ M eller från P- att x ∉ M.
b) ⇒) Givet x ∈ U som input, sätt igång generering av M, stoppa med
output 1 om och när x dyker upp. Detta ger ett positivt test för M.
⇐) Givet ett positivt test P+ . Låt P arbeta så här; sätt igång generering av U: u0 ,u1,u2 ,................; efter generering av uk tag med var och en av
u0 ,u1,.......,uk som input k steg enligt P+, gå sedan vidare till generering av
uk+1 osv. Varje gång P+ stoppar och ger output 1 för ett ui, låt P ge detta ui
som output.. Man inser att P kommer att generera hela M.
c) Omedelbart klart ur definitionen av avgörbarhet.
d) ⇒) Givet input ett naturligt tal n (i någon representation). Sätt igång
generering av M: m0 ,m1,m2 ,.............., stoppa när vi kommer till mn och
ge mn som output. Denna algoritm ger en surjektion: N → M.
⇐) Låt f: N → M vara en beräkningsbar surjektion. Låt P arbeta så här:
sätt igång generering av N: 0,1,2,............... För varje n beräknas f(n) och ges
som output av P. P kommer att generera hela M.
e) Ett negativt test för M är ekvivalent med ett positivt test för Mc. Använd a) och b).
Vi skall nu införa begreppet "gödelnumrering", som gör att vi kan översätta
alla utsagor om strängar (och tillhörande mängder, relationer och
funktioner) till utsagor om naturliga tal (och tillhörande mängder,
relationer och funktioner). Givet ett alfabet Σ = {a0 ,a1,a2 ,............} och
motsvarande strängmängd Σ*.
En gödelnumrering av Σ* är en tillordning av naturliga tal till elementen i
Σ*, sådan att
1)
2)
3)
gödelnumret för en sträng kan effektivt beräknas.
olika strängar har olika gödelnummer
för varje naturligt tal n kan det avgöras om n är ett
85
gödelnummer, och i så fall kan motsvarande sträng
effektivt bestämmas.
Mer koncist: en gödelnumrering av Σ* är en beräkningsbar injektion
gn: Σ* → N med avgörbar värdemängd och beräkningsbar invers.
Vilken gödelnumrering vi använder spelar ingen roll; begreppet har
huvudsakligen teoretiskt intresse. Vi visar här en enkel sådan,
gn: Σ* → Nbin. Sätt gn(ak) = 1000.....00 med k stycken nollor, och låt en
godtycklig sträng i Σ* få som gödelnummer den sträng som fås genom att
ersätta varje bokstav med sitt gödelnummer enligt ovan.
Exempel 13.7 gn(a1a0 a3 a1) = 101100010 (binärt skrivet tal).
Läsaren bör övertyga sig om att ovan givna gn uppfyller villkoren för en
gödelnumrering (med värdemängden N − {0}, om alfabetet är oändligt).
Exempel 13.8 ΣSL = { ∧ , ∨ , ¬ , → , ↔ , ( , ) , ⊥ , p0 , p1 , p2 , ..................}
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ...............
Gödelnumret för ¬∧∧)⊥¬ är 10011100000010000000100.
Gödelnumret för (p0 → p1) är
100000100000000100010000000001000000.
Observationer
Låt M vara en delmängd av Σ* och gn(M) motsvarande mängd av
gödelnummer. Då gäller:
M eff. uppräknelig
⇔ gn(M) eff. uppräknelig
M avgörbar
⇔ gn(M) avgörbar .
Låt f: U → V vara en funktion (U och V strängmängder) och
fgn motsvarande funktion: gn(U) → gn(V) . Då gäller.
f beräkningsbar
⇔
fgn beräkningsbar .
Bevisas rakt upp och ned. Läsaren bör övertyga sig.
Exempel 13.9 gn(ΣSL
* ) = N − {0} (binär representation) är uppenbart
eff. uppräknelig. Mot den naturliga uppräkningen
1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, ............... av N − {0}
svarar uppräkningen ∧, ∨, ∧∧, ¬, ∨∧, ∧∨, ∧∧∧, →, .............
av ΣSL
*.
Av den tidigare observationen e) följer att även WFSSL och
LGSL är eff. uppräkneliga.
Motsvarande fås direkt för ΣAR
* , WFFAR och WFSAR. Att
86
även LGAR är eff. uppräknelig följer av observation b) och
existensen av ett positivt test för LG AR. Fortfarande
kvarstår frågan om LGAR är avgörbar.
1936 bevisade Church sin berömda oavgörbarhetssats för predikatlogiken.
Här är en version av den.
Church's oavgörbarhetssats
LGAR är inte avgörbar.
Resultatet gäller även för andra predikatlogiska språk än just aritmetikens, det väsentliga är förekomsten av funktionssymboler och/eller
flerställiga relationssymboler.
Med hjälp av observation e) fås följande
Corollarium
{falsifierbara sentenser i WFSAR} är inte eff. uppräknelig.
Vi skall ge en skiss av hur man kan bevisa Church's sats, och samtidigt
även se hur Gödels ofullständighetssats kan erhållas. Eftersom Church's
sats säger att det inte finns någon algoritm som ger ett fullständigt test för
LGAR, så uttalar den sig om alla överhuvudtaget tänkbara algoritmer. Om
man vill bevisa ett sådant uttalande, så duger det inte längre att använda
sin intuitiva uppfattning av begreppet algoritm, utan våra begrepp måste
ges exakta definitioner. Av observationerna c) och d) följer att det räcker att
exakt definiera begreppet beräkningsbar funktion, och av den senaste
observationen om Gödelnummer följer att det räcker att exakt definiera
begreppet beräkningsbar funktion: N → N. Många olika analyser av detta
begrepp har gjorts. Här är några:
1) Funktionen kan beräknas med en Turingmaskin. Detta begrepp
studeras i andra kurser.
2) Funktionen är "rekursiv" i en speciell mening, som kan definieras på basis av addition och multiplikation.
3) Funktionen kan beräknas med en abstrakt variant av registermaskiner.
4) Funktionen kan definieras i Church's "λ-kalkyl".
5)
Funktionen kan beräknas medelst ett system av
rekursionsekvationer enligt Herbrand - Gödel.
87
På grund av djupet av analyserna som ledde till ovanstående definitioner
och det faktum att alla dessa visat sig vara ekvivalenta (kan stringent
bevisas) så måste man här ha hittat ett viktigt begrepp, och det är numera
ganska allmänt accepterat att det sammanfaller med det intuitiva
begreppet beräkningsbar, det är detta som kallas Church's tes.
I och med detta får vi också precisa definitioner av begreppen avgörbar,
kallas då rekursiv, och effektivt uppräknelig, kallas då rekursivt
uppräknelig.
Innan vi går in på Church's sats etc skall vi titta på ett oavgörbarhetsresultat som handlar om Turingmaskiner. En Turingmaskin av viss typ (det
finns några oväsentliga variationer av begreppet) karakteriseras av sitt
"program", som kan ges som en ändlig symbolsträng. Mängden av
Turingmaskiner kan därmed lätt visas vara eff. uppräknelig:
Tm1, Tm2 , Tm3 , ....................... Följande sats gäller:
Sats
Variant av stopp-problemet för Turingmaskiner.
Mängden M = {n ∈ N; Tmn stoppar vid input n}
är ej avgörbar.
Bevis: Antag att M vore avgörbar. Det skulle då finnas en beräkningsbar
funktion: g: N → {0,1} sådan att
 1 om Tm stoppar vid input n

n
g(n) = 
.
 0 annars
Enligt Church's tes finns en Turingmaskin, säg Tmd, som beräknar g. Vi får
därmed följande motsägelse: Tmd stannar ej vid input d ⇔
⇔ [def. av g] ⇔ g(d) = 0 ⇔ [Tmd beräknar g] ⇔ Tmd stannar och ger
output 0 vid input d. M kan alltså inte vara avgörbar. VSB
Låt oss definiera begreppet "teori". Vi tar fasta på följande egenskap: om
sentenserna P1, P2 , ........, Pn ingår i en teori och Q är en logisk konsekvens av
(kan härledas från) dessa, så ingår även Q i teorin. Vi gör alltså följande
Definition
En teori (över ett predikatlogiskt språk L) är en mängd sentenser
(över L) som är sluten under härledbarhet (eller ekvivalent: under logisk
konsekvens).
88
Exempel 13.10
TPeano = {alla konsekvenser av Peanos axiom}
är en teori.
Taritmetik = {alla sentenser som är sanna i standardtolkningen} är en teori.
LGAR är en teori. WFSAR är en teori.
Om vi stryker alla induktionsaxiom i Peanos axiomsystem och lägger till som axiom
∀x(x ≠ 0 → ∃y(x = S(y))) ,
så får vi ett axiomsystem med sju axiom,
de s.k. Q-axiomen.
TQ = {alla konsekvenser av Q-axiomen} är en teori.
Obs. att LGAR ⊆ TQ ⊆ TPeano ⊆ Taritmetik ⊆ WFSAR.
Dessa teorier skall vi koncentrera oss på i fortsättningen.
Ett antal egenskaper hos teorier skall betraktas: konsistens, fullständighet, axiomatiserbarhet, effektiv uppräknelighet och avgörbarhet.
Definitioner
T är konsistent (motsägelsefri) om ⊥ ej tillhör T.
T är fullständig om för varje sentens P antingen P eller ¬ P tillhör T.
(dvs "T svarar på varje fråga i det aktuella språket").
Observera att T är konsistent ⇔ inte för någon sentens gäller att både P
och ¬ P tillhör T. Och: T är konsistent ⇔ T är inte hela WFSL.
Antag vidare att T' är en utvidgning av T, dvs att T'⊇T. Då gäller:
T' konsistent ⇒ T konsistent ; T fullständig ⇒ T' fullständig.
(Läsaren bör övertyga sig om alla dessa påståenden).
Exempel 13.11 Av teorierna i exempel 13.10 är alla konsistenta utom
WFS AR. Varför ?
Taritmetik är fullständig. Varför ?
Man kan visa att om P är sentensen ∀x∀y(x+y = y+x),
så är varken P eller ¬ P en konsekvens av Q-axiomen.
(Jfr ett tentamenstal 890908). Detta visar att teorin TQ
inte är fullständig. Däremot är ju P en konsekvens av
Peanos axiom, dvs P ∈ TPeano .
Fullständighet eller inte för TPeano diskuteras nedan.
Mera banala iakttagelser: LGAR är ofullständig,
WFS AR fullständig.
89
Definition
T är axiomatiserbar om det finns någon avgörbar delmängd av
sentenser i T (vilka kallas axiom) från vilka alla sentenser i T kan
härledas. Obs: här menas "avgörbar såsom delmängd av WFS L".
Lägg märke till kravet på avgörbarhet. Utan det blir varje teori trivialt
axiomatiserbar: tag hela teorin som axiomsystem!
Exempel 13.12 TPeano och TQ är uppenbarligen axiomatiserbara per
definition (läsaren måste övertyga sig om att mängden
av axiom i Peanos axiomsystem är avgörbar).
Den intressanta frågan i detta sammanhang är huruvida
Taritmetik är axiomatiserbar. Den skall besvaras nedan.
LGAR är trivialt axiomatiserbar (tag tom axiommängd),
liksom WFSAR (tag t.ex. ⊥ som enda axiom).
Observation A
En axiomatiserbar teori är effektivt uppräknelig.
Bevis: Låt T vara en axiomatiserbar teori. En godtycklig sentens Q tillhör T
⇔ det finns axiom P1,.....,Pn så att P 1 ∧ ..... ∧ Pn → Q tillhör LGAR (eller
allmännare: LGL). Vi har tidigare konstaterat att LG AR är eff. uppräknelig.
T kan genereras så här: generera LGAR; för varje genererad sentens kan
avgöras om den är på formen P1 ∧ ..... ∧ Pn → Q, där Pi är axiom (här
används att mängden av axiom är avgörbar); om så är fallet ges Q som
output.
Observation B
En fullständig axiomatiserbar teori är avgörbar.
Bevis: Antag att T är fullständig och axiomatiserbar. Om T är inkonsis-tent,
så är T = WFSL, trivialt avgörbar. Antag därför i fortsättningen av beviset
att T är konsistent. För att avgöra om ett godtyckligt P tillhör T, generera T
(möjligt enligt observation A) tills antingen P eller ¬ P dyker upp. Då avgörs
om P ∈ T eller inte, ty på grund av konsistensen
gäller (¬ P) ∈ T ⇒ P ∉ T.
Vi närmar oss oavgörbarhets- och ofullständighetsbevisen i logiken. I
grunden handlar det om samma typ av "diagonal-argument" ("själv-
90
referens") som vid stopp-problemet för Turingmaskiner. Där användes att
varje beräkningsbar funktion kan beräknas med en Turingmaskin (om vi
accepterar Church's tes). Vi skall nu använda oss av nedanstående
motsvarighet inom logiken - aritmetiken.
Definition
En mängd M av naturliga tal är definierbar i teorin T, om det finns
någon formel A(x) med en fri variabel, sådan att
 n ∈ M

 n∉ M
⇒
A(n) ∈ T
⇒ (¬ A(n)) ∈ T
(n är peano-representationen för n).
Exempel 13.13 M = {primtal} är definierbar i TPeano av formeln P(x)
i exempel 6.8 (bevisas inte här).
Man kan bevisa följande förvånansvärt starka resultat:
Sats
Varje avgörbar delmängd av N är definierbar i TQ.
Church's tes förutsättes. Referens t.ex. Boolos - Jeffrey: Computability and
Logic (Cambridge University Press). Beviset är långt och tekniskt. Men när
vi väl har detta resultat får vi ganska snabbt vår huvudsats:
Sats
Låt T vara en konsistent utvidgning av TQ (ev. T = TQ).
Då är T ej avgörbar.
Bevis: Antag att T vore avgörbar. Sätt M = {n ∈ N; n är gödelnumret för
någon formel P(x) med en fri variabel, och P(n) ∉ T}. M är då avgörbar (tänk
efter!), och kan definieras i TQ, och därmed i T, av en formel D(x). Låt d vara
gödelnumret för denna formel. Vi frågar oss nu om D(d) tillhör T och får
följande motsägelse: D(d) ∈ T ⇒ [def. av M] ⇒ d ∉ M ⇒ [D(x)
definierar M] ⇒ (¬ D(d)) ∈ T ⇒ [T konsistent] ⇒ D(d) ∉ T , och D(d)
∉ T ⇒ [def. av M] ⇒ d ∈ M ⇒ [D(x) definierar M] ⇒ D(d) ∈ T.
Härav följer att T inte kan vara avgörbar.
Corollarium 1
Church's sats
LGAR är inte avgörbar.
Bevis: Låt A vara konjunktionen av de ändligt många Q-axiomen. För en
godtycklig sentens P gäller då P ∈ TQ ⇔ (A → P) ∈ LGAR. Om LGAR
vore avgörbar skulle tydligen TQ också bli avgörbar, i strid med satsen.
Härmed är saken klar.
91
Corollarium 2
Variant av Gödels första ofullständighetssats
Det finns ingen konsistent, fullständig, axiomatiserbar
utvidgning av TQ .
Bevis: Kombinera satsen med observation B.
Corollarium 3
Taritmetik är inte axiomatiserbar (speciellt inte avgörbar).
Corollarium 4
TPeano är inte fullständig, och förblir ofullständig vid
varje konsistent utvidgning av axiomsystemet.
Apropå corollarium 4 skulle det vara intressant att ange en aritmetisk
sentens P sådan att varken P eller ¬ P kan härledas från Peanos axiom,
eller ekvivalent: att ange en (i standardmodellen) sann aritmetisk sentens
som ej kan härledas från Peanos axiom. En sådan är den som förekommer i
Gödels andra ofullständighetssats nedan. Medelst gödelnumrering kan
utsagor om våra formella system översättas till utsagor om naturliga tal.
T.ex. kan utsagan "TPeano är konsistent", dvs "från Peanos axiom kan ej ⊥
härledas" översättas till en sentens i aritmetikens språk, som vi skriver
"Consis TPeano ". Denna sentens är sann (i standardmodellen) om och endast
om TPeano är konsistent (vilket ju är fallet!). I Hilberts program (omtalat i
avsnitt 12) ingick att försöka bevisa konsistensen av formella system med
hjälp av "ändliga metoder". Detta projekt kom på skam, som visas av
följande sats (bevisas ej här):
Sats
Variant av Gödels andra ofullständighetssats
Låt T vara en konsistent, axiomatiserad utvidgning av TQ.
Då är sentensen "Consis T" sann (i standardmodellen) men
ingår ej i T, dvs kan ej härledas från T:s axiom.
Specialfall: "Konsistensen av Peano-aritmetiken kan ej visas med metoder
formaliserbara inom Peano-aritmetiken".
******************************
92
Övningar till avsnitt 13.
1.
2.
Antag att T är en fullständig teori i något predikatlogiskt språk. Låt P och Q
vara godtyckliga sentenser i det aktuella språket.
P∨Q ∈ T
⇔
(P ∈ T eller Q ∈ T) .
a)
Visa
b)
Visa att kravet på fullständighet ej kan slopas: ge ett exempel på en ofullständig teori för vilken påståendet i a) inte gäller.
Låt T vara den teori över språket {≤}, som består av alla konsekvenser av
följande axiom:
∀x(x ≤ x)
∀x∀y∀z(x ≤ y ∨ y ≤ z → x ≤ z)
∀x∀y(x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y)
∀x∀y(x ≤ y ∨ y ≤ x)
∃x∃y∀z(x ≤ z ∧ z ≤ y) .
(Totalordning med största och minsta element).
Visa att T inte är en fullständig teori.
3.
4.
Visa att följande två sentenser är logiska konsekvenser av Q-axiomen:
a)
∀x∀y(x + y = 0 → x = 0 ∧ y = 0) .
b)
∀x∀y(y∗x = 0 → x = 0 ∨ y = 0) .
Betrakta ett språk för gruppteorin, med tvåställiga funktionssymbolen ∗ ,
enställiga funktionssymbolen -1 , samt individkonstanten e. Teorin för
abelska grupper har följande axiom:
∀x∀y∀z((x∗y)∗z = x∗(y∗z))
∀x(x∗e = x ∧ e∗x = x)
∀x(x∗x-1 = e ∧ x-1∗x = e)
∀x∀y(x∗y = y∗x) .
Visa att denna teori ej är fullständig!
(Betrakta t. ex. följande strukturer:
(i)
Mängden av heltal med binära operationen + etc.
(ii)
Mängden {0} med binära operationen + etc. )