1
2
3
Σ
Lösningsförslag till kontrollskrivning 2 i SF1659, Matematik Baskurs
25 september 2012, kl. 8:15–9:45
Varje uppgift ger maximalt 4 poäng. För godkänd KS krävs minst 8 poäng.
Redovisa lösningarna på sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa. Motivera
väl och skriv prydligt och ordentligt. Skriv på dessa papper dvs lös uppgiften på samma papper
som den är given på.
Inga hjälpmedel är tillåtna. När skrivningen lämnas in skall legitimation visas.
−(x+2)
1
(1) a). Lös ekvationen
= 5x+3 + x 5x .
5
2
b). Lös ekvationen ln x − ln = ln(x + 4).
x
2p.
2p.
Lösning: a) Eftersom 1/5 = 5−1 har vi
VL = 5x+2 = 5x 52 = 25 · 5x .
Vidare är
HL = 53 5x + x5x = 125 · 5x + x5x .
Alltså kan ekvationen skrivas
25 · 5x = 125 · 5x + x5x ⇐⇒ 5x (125 + x − 25) = 0.
Eftersom 5x > 0 för alla x ∈ R måste vi ha 125 + x − 25 = 0, dvs x = −100.
Svar: x = −100.
b) Vi noterar först att vi måste ha x > 0 för att de ingående termerna ska vara definierade. För sådana x ger logartimlagarna
ln x − ln
x
x2
2
= ln x + ln = ln
x
2
2
Ekvationen kan därför skrivas
x2
= ln(x + 4).
2
Vi vet att funktionen ln t är injektiv, så vi måste ha
ln
x2
= x + 4 ⇐⇒ x = 4 eller x = −2.
2
Eftersom vi måste ha x > 0 är x = 4 den enda lösningen till ekvationen.
Svar: x = 4.
2
(2) a). Lös ekvationen 4 cos2 x − 8 sin x − 7 = 0.
3p.
b). Vinkeln v är spetsig, och cos 2v = − 91 . Beräkna exakta värdet av cos v.
1p.
Lösning: a) Genom att utnyttja trigonometriska ettan, cos2 x + sin2 x = 1, kan vi skriva
ekationen som
4(1 − sin2 x) − 8 sin x − 7 = 0 ⇐⇒ 4 sin2 x + 8 sin x + 3 = 0.
Vi löser denna ekvation genom att sätta t = sin x. Då får vi
1
3
4t2 + 8t + 3 = 0 ⇐⇒ t = − eller t = − .
2
2
Ekvationen sin x = −3/2 saknar lösningar (efterom sin x endast antar värden i intervallet
[−1, 1]) så enda möjligheten är att
sin x = −1/2.
Denna ekvation har lösningarna x = −π/6 + n2π eller x = π + π/6 + n2π, n ∈ Z.
Svar: x = −π/6 + n2π eller x = 7π/6 + n2π, n ∈ Z.
b) Vinkeln v är spetsig, så vi vet att den ligger mellan 0 och π/2. Genom att använda
formeln cos 2v = 2 cos2 v − 1 får vi
1
4
2
1
cos 2v = − ⇐⇒ 2 cos2 v − 1 = − ⇐⇒ cos2 v = ⇐⇒ cos v = ± .
9
9
9
3
2
Eftersom vinkeln v är spetsig måste vi ha cos v = 3 .
Svar: cos v = 32 .
(3) a). Bestäm inversen till funktionen f (x) = 5 + e 3 +1 .
2p.
b). Ange inversens definitions- och värdemängd.
2p.
x
Lösning: a) Vi bestämmer inversen genom att lösa ekvationen
y = 5 + e 3 +1
x
för olika värden på y. Vi får
y = 5 + e 3 +1 ⇐⇒ y − 5 = e 3 +1 ⇐⇒ ln(y − 5) =
x
x
x
+1
3
⇐⇒ x = 3(ln(y − 5) − 1).
Alltså ges inversen till f av f −1 (x) = 3(ln(x − 5) − 1) (vi svarar med variabeln x).
b) Från analysen i a) ser vi att för varje y > 5 har ekvationen y = f (x) en unik lösning
(och ingen lösning om y ≤ 5). Alltså är Df −1 = Vf = (5, ∞). Vidare är f (x) definierad
för varje x, så Vf −1 = Df = R.
Svar: a) f −1 (x) = 3(ln(x − 5) − 1): b) Df −1 = (5, ∞) och Vf −1 = R.
