Rationella punkter på algebraiska kurvor

Rationella punkter på algebraiska kurvor
Robert Nilsson, NA3a
20 ma j 2014
Gymnasiearbete
Gymnasieskolan Spyken
Handledare: Roger Bengtsson
Abstract
The aim of this text is to investigate dierent methods of nding rational points on algebraic curves, that is curves dened by polynomial
equations involving two variables. The focus lies mainly on the study
of quadratic and cubic curves but a section will also discuss a more
general curve namely the Fermat Curve xn + y n = 1. The study will
mainly deal with rational parametrizations of curves and how from the
equations of the curves parametrize them. However, in section four a
special case will be accounted for where we instead dene a curve geometrically and from this nd the parametrization. The text will also
discuss when and why certain curves can and can not be parametrized.
Sammanfattning
Syftet med denna text är att undersöka olika metoder för att nna rationella punkter på algebraiska kurvor, det vill säga kurvor denierade
av polynomekvationer i två variabler. Störst fokus kommer att ligga
vid undersökning av kvadratiska och kubiska kurvor men ett avsnitt
kommer även behandla en mer generell kurva nämligen Fermatkurvan
xn + y n = 1. Undersökningen kommer främst att handla om rationella
parametriseringar av kurvor och hur man utifrån kurvornas ekvationer
parametriserar dem. I avsnitt fyra kommer emellertid ett särskilt fall
redogöras för där vi istället denierar en kurva geometriskt och utifrån
detta nner parametriseringen. Texten kommer även att redogöra för
när och varför det går respektive inte går att parametrisera kurvor.
Innehåll
1
Introduktion
1
2
Teori
2
3
Kurvor av grad två
5
4
Kurvor av grad tre
10
5
Kurvan
2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Skärningspunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Singularitet och partiella derivator . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Enhetscirkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Andra kurvor av grad två . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
5
9
4.1 Singulära kurvor av grad tre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.1 Cissoiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Icke-singulära kurvor av grad tre . . . . . . . . . . . . . . . . 15
xn + y n = 1
17
1
Introduktion
Studiet av rationella punkter på algebraiska kurvor utgör en gren av talteorin
som behandlar lösningar till polynomekvationer i antingen heltal eller rationella tal. Sådana ekvationer är ofta benämnda Diofantiska ekvationer efter
den grekiske matematikern Diofantos. Det kanske mest kända problemet som
behandlar diofantiska ekvationer är Fermats stora sats som säger att det inte
nns några positiva heltalslösningar till ekvationen
Xn + Y n = Zn
för n ≥ 3. Satsen formulerades i mitten av 1600-talet men bevisades först
över 350 år senare (1995). Problemet att hitta heltalslösningar till ekvationen
kan översättas till att hitta rationella lösningar till
xn + y n = 1
då ekvationen kan skrivas om till
X
Z
n
n
Y
+
=1
Z
Ekvationen xn + y n = 1 är ett av många exempel på en algebraisk kurva då
dess lösningar ger upphov till en kurva i xy -planet (kurvan har blivit känd
som Fermatkurvan). Kan vi nna rationella punkter på denna kurva kan vi
alltså nna heltalslösningar till Fermats ekvation. I avsnitt 3.1 kommer vi
att visa hur detta går till för fallet n = 2 då ekvationen har oändligt många
heltalslösningar. Vi kommer även i avsnitt 5 återkomma till ekvationen och
mer allmänt visa att kurvan inte är rationell det vill säga inte har någon
rationell parametrisering för n ≥ 3.
Denna text grundar sig i ett förslag på specialarbete i matematik hämtat
från Institut Mittag-Leer (http://www.mittag-leer.se/?q=specialarbeten).
Förslaget är konstruerat av Björn Gustafsson, KTH, och har titeln Något om
algebraiska kurvor. Texten följer emellertid inte förslaget alltigenom då detta
tar upp en mer allmän syn på algebraiska kurvor, utan fokuserar främst på
teorin kring rationella punkter på kurvor.
Boken Rational Points on Elliptic Curves [1] skriven av Joseph H. Silverman och John Tate utgör arbetets främsta källa då större delen av arbetet
- teorin, avsnitt 3 och större delen av avsnitt 4 - är hämtat därifrån. Inspiration till avsnitt 4.1.1 är hämtat från en lmad föreläsning av Norman J.
Wildberger, docent vid UNSW (University of New South Wales).
1
2
Teori
2.1 Denition
En algebraisk kurva denieras som den mängd punkter som uppfyller en
ekvation f (x, y) = 0. Alla par av tal x och y som är lösningar till ekvationen
kommer alltså utgöra en kurva i planet. Funktionen f är dock inte tillåten
att se ut hur som helst utan måste utgöras av ett polynom i två variabler
(x och y ) med reella koecienter. I denna text kommer vi dock fokusera på
kurvor med rationella koecienter. Ett polynom innebär alltså i detta fall
en ändlig summa termer på formen axi y j där exponenterna i och j utgörs
av heltal större än eller lika med noll. Att funktionen består av två variabler
innebär att kurvan är plan dvs. rör sig i två dimensioner (i planet).
När man talar om en kurvas grad är det den högsta summan i + j för
varje term som anger gradtalet. Exempelvis har kurvan x2 y 2 + 3x + y 3 = 0
därför gradtalet 4.
Ett sätt att beskriva algebraiska kurvor är genom så kallade parametriseringar vilka används för att generera lösningar till kurvans ekvation. Ofta är
det svårt att utifrån kurvans algebraiska representation komma fram till dess
utseende och geometriska egenskaper. Vi är vana att algebraiskt beskriva
kurvor som y = f (x) dvs. den ena variabeln som en funktion av den andra.
Lösningar (punkter) kan därför bli mycket svåra att hitta då variablerna i
ekvationen istället är blandade som i exemplet ovan.
En parametrisering utgörs av uttryck för x och y i en ny variabel (parameter). Genom att låta parametern variera kan alltså lösningar till ekvationen
dvs. punkter på kurvan genereras. Med en rationell parametrisering kan vi
enligt denna princip hitta alla rationella punkter på en given algebraisk kurva.
2.2 Skärningspunkter
För två algebraiska kurvor gäller det att antalet skärningspunkter mellan dem
är lika med produkten av kurvornas gradtal. Detta formulerades i en sats av
den franske matematikern Étienne Bézout och är känt som Bézouts sats. Har
vi exempelvis en kurva av grad m och en kurva av grad n kommer de skära
varandra mn gånger. Detta kräver förstås att man tillåter särskilda synsätt
på kurvor och deras egenskaper och gäller inte vid de vanligtvis rådande omständigheterna. Kurvorna y = x2 och y = −1 har t.ex. inga skärningspunkter
2
i det planet vi är vana att studera. För att satsen ska gälla måste vi därför
först och främst använda oss av det projektiva planet vilket har punkter i
oändligheten, så kallade oändlighetspunkter. Vi måste även tillåta komplexa
skärningspunkter. Slutligen måste vi räkna med skärningspunkters multipliciteter, vilket t.ex. innebär att en tangent till en kurva skär den tangerade
punkten mer än en gång.
2.3 Singularitet och partiella derivator
När man undersöker kurvor av grad högre än två är det särskilt intressant
att studera kurvor med så kallade singulära punkter. Dessa är punkter där
kurvan skär sig själv eller mer allmänt punkter genom vilka kurvan löper
mer än en gång. Som exempel kan de två kurvorna y 3 = x2 − y 2 (g. 1) samt
(x2 + y 2 )2 = x2 − y 2 (g. 2) nämnas vilka båda tydligt har en singulär punkt
i origo.
Figur 1
Figur 2
Singulära punkter har egenskapen att de partiella derivatorna i punkten
försvinner. Partiella derivator är derivator av funktioner i er än en variabel
med avseende på endast en av dem. De andra variablerna betraktas således
som konstanter vid deriveringen.
Den partiella derivatan av en kurva f (x, y) = 0 med avseende på x respektive y skrivs
∂f
∂f
respektive
∂x
∂y
En partiell derivata kan alltså beräknas för varje variabel i ekvationen.
3
Låt oss säga att vi har kurvan
x3 + 2xy − xy 2 = 0
och söker de partiella derivatorna. Deriverar vi med avseende på x betraktas
alltså y som konstant och deriverar vi med avseende på y betraktas x som
konstant. Därefter gäller traditionella deriveringsregler vilket ger
∂f
= 3x2 + 2y − y 2
∂x
∂f
= 2x − 2xy
∂y
Som nämnts är de partiella derivatorna lika med noll i en singulär punkt.
Har vi en kurva f (x, y) = 0 och vill hitta en singulär punkt behöver vi alltså
lösa ekvationssytemet

∂f


=0



 ∂x
∂f
=0


∂y




f (x, y) = 0
vilket, om singulära punkter nns, kommer ge ett antal lösningar (x, y) det
vill säga koordinaterna för de singulära punkterna.
4
3
Kurvor av grad två
3.1 Enhetscirkeln
Den kanske mest fundamentala och välkända algebraiska kurvan av andra
graden är enhetscirkeln. Cirkeln beskrivs av ekvationen
x2 + y 2 = 1
vilket innebär att alla par av tal (x, y) som uppfyller denna ekvation kommer
benna sig på cirkeln.
Enhetscirkeln har som en konsekvens av sitt utseende en reell parametrisering
x = cos θ , y = sin θ
För vilket reellt tal θ vi än väljer får vi alltså med parametriseringen ut en
reell punkt på enhetscirkeln, dvs. en punkt där både x- samt y -koordinaten
utgörs av reella tal. Med andra ord innebär detta att varje punkt (x, y) på
enhetscirkeln har koordinaterna (cos θ, sin θ) där θ utgörs av ett godtyckligt
reellt tal.
Cirkeln har dock även rationella punkter vilka med denna parametrisering
är svåra att generera. Väljer vi exempelvis ett rationellt tal som θ betyder
det inte nödvändigtvis att en rationell koordinat genereras. För att nna
de rationella koordinaterna krävs istället en rationell parametrisering dvs.
en parametrisering där funktionerna som genererar x- samt y -värdena är
rationella. En rationell funktion denieras som en kvot av två polynom med
rationella koecienter. Vi söker alltså två funktioner r(t) samt s(t) sådana
att
r(t)2 + s(t)2 = 1
där r(t) respektive s(t) båda utgörs av kvoter mellan två polynom.
För att nna dessa funktioner tänker vi oss en rät linje som löper genom
punkten (−1, 0).
5
Figur 3
Detta innebär att linjen får ekvationen
y = t(x + 1)
eftersom den har ett nollställe för x = −1. Denna linje har, vilket tydligt
framgår av gur 3, egenskapen att den skär cirkeln i ytterligare en punkt P
utöver skärningspunkten (−1, 0). Har vi en rationell skärningspunkt kan vi
säkerställa att även den andra kommer vara det. För att nna skärningspunkterna kommer vi få en polynomekvation av grad två. (Skärningspunkterna får
vi av att lösa ett ekvationssytem med kurvans respektive linjens ekvation).
Polynomekvationen kommer vi därför kunna skriva om till
k(x − a)(x − b) = 0
där lösningarna a och b kommer utgöra x-koordinaterna för skärningspunkterna. Om både linjens och kurvan koecienter är rationella kommer även
denna ekvation utmultiplicerad få rationella koecienter. Om vi nu vet att
en skärningspunkt dvs. en lösning a är rationell och koecienterna ska vara
rationella ser vi då att den andra lösningen b också måste vara rationell.
För varje rationellt tal t som väljs kommer alltså en ny rationell punkt P
genereras. För att nna koordinaterna för P , dvs. den andra skärningspunkten, måste alltså följande ekvationssystem lösas
(
x2 + y 2 = 1
y = t(x + 1)
6
Vilket ger
x2 + t2 (x + 1)2 = 1
t2 (x + 1)2 = 1 − x2
t2 (x + 1)2 = (1 − x)(1 + x)
t2 (x + 1) = 1 − x
(Lösningen x = −1 försvinner då faktorn (x + 1) förkortas bort men är inte
heller intressant då den motsvarar skärningspunkten (−1, 0) vilken redan är
känd eftersom det var där l valdes att gå genom.)
t2 x + t2 = 1 − x
(t2 + 1)x = 1 − t2
1 − t2
x=
1 + t2
På detta vis har vi således fått ett uttryck som beskriver hur x-koordinaten
för punkten P beror på den rationella parametern t. Med denna ekvationen
och linjens ekvationen kan sedan motsvarande beräknas för y -koordinaten.

1 − t2


x =
1 + t2


y = t(x + 1)
1 − t2
+1
1 + t2
1 − t2 + 1 + t2
1 + t2
y=t
y=t
y=
2t
1 + t2
Vilken rationell punkt, utom (-1,0), som än väljs på enhetscirkeln kommer
alltså att få koordinaten
2
1−t
2t
,
2
1 + t 1 + t2
7
där t representerar ett godtyckligt rationellt tal.
En intressant konsekvens av denna parametrisering är att den kan användas till att generera så kallade pythagoreiska taltripplar. Dessa är grupperingar av tre heltal vilka utgör sidorna i en rätvinklig triangel, exempelvis
talen 3, 4, 5 då
32 + 42 = 52
Mer allmänt innebär det alltså att en pythagoreisk taltrippel utgörs av tre
positiva heltal a, b, c sådana att
a2 + b 2 = c 2
(enligt Pythagoras sats).
Med en enkel omskrivning av ekvationen ser vi då att problemet kan
översättas till att hitta heltalslösningar till ekvationen
a 2
c
2
b
=1
+
c
vilken har tydliga likheter med enhetscirkelns ekvation
x2 + y 2 = 1
vilken i sin tur med den rationella parametriseringen kan skrivas om till
1 − t2
1 + t2
2
+
2t
1 + t2
2
=1
Låter vi sedan det rationella talet t vara kvoten av heltalen m och n kan
följande ekvationssystem ställas upp

m

t=


n

2 2

1 − t2
2t


+
=1

1 + t2
1 + t2
och lösas till
n2 − m2
n2 + m2
2
+
2mn
2
n + m2
2
=1
(n2 − m2 )2 + (2mn)2 = (n2 + m2 )2
8
Återgår vi sedan till ekvationen a2 + b2 = c2 och jämför med denna får vi
slutligen

2
2

a = n − m
b = 2mn


c = n2 + m2
Vilka heltal m och n som än väljs kommer med dessa formler alltså tre
nya heltal a, b, c genereras vilka har egenskapen att de utgör sidorna i en
rätvinklig triangel.
3.2 Andra kurvor av grad två
Metoden för att paramterisera cirkeln kan även användas till andra kurvor av
grad två. Principen bygger på att man med en känd rationell punkt på kurvan
och en rationell linje genom denna kan få ut den andra skärningspunkten.
Denna skärningspunkten kommer då få koordinater utgjorda av funktioner
av vår rationella parameter t. Detta innebär att alla kurvor av andra graden
där vi vet en rationell punkt kommer gå att parametriseras rationellt enligt
samma princip. Det förutsätter alltså att vi har en rationell punkt på kurvan.
Som ett andra exempel kan hyperbeln nämnas vilken har ekvationen
x2 − y 2 = 1
Även denna kurva går precis som enhetscirkeln genom punkten (−1, 0). (Går
enkelt att undersöka genom att ersätta x = −1 och y = 0 i ekvationen.)
Låter vi sedan även här linjen y = t(x + 1) löpa genom denna punkt så kan
koordinaterna för den andra skärningspunken P erhållas ur
(
x2 − y 2 = 1
y = t(x + 1)
Löses sedan detta enligt liknande modell som i fallet med enhetscirkeln
får vi slutligen parametriseringen
x=
2t
1 + t2
, y=
2
1−t
1 − t2
9
4
Kurvor av grad tre
Att parametrisera tredjegradskurvor rationellt kan bli betydligt mer komplicerat än andragradskurvor. Har vi en rationell punkt på en andragradskurva,
låter en linje löpa genom denna så kommer alltid den andra skärningspunkten bli rationell. Denna egenskap utgör grunden för parametriseringar av
kurvor av andra graden. Låter man däremot en linje skära en kurva av grad
tre kommer detta istället generellt att ske tre gånger. Är sedan en av dessa
skärningspunkter rationell som i fallet med andragradskurvor nns det inget
som talar för att de andra två också är det. Problemet kan dock undvikas
om kurvorna är singulära det vill säga har singulära punkter.
4.1 Singulära kurvor av grad tre
Singulära punkter är som tidigare nämnts punkter där kurvan skär mer än
en gång. Det innebär att har man en singulär punkt på en tredjegradskurva
och drar en linje genom denna kommer linjen att skära kurvan två gånger i
den singulära punkten samt ytterligare en gång någon annan stans på kurvan då antalet skärningspunkter ska vara lika med tre. Är denna singulära
punkt rationell går det att tillämpa samma metod för parametriseringar av
andragradskurvor.
Vi tänker oss alltså en rät linje genom den singulära punkten Q och låter
P beteckna den tredje skärningspunkten. Denna nner vi som tidigare genom
att lösa ekvationssystemet
(
f (x, y) = 0
y = kx + m
där f (x, y) = 0 är den singulära kurvans ekvation och y = kx + m är linjens.
Ekvationssystemet kommer resultera i en ekvation av grad tre (då gradtalet
för f är 3 och gradtalet för linjen är 1 och 3·1 = 3). Ekvationen kommer vara
ett polynom, eftersom f är det, i en variabel om vi tänker oss att vi ersätter
y i f med linjens ekvationen. Med alla termer på samma sida likhetstecknet
och omskriven i faktorform kommer vi då få en ekvation
k(x − p)(x − q)(x − r) = 0
där p, q och r är x-värdena för skärningspunkterna P , Q och R. Linjen skär
10
två gånger i den singulära punkten dvs. vi kan sätta r = q och få
k(x − p)(x − q)2 = 0
Polynomet utmultiplicerat ska ha endast rationella koecienter. Vi ser då
att detta endast sker om p är rationell. Den tredje skärningspunkten P blir
således alltid rationell om vi låter en linje löpa genom en rationell singulär
punkt.
Tidigare togs kurvan y 3 = x2 − y 2 upp som exempel på en singulär kurva
då den har en singulär punkt i origo. Detta kan vi säkerställa genom partiell
derivering. Vi börjar med att skriva om ekvationen till y 3 − x2 + y 2 = 0. Vi
får de partiella derivatorna
∂f
= −2x
∂x
∂f
= 3y 2 + 2y
∂y
vilka ger oss ekvationssystemet


−2x = 0
3y 2 + 2y = 0

 3
y = x2 − y 2
Vi ser av den första ekvationen att x = 0. Den andra ekvationen ger oss
2
y(3y + 2) = 0 dvs. y1 = 0 , y2 = − . Ur kurvans ekvation (tredje ekvationen)
3
ser vi sedan tydligt att (0, − 23 ) inte ligger på kurvan dvs. y2 kan förkastas.
Vi får därför x = 0 , y = 0 som enda lösning det vill säga en singulär punkt
i (0, 0).
Tänker vi oss nu en rät linje gå genom origo kommer alltså ytterligare en
rationell skärningspunkt P att uppstå på kurvan.
11
Figur 4
Den räta linjen får således ekvationen y = tx. Parametriseringen fås därför
som tidigare genom att lösa
(
y 3 = x2 − y 2
y = tx
Detta ger oss slutligen parametriseringen
x=
4.1.1
1 − t2
1 − t2
,
y
=
t3
t2
Cissoiden
I detta avsnitt kommer en kurva undersökas utifrån en geometrisk denition.
Tidigare har vi utgått från kurvans algebraiska representation det vill säga
kurvans ekvation. Nu kommer vi istället att utgå från kurvans utseende för
att nna en parametrisering och sedan utifrån denna komma fram till kurvans ekvation.
Cissoiden konstrueras enligt följande:
Låt en cirkel med medelpunkt i (0, 0.5) tangera x-axeln och linjen y = 1. Låt
A vara en punkt på cirkeln. Låt B vara skärningspunkten mellan y = 1 samt
linjen genom origo O och A. Låt P vara en punkt på linjen genom O och A
−→ −→
så att AB = OP .
12
Figur 5
Genom att låta A förytta sig på cirkeln kommer alltså nya punkter P att
genereras vars punktmängd då kommer att utgöra cissoiden.
Figur 6
För att nna parametriseringen av kurvan låter vi punkten B ha koordinaterna (t, 1). Låter vi P ha koordinaterna (xP , yP ) söker vi alltså uttryck
för xP och yP som rationella funktioner av t.
Vektorföryttningen ger att
xP = x B − xA = t − xA
Punkten A är skärningspunkten mellan cirkeln och linjen genom origo. Linjen
har ekvationen
x
x = ty ⇔ y =
t
då den går genom (0, 0) och (t, 1). Cirkeln har radien r = 0.5 och medelpunkt
i (0, 0.5) vilket ger den ekvationen
13
x2 + (y − 0.5)2 = 0.52
x2 + y 2 − y + 0.25 = 0.25
x2 + y 2 − y = 0
Koordinaten xA får vi därför genom att lösa


x 2 + y 2 − y = 0
x

y =
t
x2 +
x2 x
− =0
t2
t
t2 x2 + x2 − tx
=0
t2
t2 x + x − t = 0
x(t2 + 1) − t = 0
t
+1
x
För punktens y -värde gäller istället att y = dvs.
t
xA =
t2
xA
t
1
yA = 2
t +1
yA =
Vi kan nu beräkna xP enligt

x = t
A
t2 + 1
x = t − x
P
A
xP = t −
xP =
t
t2 + 1
t3
t2 + 1
14
Ur guren ser vi även att vektorföryttningen ger att
yP = 1 − yA
yP = 1 −
yP =
t2
1
+1
t2
t2 + 1
Kurvan kan alltså parametriseras enligt
x=
t2
t3
,
y
=
t2 + 1
t2 + 1
För att nna kurvans ekvation behöver vi nu bara ersätta t i någon av
ekvationerna ovan

x
x


y = t ⇔ t = y
t2


y = 2
t +1
x2
x2
y2
= 2
=
y= 2
x
x + y2
x2 + y 2
+
1
y2
y2
x2
y2
yx2 + y 3 = x2
Samma ekvation hade vi fått om vi istället ersatt t i uttrycket för x.
4.2 Icke-singulära kurvor av grad tre
Låt oss istället anta att vi har en rationell punkt Q på en icke-singulär kurva
g(x, y) = 0 och låter som tidigare en rationell linje löpa genom denna.
15
Figur 7
Linjen kommer alltså att skära kurvan ytterligare två gånger i punkterna P
och R. Försöker vi sedan som tidigare att lösa ekvationssystemet
(
g(x, y) = 0
y = kx + m
för att få ut koordinaterna för P och R kommer vi inte kunna garantera att
dessa är rationella.
Ekvationssystemet kommer enligt samma resonemang som tidigare att ge
oss ekvationen
k(x − q)(x − p)(x − r) = 0
där q , p och r är x-värdena för skärningspunkterna. Punkten Q var rationell
enligt tidigare antaganden vilket innebär att q är ett rationellt tal. Polynomet
utmultiplicerat ska ha endast rationella koecienter vilket innebär att även
talet k måste vara rationellt. Detta kan förstås ske om p och r är rationella
men√förutsätter inte
√ att de är det. Motbevis är lätta hitta. Exempelvis är
p = 2 och r = − 2 ett sådant då det skulle ge
√
√
k(x − q)(x − 2)(x + 2) = 0
k(x − q)(x2 − 2) = 0
det vill säga endast rationella koecienter trots irrationella punkter.
16
För att nna rationella punkter på icke-singulära tredjegradskurvor behövs en särskild metod tillämpas. Metoden utnyttjar att om vi har två rationella punkter på en tredjegradskurva så kan vi även hitta en tredje genom att
dra en linje genom dessa och se var den skär kurvan. Har vi bara en rationell
punkt på kurvan kan vi dock även generellt sätt hitta en till.
Figur 8
Ritar vi tangenten till en punkt S på en kurva kommer tangenten gå
genom S och S dvs. två gånger genom samma punkt. Är S rationell kommer
därför även den tredje skärningspunkten T bli rationell (se g. 8). Har vi då
hittat en ny rationell punkt kan vi fortsätta enligt samma princip och med
tangenten hitta ytterligare en ny.
5
Kurvan xn + y n = 1
I detta avsnitt kommer vi delvis att återgå till enhetscirkelns ekvation. Dock
kommer den nu att undersökas i en något mer generaliserad form nämligen
där exponenterna tillåts vara alla heltal större än noll. Istället för att som
enhetscirkeln skrivas x2 +y 2 = 1 kommer den nu att undersökas som xn +y n =
1 där n betecknar heltal större än noll. Det visar sig nämligen att denna
kurva inte är rationell dvs. inte har en rationell parametrisering för n ≥ 3.
Enhetscirkeln och kurvan (linjen) x + y = 1 är således de enda kurvorna på
formen xn + y n = 1 som går att parametrisera rationellt. Detta ska vi nu
bevisa.
17
Låt oss anta att kurvan xn + y n = 1 har en rationell parametrisering dvs.
att x- och y -värdena kan uttryckas med rationella funktioner dvs. kvoter av
polynom. Det skulle innebära att vi kan nna polynom p, q och r sådana att
p(t)
r(t)
n
+
q(t)
r(t)
n
=1
p(t)n q(t)n
+
=1
r(t)n r(t)n
Vi kan anta att p och q inte har några gemensamma faktorer då dessa i så
fall hade kunnat delas bort. Derivering av båda led ger då (i fortsättningen
kommer inte (t) att skrivas ut)
npn−1 p0 rn − nrn−1 r0 pn nq n−1 q 0 rn − nrn−1 r0 q n
+
=0
r2n
r2n
n(pn−1 p0 rn − rn−1 r0 pn + q n−1 q 0 rn − rn−1 r0 q n )
=0
r2n
pn−1 p0 rn − rn−1 r0 pn + q n−1 q 0 rn − rn−1 r0 q n = 0
Ur varje term kan nu rn−1 brytas ut, då rn = r · rn−1 , så att
rn−1 (pn−1 p0 r − r0 pn + q n−1 q 0 r − r0 q n ) = 0
pn−1 p0 r − r0 pn = r0 q n − q n−1 q 0 r
pn−1 (p0 r − r0 p) = q n−1 (r0 q − q 0 r)
p0 r − r 0 p
r0 q − q 0 r
=
q n−1
pn−1
Låt oss nu undersöka gradtalen i det ovanstående uttrycket
p0 r − r 0 p
q n−1
18
Ekvationen
och därmed
p(t)
r(t)
n
+
q(t)
r(t)
n
=1
p(t)n + q(t)n = r(t)n
medför att gradtalet för r högst kan vara lika stort som gradtalet för p eller
q . Om exempelvis p och q antas ha högsta gradtalet a kommer även r få
detta gradtal då en summa av potenser inte ändrar termernas exponenter
(gradtal). Däremot kan r få gradtal mindre än a om exempelvis vänsterledet
kan skrivas ut till
(ta + ...)n + (−ta + ...)n
vilket i så fall skulle ge r ett lägre gradtal (om n är udda). Vi kan därför anta
att r högst får gradtalet a, om p och q har högsta gradtal a. Antingen har p
och q samma gradtal a eller så har en av dem ett lägre gradtal b. Gradtalen
för polynomen kan alltså skrivas
grad(p) = a
grad(q ) = b där b ≤ a
grad(r) = a
Nämnaren i utrycket, q n−1 , får därför gradtalet b(n − 1) eller, om b är så
stort som möjligt, a(n − 1) . Täljaren p0 r − r0 p får istället samma gradtal
som p0 r eller r0 p, beroende på vilken term som har högst. Eftersom grad(r)
högst är lika stort som grad(p) dvs. a, kommer täljaren högst att få gradtalet
a + (a − 1) = 2a − 1.
Låt oss nu istället återgå till ekvationen
pn−1 (p0 r − r0 p) = q n−1 (r0 q − q 0 r)
Inledningsvis konstaterades det att p och q inte har någon gemensam faktor
vilket innebär att pn−1 och q n−1 inte heller har det. Ekvationen ger då att
p0 r −r0 p måste innehålla faktorn q n−1 eftersom pn−1 inte gör det. Om p0 r −r0 p
ska innehålla q n−1 som faktor så måste gradtalet för p0 r − r0 p vara större eller
lika stort som gradtalet för q n−1 . Då måste alltså 2a−1 vara större än a(n−1)
enligt tidigare beräkningar. Vi ser då att detta endast uppfylls om n < 3.
För n ≥ 3 har kurvan alltså ingen rationell parametrisering.
19
Referenser
[1] Joseph H. Silverman, John Tate, Rational Points
Springer-Verlag, New York, 2nd Edition, 1992.
20
on Elliptic Curves.