lösningar

Lösningsförslag till tentamen
Variant Förberedande kurs i matematik
SF0003 Introduktion i matematik
Fredagen den 26 augusti 2016
7
3
7
−
+
på gemensamt bråkstreck. Resultatet ska vara färdigförkortat.
16 10 40
Lösningsförslag: Minsta gemensamma nämnare är 16 · 5 = 80, så vi får
1. Skriv
7
3
7
35 24 14 25
5
−
+
=
−
+
=
= .
16 10 40 80 80 80 80 16
2. Förenkla
(x 2 − 9)(x 2 + 4x + 4)
så långt som möjligt.
(x + 2)(x + 3)
Lösningsförslag: Faktorerna i täljaren faktoriseras som x 2 −9 = (x +3)(x −3) och x 2 +4x +4 =
(x + 2) 2 vilket ger
(x 2 − 9)(x 2 + 4x + 4) (x + 3)(x − 3)(x + 2) 2
=
= (x − 3)(x + 2).
(x + 2)(x + 3)
(x + 2)(x + 3)
3. Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (3, 2) och (0, 3).
Lösningsförslag: En rät linje i planet har en ekvation ax + by = c. Eftersom linjen går genom
punkterna (3, 2) och (0, 3) uppfyller konstanterna a, b, c de två ekvationerna
3a + 2b = c,
0 + 3b = c.
En lösning till detta ekvationssystem ges av a = 1, b = 3, och c = 9, så en ekvation för linjen
är x + 3y = 9.
√
4. Lös ekvationen 2 x + 3 = x + 2.
√
Lösningsförslag: Om 2 x + 3 = x + 2 så följer att
√
(2 x + 3) 2 = 4(x + 3) = (x + 2) 2 = x 2 + 4x + 4,
eller
0 = x 2 + 4x + 4 − 4x − 12 = x 2 − 8,
√
vilket är uppfyllt om x = ±2 2. Eftersom vi har kvadrerat ekvationen är det inte säkert att
detta också är lösningar till den ursprungliga ekvationen.
√
√
För x = 2 2 har vi 2 x + 3 > 0 och x + 2 > 0, så inget minustecken har försvunnit vid
kvadreringen.
√
√
För x = −2 2 är högerledet x + 2 = −2 2 + 2 negativt, så det kan inte vara lika vänsterledet
som är en kvadratrot och alltid positiv.
√
Den enda lösningen till ekvationen är alltså x = 2 2.
5. Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt (−1, −2) och radie 3.
Lösningsförslag: Cirkelns ekvation är
(x − (−1)) 2 + (y − (−2)) 2 = 32 ,
eller
(x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 9.
π
π
och π som uppfyller sin v = sin .
2
7
Lösningsförslag: Eftersom sinusvärdet för en vinkel är lika med vinkelns y-koordinat i enhetscirkeln så har två vinklar samma sinusvärde bara när de har samma y-koordinat. Ritar vi
därför in vinkeln π/7 i enhetscirkeln så ser vi att den enda vinkel mellan π/2 och π som har
samma sinusvärde finns i den andra kvadranten där linjen y = sin(π/7) skär enhetscirkeln.
6. Bestäm de vinklar v mellan
y
y
π
7
x
π−
π
7
x
Av symmetriskäl har vi att denna vinkel är spegelbilden av vinkeln π/7 i y-axeln, dvs. bildar
vinkeln −π/7 med den negativa x-axeln och är därför v = π − π/7 = 6π/7.