2332 funktionen ff(x) = tanx = sinx cosx Om vinkeln x = 90

2332
funktionen f
sin x
cos x
Om vinkeln x = 90° så är
cos 90° = 0 och sin 90° = 1
sin x
och därmed ger kvoten
𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑 𝑛𝑜𝑙𝑙,
cos x
vilket inte är tillåtet.
f(x) = tan x =
Om vinkeln x = (90° + 180°) = 270° så är
cos 270° = 0 och sin 270° = −1
vilket också ger upphov till en division med noll.
tan x är inte definierat för de vinklar
som ger upphov till division med noll.
I grafen ser vi att f(x) närmar sig asymptotiskt
de lodräta asymptoter som är utritade.
För exakt vinklarna
x = 90° + n ⋅ 180°
sker ett avbrott i grafen, och
här är funktionen icke kontinuerlig.
Svar: x = 90° + n ⋅ 180°
en lodrät asymptot finns i de x-värden som gör nämnaren för f(x) lika med 0
⋮
⋮
funktionen g
Grafen till g(x) är förskjuten 45°, en ruta, åt vänster
i jämförelse med f(x)
sin(x + 45°)
g(x) = tan(x + 45°) =
cos(x + 45°)
Om vinkeln x = 45° så är
cos(45° + 45°) = cos 90° = 0 och
sin(45° + 45°) = sin 90° = 1
sin(x + 45°)
och därmed ger kvoten
en 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑 𝑛𝑜𝑙𝑙,
cos(x + 45°)
vilket inte är tillåtet.
Om vinkeln x = (45° + 180°) = 225° så är
cos(225° + 45°) = cos 270° = 0 och
sin(225° + 45°) = sin 270° = −1
vilket också ger upphov till en 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑 𝑛𝑜𝑙𝑙.
tan(x + 45°) är inte definierat för de vinklar
som ger upphov till 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑 𝑛𝑜𝑙𝑙.
I grafen ser vi att g(x) närmar sig asymptotiskt
de lodräta asymptoter som är utritade.
För exakt vinklarna
x = 45° + n ⋅ 180°
sker ett avbrott i grafen, och
här är funktionen icke kontinuerlig.
Svar: x = 45° + n ⋅ 180°
en lodrät asymptot finns i de x-värden som gör nämnaren för f(x) lika med 0
2333 a
Lösningsalternativ 1
I föregående uppgift 2332 förstod vi att
tan x är diskonintuerlig för
π
x= +n⋅π
2
och därmed är tan x inte definierad
för dessa vinklar x
π
π
För f(x) = tan (x − ) är vinkeln (x − )
4
4
Då vinklarna för tangens får inte anta värdena
π
x = + n ⋅ π kan vi sätta upp ekvationen
2
π π
= +n⋅π
4 2
π
addera till båda led
4
π π π π
x− + = + +n⋅π
4 4 2 4
3π
x=
+n⋅π
4
Detta uttryck ger de vinklar
för vilka f(x) saknar funktionsvärde,
i grafen representeras de av lodräta asymptoter
x−
Svar: f(x) är inte definierad för x =
⋮
3π
+n⋅π
4
⋮
Lösningsalternativ 2
π
sin (x − 4)
π
f(x) = tan (x − ) =
π
4
cos (x − 4)
Då division med noll inte är tillåten,
undersöker vi för vilka vinklar x
som nämnaren blir noll,
dvs löser ekvationen
π
cos (x − ) = 0
4
π
x − = cos−1(0) + n ⋅ 2π
4
π
𝜋
x − = ± + n ⋅ 2π
4
2
π 𝜋
x = ± + n ⋅ 2π
4 2
π 𝜋
x = + + n ⋅ 2π
4 2
{
π 𝜋
x = − + n ⋅ 2π
4 2
3π
x=
+ n ⋅ 2π
4
{
π
x = − + n ⋅ 2π
4
3π
π
Då lösningarna
och − skiljer sig åt med exakt π,
4
4
vilket är en halv period, skriver vi hellre de båda lösningarna
3π
som en lösningsmängd x =
+n⋅π
4
3π
Svar: f(x) är inte definierad för x =
+n⋅π
4
b
Lösningsalternativ 1
I föregående uppgift 2332 förstod vi att
tan x är diskonintuerlig för
x = 90° + n ⋅ 180°
och därmed är tan x inte definierad
för dessa vinklar x.
För f(x) = 3 tan(2x − 30°) är vinkeln (2x − 30°)
Då vinklarna för tangens inte får anta värdena
x = 90° + n ⋅ 180° sätter vi upp ekvationen
2x − 30° = 90° + n ⋅ 180°
addera 30° till båda led
2x − 30° + 30° = 90° + 30° + n ⋅ 180°
2x = 120° + n ⋅ 180°
dividera båda led med 2
2x 120° + n ⋅ 180°
=
2
2
x = 60° + n ⋅ 90°
Detta uttryck ger de vinklar
för vilka f(x) saknar funktionsvärde,
i grafen representeras de av lodräta asymptoter
Svar: f(x) är inte definierad för x = 60° + n ⋅ 90°
⋮
⋮
Lösningsalternativ 2
f(x) = 3 tan(2x − 30°) = 3 ⋅
sin(2x − 30°)
cos(2x − 30°)
Då division med noll inte är tillåten,
kan vi undersöka för vilka vinklar x
som nämnaren blir noll, dvs
cos(2x − 30°) = 0
2x − 30° = ± cos −1 (0) + n ⋅ 360°
2x − 30° = ±90° + n ⋅ 360°
addera 30° till båda led
2x − 30° + 30° = ±90° + 30° + n ⋅ 360°
Fall 1
2x = 90° + 30° + n ⋅ 360°
2x = 120° + n ⋅ 360°
dela båda led med 2
2x 120° + n ⋅ 360°
=
2
2
x = 60° + n ⋅ 180°
Fall 2
2x = −90° + 30° + n ⋅ 360°
2x = −60° + n ⋅ 360°
dela båda led med 2
2x −60° + n ⋅ 360°
=
2
2
x = −30° + n ⋅ 180°
Då lösningarna 60° och −30° skiljer sig åt med exakt 90°,
en halv period, kan de bättre skrivas som en lösningsmängd
Svar: x = 60° + n ⋅ 90°
2334 a , b , c
Vi börjar med att rita den grundläggande funktionen y = tan x
Värdetabell över värden vi kan utantill
eller hämtar ur kursens formelblad
x −90° −60° −45° −30° 0° 30° 45° 60° 90°
1
y −∞ −√3
−1
0 1
1 √3
∞
−
√3
√3
Observera symmetrin i tabell och graf
y = tan x
ritad i intervallet − 90° < x < 90°
Några egenskaper hos y = tan x





⋮
Definitionsmängd {x ∈ ℝ ∶ x ≠ 90° + n ⋅ 180° , n ∈ ℤ}
Värdemängd − ∞ < y < ∞
Period 180°
rotationssymmetrisk vid origo
udda funktion, tan(−x) = −tan(x)
⋮
Nedan är de tre övriga funktionerna ritade i samma graf som y = tan x
Observera att endast en period kring origo är ritad för respektive funktion
y = tan x
y = tan 2x
y = tan(−x)
x
y = tan
2
intervall − 90° < x < 90°
intervall − 45° < x < 45°
intervall − 90° < x < 90°
intervall − 180° < x < 180°
Kommentarer
y = tan 2x
Växer snabbare än y = tan x.
På grund av koefficienten 2 halveras perioden
och grafen trycks samman i x-led.
y = tan(−x)
y = tan x speglad i y-axeln
x
y = tan
2
Växer långsammare än y = tan x .
1
På grund av koefficienten dubbleras perioden
2
och grafen dras ut i x-led.
2335 a
Lösningsalternativ 1
x
x
För y = tan är vinkeln
3
3
Då tangens inte är definierad för vinklarna
x = 90° + n ⋅ 180° sätter vi upp ekvationen
x
= 90° + n ⋅ 180°
3
multiplicera båda led med 3
x
⋅ 3 = 90° ⋅ 3 + n ⋅ 180° ⋅ 3
3
x = 270° + n ⋅ 540°
Detta uttryck ger de vinklar
för vilka f(x) saknar funktionsvärde,
i grafen representeras de av lodräta asymptoter
Svar: f(x) är inte definierad för x = 270° + n ⋅ 540°
⋮
⋮
Lösningsalternativ 2
x
x sin 3
y = tan =
3 cos x
3
Då division med noll inte är tillåten,
ställer vi upp ekvationen
x
cos = 0
3
x
= cos −1(0) + n ⋅ 360°
3
x
= ±90° + n ⋅ 360°
3
multiplicera båda led med 3
x
⋅ 3 = ±90° ⋅ 3 + n ⋅ 360° ⋅ 3
3
x = ±270° + n ⋅ 1080°
två fall
x = 270° + n ⋅ 1080°
{
x = −270° + n ⋅ 1080°
Då lösningarna 270° och −270° skiljer sig åt med exakt 540°,
en halv period, kan de bättre skrivas som en lösningsmängd
x = 270° + n ⋅ 540°
Svar: x = 270° + n ⋅ 540°
b
Lösningsalternativ 1
y = 5 tan(x − 180°)
Då tan x är periodisk med 180° så gäller identiteten
tan(x − 180°) = tan x
y = 5 tan(x)
Då vi kan utantill att tan x inte är definierad för
x = 90° + n ⋅ 180° är saken klar
Svar: x = 90° + n ⋅ 180°
Lösningsalternativ 2
För y = 5 tan(x − 180°) är vinkeln (x − 180°)
Då y = tan x inte är definierad för vinklarna
x = 90° + n ⋅ 180° ställer vi upp ekvationen
x − 180° = 90° + n ⋅ 180°
addera båda led med 180°
x − 180° + 180° = 90° + n ⋅ 180° + 180°
x = 90° + (n + 1) ⋅ 180°
Att lägga till n ⋅ 180° eller (n + 1) ⋅ 180°
till tan 𝑥 som är periodisk med 180°
ger samma resultat
x = 90° + n ⋅ 180°
Svar: x = 90° + n ⋅ 180°
⋮
⋮
Lösningsalternativ 3
y = 5 tan(x − 180°) = 5 ⋅
sin(x − 180°)
cos(x − 180°)
Då division med noll inte är tillåten,
ställer vi upp ekvationen
cos(x − 180°) = 0
x − 180° = cos−1(0) + n ⋅ 360°
x − 180° = ±90° + n ⋅ 360°
addera båda led med 180°
x − 180° + 180° = ±90° + 180° + n ⋅ 360°
x = ±90° + 180° + n ⋅ 360°
Två fall
x = 90° + 180° + n ⋅ 360°
{
x = −90° + 180° + n ⋅ 360°
x = 270° + n ⋅ 360°
{
x = 90° + n ⋅ 360°
Då lösningarna 270° och 90° skiljer sig åt med exakt 180°,
en halv period, kan de bättre skrivas som en lösningsmängd
x = 90° + n ⋅ 180°
Svar: x = 90° + n ⋅ 180°
2336 a
Definitionsmängd
En definitionsmängd eller en domän är mängden av
alla möjliga argument eller ”invärden” för en funktion.
För y = tan x vet vi att funktionen inte är definierad för
x = 90° + n ⋅ 180° men för alla andra x-värden på tallinjen
finns det ett motsvarande funktionsvärde.
Så om y = tan x och D = definitionsmängden
skulle vi kunna tänka så här
D = {Alla tal på tallinjen, så att, x inte är 90° eller 90° + 180° osv}
och uttrycka oss så här
D = {x ∈ ℝ ∶ x ≠ 90° + n ⋅ 180°}
y = tan 3x
Vi vet att vinkeln 3x inte får anta värdena
x = 90° + n ⋅ 180°
ställ upp en ekvation
3x = 90° + n ⋅ 180°
dela båda led med 3
3x 90° n ⋅ 180°
=
+
3
3
3
x = 30° + n ⋅ 60°
D = {x ∈ ℝ ∶ x ≠ 30° + n ⋅ 60°}
Värdemängd
En värdemängd är mängden av alla värden en funktion kan anta.
Studerar vi grafen till y = tan 3x så ser vi att den saknar begränsning
i både positiv och negativ y-led, sålunda tan x kan anta alla värden
på y-axeln (y-tallinjen)
V = {y ∈ ℝ}
⋮
⋮
Alternativt resonemang för värdemängden:
Vi undersöker gränsvärdet
lim tan x
x → 90°
för att gränsvärdet ska existera så måste vi
närma oss x = 90° från antingen vänster eller höger.
Från vänster får vi uttrycket
sin x
lim − tan x = lim −
=
x → (90°)
x → (90°) cos x
produktregel för gränsvärden
lim f(x)g(x) = lim f(x) ⋅ lim g(x)
x→a
x→a
x→a
där inget av gränsvärdena får gå mot noll
1
= lim − sin x ⋅ lim −
x → (90°)
x → (90°) cos x
Vi beräknar det första gränsvärdet
lim − sin x = sin 90 ° = 1
x → (90°)
Vi beräknar det andra gränsvärdet
1
lim −
x → (90°) cos x
Eftersom lim − cos x = 0 och
x → (90°)
cos x > 0 för alla x strax till vänster om x = 90°
får vi slutligen
lim − tan x = +∞
x → (90°)
genomförs motsvarande resonemang
där vi närmar oss x = 90° från höger fås
lim + tan x = −∞
x → (90°)
Att tan x har värdemängden motsvarande alla
värden på y-axeln kan uttryckas på flera sätt
här är fyra likvärdiga sätt
V = {y ∈ ℝ} = −∞ < y < ∞ = ] − ∞, ∞[ = alla y
Svar:
D = {x ∈ ℝ ∶ x ≠ 30° + n ⋅ 60°}
V = {y ∈ ℝ}
b
Definitionsmängd
y = −2 tan(45° − x)
Vi vet att vinkeln (45° − x) inte får anta värdena
x = 90° + n ⋅ 180°
ställ upp en ekvation
45° − x = 90° + n ⋅ 180°
subtrahera båda led med 45°
45° − 45° − x = 90° − 45° + n ⋅ 180°
−x = 45° + n ⋅ 180°
multiplicera båda led med (−1)
x = −45° − n ⋅ 180°
−n ⋅ 180° och + n ⋅ 180° ger samma resultat
x = −45° + n ⋅ 180°
vi vill inte ha en negativ startvinkel
adderar därför startvinkeln med en period
x = −45° + 180° + n ⋅ 180°
x = 135° + n ⋅ 180°
dessa vinklar x ska uteslutas
från alla tal på x-axeln
D = {x ∈ ℝ ∶ x = 135° + n ⋅ 180}
Värdemängd
Med samma resonemang som i a-uppgiften fås
V = {y ∈ ℝ}
Svar:
D = {x ∈ ℝ ∶ x = 135° + n ⋅ 180°}
V = {y ∈ ℝ}
c
Definitionsmängd
π
y = 6 cos (2x + )
6
Cosinus är en kontinuerlig funktion
utan någon begränsning
i varken positiv eller negativ x-led
och därmed kan varje tal x på x-axeln
representera en vinkel som leder till ett unikt värde på y
D = {x ∈ ℝ}
Värdemängd
Värdemängden för den grundläggande funktionen
y = cos x är -1 till 1, vilket vi kan uttrycka
−1 ≤ y ≤ 1
π
För y = 6 cos (2x + ) kommer koefficienten 6,
6
som bestämmer amplituden, att ge värdemängden
−6 ≤ y ≤ 6
Svar:
D = {x ∈ ℝ}
V = {y ∈ ℝ ∶ −6 ≤ y ≤ 6}
2337 a
Perioden avläses som avståndet mellan två motsvarande punkter
med samma funktionsvärde, samma y-värde.
Praktiskt kan vara att välja avståndet mellan två nollställen.
Det går också bra att avläsa avståndet mellan två asymptoter.
Perioden avläses till två rutor, vilket i x-led motsvarar π⁄2
Svar:
π
2
b
y = tan(Bx + C)
Koefficienten B påverkar hur mycket grafen
trycks ihop eller töjs ut i x-led
B > 1 grafen trycks ihop
0 < B < 1 grafen töjs ut
Period grundläggande trigonometrisk funktion
Period avläst =
B
nu är den grundläggande trigonometriska funktionen
tan x som har perioden 𝜋
π
Period avläst =
B
lös ut B
π
B=
Period avläst
π
Period avläst är
2
π 1
B= π = =2
1
2
2
Svar: B = 2
c
koefficienten C anger förskjutningen av
y = tan(Bx + C)
jämfört med
y = tan Bx
då B = 2 fås
y = tan(2x + C) som visas i grafen
och ska nu jämföras med y = tan(2x)
som går genom origo.
x = 0 ⇒ y = tan(2 ⋅ 0) = 0
I grafen kan vi avläsa att
y = tan(2x + C) har förskjutits
i både positiv och negativ x-led
π
med ±
4
x-ledsförskjutningen
C
fås av − , vilket ger ekvationen
B
C
π
=±
B
4
π
C=±B⋅
4
med B = 2 fås
π
π
C=±2⋅ =±
4
2
−
Svar: C =
π
π
eller C = −
2
2
vilket ger funktionerna
π
y = tan (2𝑥 + )
2
π
y = tan (2𝑥 − )
2
vilka ger samma graf och ersätts därför
av en av dem
π
y = tan (2x + )
2
Detta är möjligt då förskjutningen är
precis en halv period i både positiv och negativ x-led.
2338 a
Sinus och cosinus funktioner kan skrivas på formen
y = A sin(Bx + C) + D
y = A cos(Bx + C) + D
och på motsvarande sätt kan vi skriva tangensfunktioner
y = A tan(Bx + C) + D
tolkningen av koefficienterna B, C och D
kan göras på motsvande sätt i alla tre formerna
För koefficienten A hos tangensfunktionen så
kan vi inte tala om amplitud, utan A blir ett mått på
hur snabbt tangensfunktion växer.
π
y = tan (x + )
7
jämför med
y = A tan(Bx + C) + D
π
A = 1 , B = 1, C = och D = 0
7
horisontell förskjutning fås av
C
−
B
vilket ger
π
π
−7 =−
1
7
Svar:
π
y = tan (x + ) är förskjuten
7
i x-led , π/7 rad i negativ riktning
jämfört med y = tan x
b
y = tan (x −
2π
)
5
jämför med
y = A tan(Bx + C) + D
2π
A = 1 , B = 1, C = −
och D = 0
5
horisontell förskjutning fås av
C
−
B
vilket ger
2π
−
2π
− 5 =
1
5
Svar:
2π
) är förskjuten
5
i x-led , 2π/5 rad i positiv riktning
jämfört med y = tan x
y = tan (x −
c
y = tan x + 2
jämför med
y = A tan(Bx + C) + D
A = 1 , B = 1, C = 1 och D = 2
Att D = 2 medför en vertikal förskjutning,
med 2 enheter i positiv riktning.
Svar:
y = tan x + 2 är förskjuten
i y-led , 2 enheter i positiv riktning
jämfört med tan x
d
y = tan (x +
3π
)−1
8
jämför med
y = A tan(Bx + C) + D
3π
A = 1 , B = 1, C =
och D = −1
8
horisontell förskjutning fås av
C
−
B
vilket ger
3π
3π
− 8 =−
1
8
Att D = −1 medför en vertikal förskjutning,
av grafens alla punkter
med 1 enhet i negativ riktning.
Svar:
3π
)−1
8
är förskjuten i y-led, 1 enhet i negativ riktning
samt i x-led, 3π/8 rad i negativ riktning
jämfört med y = tan x
y = tan (x +
2339 a
y = tan(x + C)
C anger förskjutning i x-led
Om C är negativ reduceras vinkeln x och
grafen blir då ”senarelagd” dvs förskjuts åt höger.
Då grafen ska förskjutas åt höger
Svar: C = −
𝜋
3
π
𝜋
rad blir C = −
3
3
π
och funktionen blir y = tan (x − )
3
b
y = tan(x + C)
C anger förskjutning i x-led
Om C är positiv får vinkeln x ett tillskott och
grafen blir då ”tidigarelagd” dvs förskjuts åt vänster.
Då grafen ska förskjutas åt vänster med
Svar: C =
4π
11
och funktionen blir y = tan (x +
4π
)
11
4π
4π
rad blir C =
11
11
2340 a
Lösning i Geogebra
f(x) = VL och g(x) = HL
skärningspunkter fås med Intersect[ <Object>, <Object> ]
Svar: Lösningarna till ekvationen är x = 240° + n ⋅ 360°
Lösning med TI-räknare
Ekvationslösning med TI-räknare








b
Lösning i Geogebra
f(x) = VL
Då HL = 0 vilket motsvarar skärning med x-axeln,
utnyttjas kommandot
Roots[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ]
för att hitta skärningspunkter
Kommentar:
Vi kan alltid skriva om en ekvation så att ena ledet blir noll.
Svar: Lösningarna till ekvationen är x = 45° + n ⋅ 180°
Lösning med TI-räknare
Ekvationslösning med TI-räknare








c
Lösning i Geogebra
f(x) = VL och g(x) = HL
skärningspunkter fås med Intersect[ <Object>, <Object> ]
Svar: Lösningarna till ekvationen är x ≈ 34° + n ⋅ 60°
Lösning med TI-räknare
Ekvationslösning med TI-räknare








2341 a
tan x = sin x , 0 ≤ x ≤ 180°
sin x
tan x =
cos x
sin x
= sin x
cos x
multiplicera båda led med cos x
sin x = sin x cos x
flytta alla termer till en sida
sin x − sin x cos x = 0
bryt ut sin x
sin x (1 − cos x) = 0
faktorsatsen ger två ekvationer
sin x = 0
{
1 − cos x = 0
sin x = 0
x = sin−1 (0) + n ⋅ 360°
fall 1
x = 0° + n ⋅ 360°
x = n ⋅ 360°
fall 2
x = 180° − 0° + n ⋅ 360°
x = 180° + n ⋅ 360°
Då dessa lösningar skiljer sig åt
med exakt en halv period så
slår vi samman dem till en lösningsmängd
x = n ⋅ 180°
1 − cos x = 0
cos x = 1
x = ± cos −1 (1) + n ⋅ 360°
x = ±0 + n ⋅ 360°
x = n ⋅ 360°
Lösningar i intervallet 0 ≤ x ≤ 180° är 0° och 180°
Svar: x = 0° och x = 180°
b
tan x = cos x , 0 ≤ x ≤ 180°
sin x
tan x =
cos x
sin x
= cos x
cos x
multiplicera båda led med cos x
sin x = cos2 x
Trigonometriska ettan
sin2 x + cos 2 x = 1
cos2 x = 1 − sin2 x
sin x = 1 − sin2 x
flytta alla termer till en sida
sin2 x + sin x − 1 = 0
Substitution: sätt t = sin x
t2 + t − 1 = 0
1
1 2
t = − ± √( ) + 1
2
2
1 √5
t=− ±
2
2
−1 + √5
t1 =
2
−1 − √5
t2 =
2
{
Återsubstitution t1
−1 + √5
sin x =
2
Fall 1
−1 + √5
) + n ⋅ 360°
2
x ≈ 38.2° + n ⋅ 360°
x = sin−1 (
Fall 2
−1 + √5
) + n ⋅ 360°
2
x ≈ 142° + n ⋅ 360°
x = 180° − sin−1 (
⋮
Återsubstitution t 2
−1 − √5
sin x =
2
Fall 1
−1 − √5
) + n ⋅ 360°
2
Saknar lösning då
−1 − √5
≈ −1.6
2
och − 1 < sin x < 1
Det finns ingen vinkel x, så att
sin x = −1.6
Fall 2
Saknar lösning av samma
anledning som ovan
x = sin−1 (
⋮
Lösningar i intervallet 0 ≤ x ≤ 180° är 38.2° och 142°
Svar: x = 38.2° och x = 142°
2342 a
Uppgifterna löses grafiskt,
de algebraiska lösningarnas svårighetsgrad
ligger utanför denna kurs, längre ned
finns en exakt lösning.
Med en grafisk lösningsmetod, löses uppgifterna utan besvär.
Lösning i Geogebra
f(x) = VL och g(x) = HL
skärningspunkter fås med Intersect[ <Object>, <Object> ]
tan x = sin(x + 45°)
Svar: {
x = 45° + n ⋅ 360°
x ≈ 158° + n ⋅ 360°
För den nyfikne så visas här en exakt lösning från WolframAlpha
b
Lösning i Geogebra
f(x) = VL och g(x) = HL
skärningspunkter fås med Intersect[ <Object>, <Object> ]
tan x = cos 2x
Svar: x = 29° + n ⋅ 180°
c
Lösning i Geogebra
f(x) = VL och g(x) = HL
skärningspunkter fås med Intersect[ <Object>, <Object> ]
x
2 tan ( + 30°) = sin(x − 30°) + 1
2
Svar: x = 300° + n ⋅ 360°
2343 a
y = A tan(Bx + C) + D
A=1
y = tan(Bx + C) + D
sin x
tan x =
cos x
sin(Bx + C)
y=
+D
cos(Bx + C)
Då division med noll inte är tillåtet,
är uttrycket inte definierat för
cos(Bx + C) = 0
Bx + C = ± cos −1 (0) + n ⋅ 360°
Bx + C = ±90° + n ⋅ 360°
De två lösningarna är åtskilda med exakt
en halv period vilket gör att vi kan
slå samman dem till en enda lösningsmängd
Bx + C = 90° + n ⋅ 180°
Enligt uppgift är de odefinierade vinklarna
x = 60° + n ⋅ 180°
insättning ger
B(60° + n ⋅ 180° ) + C = 90° + n ⋅ 180°
B ⋅ 60° + Bn ⋅ 180° + C = 90° + n ⋅ 180°
B ⋅ 60° + C + Bn ⋅ 180° = 90° + n ⋅ 180°
Perioden i VL och HL måste vara lika ⇒
B=1
1 ⋅ 60° + C + 1 ⋅ n ⋅ 180° = 90° + n ⋅ 180°
60° + C + n ⋅ 180° = 90° + n ⋅ 180°
Subtrahera båda led med n ⋅ 180°
60° + C + n ⋅ 180° − n ⋅ 180° = 90° + n ⋅ 180° − n ⋅ 180°
60° + C = 90°
C = 30°
För att bestämma D sättes B = 1 och C = 30°
in i y = tan(Bx + C) + D vilket ger
y = tan(1 ⋅ x + 30°) + D
y = tan(x + 30°) + D
⋮
⋮
Utnyttja nu det givna villkoret
villkoret y(0) = 0
0 = tan(0 + 30°) + D
tan 30° = −D
1
tan 30° =
(formelblad för kurs)
√3
1
D=−
√3
B, C och D sättes in i
y = tan(Bx + C) + D
y = tan(1 ⋅ x + 30°) −
y = tan(x + 30°) −
1
√3
1
√3
Svar: y = tan(x + 30°) −
1
√3
b
y = A tan(Bx + C) + D
A=1
y = tan(Bx + C) + D
sin x
tan x =
cos x
sin(Bx + C)
y=
+D
cos(Bx + C)
Då division med noll inte är tillåtet,
är uttrycket inte definierat för
cos(Bx + C) = 0
Bx + C = ± cos −1 (0) + n ⋅ 360°
Bx + C = ±90° + n ⋅ 360°
De två lösningarna är åtskilda med exakt
en halv period vilket gör att vi kan
slå samman dem till en enda lösningsmängd
Bx + C = 90° + n ⋅ 180°
Enligt uppgift är de odefinierade vinklarna
x = 45° + n ⋅ 60°
insättning ger
B(45° + n ⋅ 60° ) + C = 90° + n ⋅ 180°
B ⋅ 45° + Bn ⋅ 60° + C = 90° + n ⋅ 180°
B ⋅ 45° + C + Bn ⋅ 60° = 90° + n ⋅ 180°
Perioden i VL och HL måste vara lika ⇒
B=3
3 ⋅ 45° + C + 3 ⋅ n ⋅ 60° = 90° + n ⋅ 180°
135° + C + n ⋅ 180° = 90° + n ⋅ 180°
Subtrahera båda led med n ⋅ 180°
135° + C = 90°
C = −45°
För att bestämma D sättes B = 3 och C = −45°
in i y = tan(Bx + C) + D vilket ger
y = tan(3x − 45°) + D
⋮
⋮
Utnyttja nu det givna villkoret
villkoret y(0) = 0
0 = tan(3 ⋅ 0 − 45°) + D
tan(−45°) = −D
tan(−45°) = −1
D=1
B, C och D sättes in i
y = tan(Bx + C) + D
y = tan(3x − 45°) + 1
Svar: y = tan(3x − 45°) + 1
2344
tan x =
sin x sin x
>
= sin x
cos x
1
π
är 0 < cos x < 1
2
Kommentar:
Att dividera sin x med ett tal mellan noll och ett,
leder alltid till något som är större än sin x
Då 0 < x <