TENTAMEN
26 aug 05
Kurs:
Matematik och matematisk statistik
Kursnummer:
6H3000/6L3000
Tid: 8:15
Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, miniräknare
Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter.
Lösningarna skall vara väl motiverade och så utförliga att räkningarna och de bakomliggande
tankarna är lätta att följa. Lösningarna skall renskrivas och avslutas med ett tydligt svar som
skall vara så förenklat som möjligt.
Tentamen består av 6 uppgifter om totalt 60 poäng av varierande svårighetsgrad.
För att få godkänt betyg (3) fordras minst 30 poäng, betyg fyra (4) minst 40 poäng och betyg
fem (5) minst 50 poäng.
1. En stokastisk kontinuerlig variabel X har frekvensfunktionen
(täthetsfunktionen)
(10 p)
f ( x) k x 3 , 0 x 2
Bestäm k.
Beräkna väntevärdet för X.
Beräkna medianen
Bestäm standardavvikelsen.
2.
Sannolikheten för att en person har diabetes beror på åldern.
För Sveriges befolkning gäller:
Ålder
0-17 år
18-40år
41-60 år
60-
del av befolkningen
21%
27%
30%
22%
(10 p)
sannolikhet för diabetes
0,010
0,015
0,030
0,050
Beräkna sannolikheten för att en person är mellan 18 och 40 år om personen har diabetes.
3.
För två händelser A och B gäller: p(A)=0,6 ,
och p( A B) 0,7 .
p(B)=0,5
Är händelserna A och B oberoende? Svaret måste motiveras.
C
Beräkna p( A B).
C
C
Beräkna p( A B ).
(10 p)
4. Vid tillverkning av kolvar och cylindrar kan diametern för en viss typ
(10 p)
av kolv betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8,10 mm och standardavvikelsen 0,12 mm. För cylindrarna kan hålets
diameter betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet
8,35 mm och standardavvikelsen 0,16 mm. En cylinder anses passa till en kolv
om hålets diameter större än kolvens diameter och om skillnaden ej överstiger
0,6 mm.
Hur stor är sannolikheten att kolven passar till cylindern vid ett slumpmässigt
val?
5. Man vill jämföra två maskiner X och Y.
(10 p)
Man har 5 dagar i rad tillverkat ett antal enheter med vardera maskinen varvid man
fått följande observationer.
X
Y
231
236
242
249
247
226
231
239
241
239
Ange ett symetrisk 98% konfidensintervall för m A mB
där m A och mB är medelvärdena för observerande variabler.
6. Vid en läkarmottagning kallas 25 patienter till ett visst klockslag.
Behandlingstiden för en patient betraktas som en exponentialfördelad
stokastisk variabel med väntevärdet m minuter. Patienterna behandlas
en i taget och olika patienters behandlingstider är oberoende stokastiska
variabler. Av erfarenhet vet man att läkaren en gång av tio klarar av att
behandla alla 25 patienterna inom en timme. Bestäm m.
Lycka till!
(10 p)
Lösningar/svar
2
1. a) k x 3 dx 1 k 0,25
0
2
b) E(X)= 0,25 x x 3 dx 1,6
0
m
c) 0,25 x 3 dx 0,5 m 4 8 1,68
0
2
d) var 0,25 x 2 x 3 dx 1,6 2 0,1066667
0
var 0.33
2. P(18 40 diabetes )
0,27 0,015
0,155
0,21 0,010 0,27 0,015 0,30 0,030 0,22 0,050
P( A B) p( A) p( B) p( A B) p( A B) 0,4
3. a) P( A) p( B) 0,3
p( A B) P( A) p( B)
De är alltså beroende
4.
b)
Fig nedan ger P( AC B) 0,1
c)
Fig ger P( AC B C ) 0,3
4.
N (8,35;0,16)
N (8,10;0,12)
N (0,25; 0,16 2 0,12 2 )
P(0 0,6) P( 0,6) P( 0)
0,6 0,25
0 0,25
) (
) (1,75) (1,25)
0,2
0,2
(1,75) (1 (0,125) 0,9599 (1 0,8944) 0,8543
(
5.) Svar:
X-Y=[5,5,3,8,8]
medelvärdet =5.8
* =
1 n
( xi ) 2
n 1 i1
=2.1679
Eftersom n=5 har vi n-1 = 4 frihetsgrader.
2% 0.02 / 2 0.01 dvs F(x)= 0.99
Från tabellen för t-ferdelnig med r=4 frihetsgrader får vi
t / 2 (n 1) 3.75
Härav
t / 2 (n 1)
*
n
3.75
2.1679
5
3.63 (felmarginal)
Konvidensintervall är
( t / 2 (n 1)
Svar: (2.17,
*
n
, t / 2 (n 1)
*
n
) (5.8 3.63 , 5.8 3.63) (2.17, 9.43)
9.43)
6.
E( X ) m V ( X ) m 2
Y X E (Y ) 25m
V (Y ) V ( X 1) V ( X 2) .... 25m 2
Y N (25m; 25m 2 )
60 25m
25m 60
P(Y 60) 0,1 (
) 0,1 (
) 0,9
5m
5m
25m 60
1,2816 m 3,23 min
5m
CGS ger:
