Föreläsning 29/8 2005
Skalära fält och vektorfält
Mats Persson
1
Fält
Ett fält är en fysikalisk storhet som kan beskrivas som en funktion av positionen i rummet r och
tiden t. I den här kursen kommer vi att behandla två typer av fält, skalära fält och vektorfält.
2
Skalära fält
Ett skalärt fält representeras av ett tal i varje punkt. Exempel på sådana fält är temperatur,
tryck, elektrisk laddningstäthet. Geometriskt brukar vi beskriva ett skalärt fält Φ(x, y, z, t) genom
att rita de ytor på vilka fältet är konstant. Vi kallar sådana ytor för nivåytor, eller i två dimensioner nivåkurvor. Vissa typer av nivåkurvor har fått speciella namn, till exempel isotermer för
kurvor längs vilka temperaturen är konstant och isobarer längs vilka trycket är konstant. Man kan
konstruera nivåytorna genom att ställa upp ekvationen C = Φ(x, y, z, t), och lösa den för olika C.
Ett viktigt begrepp när vi arbetar med skalära fält är gradienten. Betrakta två punkter (x, y, z)
och (x + dx, y + dy, z + dz). Skillnaden i skalären Φ mellan dessa båda punkter är
Φ (x + dx, y + dy, z + dz) − Φ (x, y, z) ≈ Φ (x, y, z) +
∂Φ
∂Φ
∂Φ
dx +
dy +
dz − Φ (x, y, z) =
∂x
∂y
∂z
∂Φ
∂Φ
∂Φ
dx +
dy +
dz. (1)
∂x
∂y
∂z
Den här skillnaden kan vi tolka som skalärprodukten mellan vektorn
dr = (dx, dy, dz) ,
som beskriver separationen mellan de båda punkterna och vektorn
µ
¶
∂Φ ∂Φ ∂Φ
∇Φ =
,
,
,
∂x ∂y ∂z
(2)
(3)
som vi kallar för gradienten av Φ. Det är enkelt att visa att ∇Φ är ortogonal mot nivåytorna för
Φ. Lägg märke till att om n̂ har längden 1, så är n̂ · ∇Φ riktningsderivatan för Φ i riktningen n̂,
det vill säga den mäter hur snabbt Φ varierar i denna riktning.
Gradienten
¶
µ
∂ ∂ ∂
,
,
,
(4)
∇=
∂x ∂y ∂z
är i sig själv inte en vektor, utan den är en vektoroperator, som tar ett skalärfält och producerar ett
vektorfält. Skillnaden mellan en vektoroperator och en vektor kommer att märkas när vi bekantar
oss med räknereglerna för vektoroperatorer.
3
Vektorfält
Ett vektorfält beskriver på samma sätt en fysikalisk kvantitet som i varje punkt i rummet är
en vektor. Exempel på sådana kvantiteter är hastigheten i en strömmande fluid, den magnetiska
fältstyrkan, och den elektriska strömtätheten. Geometriskt kan vi representera ett vektorfält genom
att konstruera fältlinjer. För att förstå vad en fältlinje är kan vi börja med att tänka oss ett vektorfält V(x, y, z), som representerar en hastighet i en fluid vid stationär strömning. En testpartikel
i fluiden följer då en bana
dr
= V (r) .
(5)
dt
1
Analogt med detta definierar vi en fältlinje som den bana vi får genom att följa med ett godtyckligt
vektorfält F som om det var ett hastighetsfält. Ekvationen för ett sådan fältlinje är
dr
= CF (r, t0 ) ,
dτ
(6)
där C är en godtycklig konstant (dvs du kan välja den som du själv vill, så länge som du inte sätter
den till noll), och τ är en parameter som definierar punkterna längs fältlinjen.
Exempel: Vi vill konstruera fältlinjerna till
´
³x
x̂ + ŷ .
(7)
F (r) = F0
a
Detta ger oss differentialekvationerna
dx
x
= CF0 ,
dτ
a
dy
= CF0 .
dτ
Vi väljer nu C = a/F0 , så att ekvationerna blir
Dessa har lösningen
(8)
(9)
dx
= x,
dτ
(10)
dy
=a
dτ
(11)
x = x0 eτ ,
(12)
y = aτ + y0
(13)
där x0 och y0 är den punkt på fältlinjen där τ = 0.
4
Potentialer
En potential, Φ, är ett viktigt specialfall av ett skalärt fält. Ur en potential kan vi beräkna ett vektorfält F = −∇Φ, som vi ofta kallar för en fältstyrka. Notera att tecknet är en konvention. Vi kan
då både konstruera nivåytorna till potentialen, vilka kallas ekvipotentialytor, och fältlinjerna till
fältstyrkan. Lägg märke till att ekvipotentialytorna och fältlinjerna överallt måste vara ortogonala
mot varandra.
Exempel: Bestäm fältbilden till potentialen
Φ (x, y) = Φ0
x2 + y 2
.
ax
(14)
Vi börjar med att bestämma ekvipotentialkurvorna genom att sätta Φ = 2CΦ0 ?a, så att vi får
ekvationen
x2 + y 2
.
(15)
2C =
x
Vi multiplicerar med ax och sätter alla termerna på samma sida om likhetstecknet
0 = x2 − 2Cx + y 2 .
(16)
2
(17)
Efter kvadratkomplettering får vi
0 = (x − C) − C 2 + y 2 .
Denna ekvation kan vi skriva om som
2
C 2 = (x − C) + y 2 ,
2
(18)
vilket är ekvationen för en cirkel med centrum i (C, 0) och radien |C|. Detta innebär att alla
ekvipotentialytorna är cirklar som går genom origo.
Nu bestämmer vi fältstyrkan
µ
¶
Φ0
y 2 2y
F = −∇Φ = −
1 − 2,
.
(19)
a
x x
Fältlinjerna är då lösningen till
dx
Φ0
= −C
dτ
a
µ
1−
y2
x2
¶
,
(20)
Φ0 2y
dy
= −C
.
dτ
a x
(21)
2y/x
dy
=
,
dx
1 − y 2 /x2
(22)
¶
µ
y 2 dy
2y
=
.
1− 2
x
dx
x
(23)
µ
¶
y 2 dy
2y
1− 2
−
= 0.
x
dx
x
(24)
µ
¶
x2 dy
2x
1− 2
+
= 0.
y
dx
y
(25)
Vi dividerar nu (21) med (20)
vilket vi kan skriva om som
Om vi flyttar om termerna så får vi
Multiplicera med −x2 /y 2
Vi noterar nu att
d
dx
µ
x2
+y
y
¶
=
2x x2 dy
dy
− 2
+
=
y
y dx dx
µ
1−
x2
y2
¶
dy
2x
+
,
dx
y
(26)
det vill säga vår ekvation kan skrivas
d
dx
Om vi integrerar detta uttryck får vi
µ
x2
+y
y
¶
= 0.
x2
+ y = 2D,
y
(27)
(28)
där D är en integrationskonstant. Vi multiplicerar med y
x2 + y 2 = 2Dy.
Efter kvadratkomplettering får vi
2
x2 + (y − D) = D2 ,
(29)
(30)
vilket är ekvationen för en cirkel med centrum i (0, D) och med radien D, det vill säga alla
fältlinjerna går genom origo.
3
