VÄXELSTRÖM

VÄXELSTRÖM
Nu skall vi lämna den relativt stabila likströmmens värd, sätta snurr på saker och ting och gräva
fram komplexmatten i tillämpningens ljus. Likström är egentligen bara ett specialfall av
växelström, fast med frekvensen 0.
Växelströmmens anatomi
Till skillnad från likströmmen så varierar växelströmmen polaritet i ett periodiskt förlopp. I våra
kraftnät härrör denna periodicitet från generatorns spolar som rör sig cirkulärt genom ett
magnetfält. Just denna cirkulära rörelse är upphovet till det vi kallar sinusformad växelspänning.
Denna låter sig beskrivas som en kurva, en vågform, med en amplitud som funktion av tiden.
När vi studerar växelströmmen med ett oscilloskop kommer den att visas på den här formen.
Vi ritar upp ett definitionsexempel enligt följande:
û = amplituden
ω = vinkelfrekvensen (rad/s)
T = periodtid (s)
f = frekvens i Hz
1
f
T
ω = 2 ⋅π ⋅ f
u1 = û ⋅ sin (ω ⋅ t )
u2 = û ⋅ sin (ω ⋅ t + φ ) φ = fasvinkeln i grader
Visardiagram
Ett annat, och i dessa sammanhang mycket praktiskt sätt att representera en sinusformad storhet
som växelström är att använda ett s.k. visardiagram.
I stället för ett ordinärt x/y diagram, använder vi oss av en roterande visare där visarens längd
kommer att motsvara spänningens toppvärde, och dess argument (vinkeln) ersätter tidsaxeln.
Växelspänningens frekvens är alltså hur snabbt visaren roterar, därav begreppet vinkelhastighet för
en frekvens uttryckt i radianer per sekund. (Brukar betecknas med lilla omega; ω.)
Betrakta uttrycket u 2 = û ⋅ sin (ω ⋅ t + φ ) . Vid tiden t=0 blir u 0 = û ⋅ sin φ
Visaren û får vid tidpunkten t=0 följande läge:
Om inget annat anges tänker vi oss att uttrycket u 2 = û ⋅ sin (ω ⋅ t + φ ) representeras av en visare
û som bildar vinkeln φ med den positiva x-axeln. Positiva x-axeln kallar vi i detta sammanhang
för referensriktning.
Beteckningssätt:
Det sinusformade uttrycket:
u2 = û ⋅ sin (ω ⋅ t + φ )
(våg-form)
representeras av en visare û som vi betecknar på följande sätt:
u = û ⋅ ∠φ
(visar-/polär form)
eller på följande sätt:
u = û ⋅ e j⋅φ
(exponentform)
Detta utläses ”Visaren û har längden/beloppet û och bildar vinkeln
φ med referensriktningen”.
På vi kan även uttrycka det som:
u = a + jb
(rektangulär form)
Observera att vi i elektroniken använder j istället för i när
vi åsyftar det imaginära talplanet, detta för att inte blanda
ihop det med i = varierande ström.
û = a2 + b2
b
φ = arctan
a
a = û ⋅ cos φ
b = û ⋅ sin φ
(pythagoras sats)
Observera
Genom att gå över till visarform har vi inte med tiden i uttrycket längre. Vi har gått över från tidsdomän till
frekvensdomän.
Genom att införa visarrepresentation kan vi enkelt behandla växelströmskretsar. Att arbeta med
växelström förefaller en smula komplicerat, eftersom spänningen hela tiden växlar storlek och
riktning, men genom att på detta sätt införa en matematisk storhet med vektorkaraktär så kan vi
räkna med den precis som med vanlig vektorräkning. När beräkningen är slutförd har man som
resultat en spänning i vektorform, som enkelt kan återföras till tidsdomänen.
Addition och subtraktion kan utföras geometriskt/analytiskt med visardiagram inte helt olika
mekanikens kraftreduktionsdiagram. Man kan välja att rita enligt polygon- eller
parallellogrammetoden, men resultatet blir givetvis detsamma.
...och om vi har omvänt tecken på den ena spänningskällan:
Komponenter och växelströmsegenskaper
Några olika komponenter, resistorn, kondensatorn och spolen kan sammanställas med avseende
på sina växelströmsegenskaper:
Resistor
Kondensator
Spole
symbol:
symbol:
symbol:
Resistans
Ohm Ω
Kapacitans
Farad F
Induktans
Henry H
u = R⋅i
u=
Frekvensoberoende
u och i ligger i fas
Frekvensberoende
u ligger 90° efter i (-90°)
Frekvensberoende
u ligger 90° före i (90°)
i = î ⋅ sin (ω ⋅ t )
u = û ⋅ sin (ω ⋅ t )
i = î ⋅ sin (ω ⋅ t )
i = î ⋅ sin (ω ⋅ t )
ZR = R
1
∫ i dt
C
u = L⋅
u = û ⋅ sin (ω ⋅ t + 90 o )
u = û ⋅ sin (ω ⋅ t − 90 o )
ZC =
1
j ⋅ω ⋅ C
1
XC =
ω ⋅C
⇒ ZC =
di
dt
−j
ω ⋅C
ZL = j ⋅ω ⋅ L
XL =ω⋅L
Resistorer
Resistorns egenskap är att utgöra ett hinder för strömmen, och denna egenskap kallas resistans.
Resistansen är fullständigt frekvensoberoende, och därtill helt reell i det komplexa perspektivet.
Resistansen mäts och anges i enheten Ohm. Resistorer utförs i olika varianter och av olika
material. Kolmassa var vanligt förr i tiden, men numera görs de oftast av en metallfilm på en
keramisk kropp. Även trådlindade motstånd förekommer, framför allt vid höga effekter. Alla
material har ett elektriskt motstånd, resistivitet, och denna varierar också i varierande grad med
avseende på temperaturen.
Ideal resistor
Den ideala resistorn är fullkomligt frekvensoberoende, och ström såväl som spänning följs åt i
samma fas. Strömmen över resistansen kan vi teckna:
î=
û
∠0°
R
Som synes är det gamla hederliga ohms lag, och vinkeln = 0.
Verklig resistor
I många fall är även den verkliga resistorn så pass nära den ideala att vi inte behöver tänka på det,
men framför allt vid höga frekvenser kommer även den minsta lilla elektriska ledare att uppvisa
en påtaglig egen induktans! En ledning behöver inte vara formad som en spole för att ge upphov
till en induktans.
Vissa motstånd är dessutom trådlindade, och består därigenom i sig själv av en spole. Dessutom
uppstår kapacitanser mellan spolens varv.
Kondensatorer
Kondensatorns grundläggande egenskap kallas kapacitans och är dess förmåga att lagra elektrisk
laddning. Kondensatorn kan ses som två plattor med en spalt av luft eller annat icke-ledande
material emellan. Avståndet mellan plattorna och plattornas storlek avgör kondensatorns
kapacitans, som mäts i Farad. En Farad uttrycks 1F och är en mycket stor enhet, varför den i
praktiken uttrycks som mikro- nano- och pikofarad, dvs 10-6 , 10-9 och 10-12 Farad.
För att minska avståndet mellan kondensatorns elektroder använder man andra isolerande
material än luft mellan dem. Dessa material kan göras mycket tunna, och besitter dessutom en
förmåga som kallas permitivitet. Detta innebär att elektronerna i sina banor i materialets atomer
förskjuts, så att en sorts negativ tyngdpunkt bildas. Atomen blir då en elektrisk dipol, och dessa
kan då vrida sig och antaga samma riktning som det elektriska fältet mellan elektroderna. Detta
gör att verkan av avståndet mellan elektroderna minskar, och kapacitansen ökar. Denna förmåga
gör att man kallar isolationsmaterialet för dielektrikum.
Om man vill räkna ut kondensatorns kapacitans gäller följande formel:
C =ε⋅
A
D
där
C = kapacitansen i Farad
A = arean i m2
d = avståndet mellan elektroderna i m
ε = permitiviteten.
Permitiviteten är egentligen ε0 . εr där ε0 = permetiviteten i vacuum (8,85 . 10-12 ) och
εr = dielektricitetskonstanten. Dielektricitetskonstanten är ett relativt tal som beskriver
dielektrikumets permitivitet i förhållande till vacuumets permitivitet.
Dielektricitetskonstanten för några material:
Luft
Vatten
Glas
Polyester
Keramik
1
80
10
3,3
5-50000
Kondensatorn har ett stort antal användningsområden. Som kopplingskondensator blockerar den en
likspänning, men leder en växelspänning vidare. Som avkopplingskondensator kortsluter den en
växelspänning som är överlagrad på en likspänning. I filter och resonanskretsar används
kondensatorn, ofta tillsammans med motstånd och/eller en spole som frekvensbestämmande
komponent. Man använder kondensatorns upp- och urladdningstid som tidsbestämmande
konstant i t.ex. astabila vippor.
Kondensatorn uppvisar ett ”frekvensberoende motstånd” som kallas kapacitiv reaktans.
Denna uttrycks som:
XC =
1
ω ⋅C
där
Xc = reaktansen i Ω
ω = vinkelfrekvensen (2 . π . f (i Hertz) ) i Rad/s
C = kapacitansen i F
Ideal kondensator
Som nämnts tidigare skulle en ideal kondensator bara ha en kapacitiv reaktans och ingen resistans
eller induktans. Väl dimensionerade kondensatorer gör dock att vi åtminstone vid lite lägre
frekvenser kan räkna med dem som ideala.
Spänningen över kondensatorn är proportionell mot integralen ∫ i dt, och vi kan ställa upp detta
analytiskt enligt följande:
uC =
1
i dt
C∫
=
î
î
1
î ⋅ sin (ω ⋅ t ) =
⋅ cos(ω ⋅ t ) =
⋅ sin (ω ⋅ t − 90°)
∫
C
ω ⋅C
ω ⋅C
Sålunda finner vi att spänningen över kondensatorn är omvänt proportionell mot
vinkelhastigheten (frekvensen) och 90 grader (eller π/2) efter strömmen som är riktfas
Reaktansen, dvs det ”frekvensberoende motståndet” är omvänt proportionellt mot
vinkelhastigheten, dvs reaktansen minskar med högre frekvens.
XC =
1
ω ⋅C
Verklig kondensator
Detta gäller givetvis en ideal kondensator. I praktiken får
varje kondensator såväl en resistiv som en induktiv
påverkan från anslutningar osv. Kretsens verkliga
”växelströmsmotstånd”, impedansen, kommer därför att
skilja en smula.
Upp- och urladdning av en kondensator tar alltid en viss
tid. Med tidskonstanten τ (tau) åsyftar man den tid det tar
för laddningen att nå till 1-e-1 (ca 63.2%) av spänningen i
stationärtillståndet.
Denna uttryckes som:
τ = tiden i sekunder
R = serieresistansen i Ω
C = kapacitansen i Farad
Serieresistansen avser resistansen i anslutningar, elektroder och eventuella förluster i
dielektrikumet.
τ = R⋅C
där
Spolar
Spolen kallas även induktor och dess grundläggande egenskap kallas induktans. Denna anges i
enheten Henry (H). Spolen utgörs i princip av en ledare lindad ett antal varv, med eller utan
kärna. Spolens induktans är den egenskap som motverkar alla förändringar i strömmen som går
igenom den. Vid strömförändringar i spolen uppstår en motriktad spänning som kallas mot-emk.
En spole med induktansen 1H har en mot-emk på 1V då strömmen förändras med 1A/s.
Spolar har ett antal användningsområden, bland annat i avstämda filter och svängningskretsar för
att blockera eller välja ut vissa frekvenser. De kan även användas för likströmsfiltrering och
energilagring i olika typer av nätaggregat.
Spolen har ett ”frekvensberoende motstånd” som kallas reaktans, och en likspänningsresistans i
själva tråden. Den induktiva reaktansen XL uttrycks:
XL =ω⋅L
där
XL = spolens reaktans i Ω
ω = vinkelfrekvensen (2 . π . f (i Hertz) ) i Rad/s
L = induktansen i Henry
Ideal spole (induktor)
En ideal spole skulle ha en resistans = 0. Tråkigt nog finns inga sådana spolar att tillgå i
verkligheten, men med lämplig utformning av spolen, och i relativt lågfrekventa tillämpningar kan
vi ofta räkna med att resistansen är försumbar.
Som nämndes sist är spänningen över en spole proportionell mot strömderivatan di/dt. Sålunda
ser vi att vid strömmens toppvärden, dvs di/dt =0 är spänningen noll, och vid di/dt:s maxvärde,
är spänningen max. Ur grafen kan vi då analogt se att spänningen ligger 90 grader, eller π/2 rad
före strömmen, som vi anger som riktfas.
Om man vill visa sig på styva linan en stund kan man ju ställa upp det analytiskt:
Spänningen över spolen är lika med induktansen gånger strömderivatan di/dt enligt följande:
d
u L = ⋅ î ⋅ sin (ω ⋅ t ) = î ⋅ ω ⋅ L ⋅ cos(ω ⋅ t ) = î ⋅ ω ⋅ L ⋅ sin (90° − ω ⋅ t )
dt
u L = î ⋅ ω ⋅ L ⋅ sin (ω ⋅ t + 90°)
Som synes får vi en positiv 90 graders fasskillnad mellan û och î som är riktfas.
Spänningen och därmed reaktansen hos spolen är proportionell mot vinkelhastigheten.
XL =ω⋅L
Verklig spole (induktor)
Spolens totala impedans, dvs kombinationen av resistans och reaktans blir ett komplext tal,
eftersom reaktansen är komplex.
ZL =
X L + R2
2
Spolen har ytterligare en egenskap som benämnes Q-värde efter Q=Quality (en äldre benämning
är godhetstal). Detta är kvoten mellan spolens reaktans och serieresistans. Lägre resistans ger högre
Q-värde och möjliggör bl.a. konstruktion av brantare filter.
Q=
XL
RS
Går vi ytterligare upp i frekvens kommer verkan av kapacitans mellan spolens varv att börja
påverka, och modellen blir ytterligare lite mer komplicerad.
Transienter
Vad är en transient signal?
Definitionsmässigt är det en spänning
eller ström som varierar som funktion av
tiden och som är en konsekvens av en plötslig
förändring i insignalen / invärdet.
Ett exempel på detta är vid påslag
och/eller frånslag av spänning över en
kondensator i serie med en resistans.
När man tittar på det transienta förloppet i en viss krets kan man dela upp detta i två delar; den
transienta delen (transient) och den stationära delen (steady state).
Transienter i RC-kretsar
Vi tänker oss en strömkälla i serie med en
brytare, en resistans och en kapacitans enligt
vidstående bild.
När brytaren är öppen går ingen ström genom
kretsen. Kondensatorn är oladdad. När
brytaren sluts vid t=0 kommer strömmen att
rusa in i kondensatorn i dess
uppladdningsförlopp. Strömmen i kretsen
kommer att bli som följande:
iC =
E − Rt⋅C
⋅e
R
Vid t = 0 kommer C att vara irrelevant eftersom exponentuttrycket = 1, och strömmen i kretsen
och därigenom in i kondensatorn kommer att vara lika med E genom R. Likaså är spänningen
över kondensatorn vid t = 0 lika med 0V.
Sedan laddas kondensatorn upp som funktion av tiden, och strömmen IC kommer att gå mot noll
enär t går mot ∞. RC i exponentuttrycket är vad som brukar kallas kretsens tidskonstant.
När strömmen in i kondensatorn minskar ökar spänningen över den, för att till slut plana ut och
gå mot E. När mindre än 1% skiljer Uc från E antager vi att kondensatorn är uppladdad, vilket
sker efter knappt 5 tidskonstanter.
Spänningen över C kan uttryckas:
t
−
⎛
R ⋅C
⎜
u C = E ⋅ ⎜1 − e
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
Observera att när tidskonstantenτ = t = RC så får vi:
u C = E ⋅ (1 − e −1 ) = 0,63E som nämndes tidigare.
Exempel i verkliga livet:
Som synes beror strömmen i kretsen bl.a. på konstanten R. En ideal kondensator kopplad direkt
till ett batteri skulle alltså laddas oändligt snabbt med oändlig ström. Ideala kondensatorer finns
inte, men direkt kopplade till strömkällan kan de alltså vid tillslag dra oerhörda mängder ström. I
praktiken får detta effekt i t.ex. en bilstereoförstärkare, där man brukar ha mycket stora
kapacitanser som energireserv. Att koppla in dessa till strömkällan direkt kan ge så stora
strömmar att säkringarna brinner av! Därför är vissa liknande apparater försedda med en
serieresistans vid uppstarten, för att ladda upp kondensatorerna lite försiktigare.
När kondensatorn laddats upp fullständigt kan vi antaga att spänningen uc = E. Om vi så kopplar
bort den ursprungliga källan E genom att kortsluta den, laddar vi ur kondensatorn genom R.
Detta ger analogt med tidigare resonemang följande uttryck:
uC = E ⋅ e
−
t
R ⋅C
Strömmen ic uttrycks på samma sätt som tidigare, fast den här gången går den åt andra hållet.
E − Rt⋅C
iC = − ⋅ e
R
En kondensator som laddats upp skulle, om den vore ideal, behålla sin laddning och därmed
spänning i all oändlighet, men alla verkliga kondensatorer har förluster, och denna verkar som ett
R genom vilken kondensatorn sakta urladdas.
Initialvärden
Om nu kondensatorn i föregående krets inte var helt urladdad, utan hade en spänning U1 vid t=0,
vad händer då? Jo, kondensatorns uppladdningscykel startar ifrån detta initialvärde, och vi får
följande modifierade uttryck:
t
t
−
−
⎛
⎞
u C = U i + (E − U i ) ⋅ ⎜1 − e R⋅C ⎟ ⇒ u C = E + (U i − E ) ⋅ e R⋅C
⎝
⎠
Transienter i RL-kretsar
Uppladdningsfasen
Om vi tänker oss en ny krets med en induktor istället för en kapacitans, i serie med ett motstånd
R , en brytare och en strönkälla så får vi ånyo en krets med transienta egenskaper, liknande RCkretsen men tvärtom så att säga.
Då brytaren sluts vid tiden t=0 ligger helt plötsligt, ett oändligt kort ögonblick, hela E över
spolen. Därigenom kommer ögonblicket efteråt strömmen att omedelbart börja flöda in i spolen.
Spolens egenskaper är då sådana att den motverkar strömändringar genom att det induceras en
s.k. mot-emk i spolen. När kretsen nått sitt stabila tillstånd har dock strömmen planat ut
(strömändringen =0) och därigenom är den motriktade spänningen över L = 0. (Detta förutsätter
förvisso en ideal induktor) Strömmen genom L kan tecknas som:
t
−
⎛
⎞
⎛L⎞
⎜
⎟ ⎟
E ⎜
⎝R⎠
i L = ⋅ ⎜1 − e
⎟
R ⎜
⎟
⎝
⎠
Tidskonstanten för RL-kretsen återfinner vi även här i exponentuttrycket, och för RL-kretsen
tecknas denna som:
τ=
L
R
Vidare kan spänningen över L tecknas som:
−
uL = E ⋅ e
t
⎛L⎞
⎜ ⎟
⎝R⎠
Urladdningsfasen
Om vi tittar på hur kondensatorn respektive spolen lagrar energi, finner vi att kondensatorn
lagrar sin energi i form av ett elektrostatiskt fält, medan spolen lagrar energin i ett magnetfält
skapat av strömmen genom spolen. Detta ger en del intressanta konsekvenser. Eftersom energin i
spolen är beroende av strömflödet genom densamma, kommer den att avge denna energi om
strömmen plötsligt avbryts. En presumptivt oändligt snabb brytning av strömmen skulle sålunda
ge upphov till en oändlig potential (mot-emk:n) över spolen.
uL = L ⋅
di
dt
I praktiken uppnår vi inte det oändliga, men med ett snabbt avbrott av strömmen genom en
spole kan vi få en mycket hög spänning över den, stark nog att skapa en gnista, och skada
komponenter som är känsliga för höga spänningar. Tändspolen i en bil är ett exempel på detta
fenomen.
Om vi vill koppla upp en krets för att mäta urladdningsfasen hos en spole är det alltså en fördel
att koppla den på ett annorlunda sätt för att undvika den plötsliga strömförändringen och
åtföljande spänningstopp.
När då brytaren öppnas kan vi uttrycka det resulterande urladdningsförloppet:
iL = I 0 ⋅ e
−
t
τ'
där
I0 =
τ '=
E
R1
L
R1 + R2
Och vad gäller spänningen sker följande:
u L = u R1 + u R 2 = i L ⋅ R1 + i L ⋅ R2 = i L ⋅ (R1 + R2 ) =
⎛R R ⎞
E
⋅ (R1 + R2 ) = E ⋅ ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟
R1
⎝ R1 R1 ⎠
⎛ R ⎞
u L = E ⋅ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟
R1 ⎠
⎝
Och detta innebär att spänningen över L blir större än E relativt faktorn R2 genom R1.
När brytaren sluts kommer spolen att polvända till en spänning enligt ovan.
Impedans
Eftersom vi nu konstaterat att vi får komplexa storheter i ekvationerna när vi räknar på dessa, så
använder vi vanlig vektormatematik för att räkna ut spänningar och strömmar när vi kombinerar
de olika elementen.
Kretselement med komplexa storheter innebär även att deras impedans blir komplex. Med
impedans menar vi kvoten û/î genom kretselementet. Impedansen benämns med Z och dess
belopp Z uttrycks i Ohm, dess argument (vinkeln φ) uttrycks i grader eller radianer.
Impedansen räknas också vektoriellt och
analogt med spänningarna. Som exempel kan vi
ta vidstående krets med en resistans och en
spole i serie.
Då får vi ett visardiagram enligt följande:
(
Pythagoras sats ger:
û 2 = (î ⋅ R ) + (î ⋅ ω ⋅ L ) = î 2 ⋅ R 2 + (ω ⋅ L )
Vi bildar kvoten:
û
2
= Z = R 2 + (ω ⋅ L )
î
2
tan φ =
2
2
)
î ⋅ω ⋅ L ω ⋅ L
=
î⋅R
R
Om vi sedan ritar om beräkningstriangeln, och byter ut û mot î ⋅ Z så får vi följande figur:
Och om vi sedan dividerar alla sidorna med î övergår spänningstriangeln i en likformig triangel,
där sidorna har dimensionen Ohm. Denna triangel kallas Impedanstriangeln och ser ut enligt
följande:
Gör vi motsvarande sak fast med en resistans i serie med en kondensator får vi en liknande, fast
inverterad, triangel. Kvoten û/i kvarstår, och får då formeln:
û
⎛ 1 ⎞
= Z = R2 + ⎜
⎟
î
⎝ω ⋅C ⎠
2
Rent generellt kan vi säga att beloppet av den komplexa storheten impedans |Z| fås enligt:
û
= Z = R 2 + X 2 där X står för reaktansen i allmänhet.
î
Vid rent resistiv krets (ωL = 0) blir Z = R och φ = 0°
Vid rent induktiv krets (R = 0) blir Z = ω ⋅ L och φ = 90°
Vid rent kapacitiv krets (R=0) blir Z =
1
och φ = −90°
ω ⋅C
Genom att betrakta de komplexa storheterna grafiskt och geometriskt på det hör förevisade sättet
kan man relativt snabbt förstå tingens ordning. Ett elegantare sätt att lösa problemen är förstås
det rent matematiska, den s.k. jω-metoden, där vi uttrycker allt den på rektangulära formen a+jb.