LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
Helsingborg
TENTAMENSSKRIVNING
LINJÄR ALGEBRA
2008-01-08 kl 8.00-13.00
Svar förenklas maximalt.
Alla baser kan antas vara ortonormerade och positivt orienterade.
1. Punkterna P : ( 1, 2 , 0 ), Q : ( 2 , 4 , 2 ) och R : ( 3 , 1, 3 ) är givna.
a) Beräkna cosinus för vinkeln PQR.
b) Beräkna arean av triangeln PQR.
2. Punkterna A : ( 1, 0 , 2 ), B : ( 2 , 1,1 ) och C : ( 2 , 2 , 3 ) är givna.
a) Bestäm en ekvation på affin form för planet
som innehåller punkterna A , B och C.
b) Bestäm avståndet mellan origo och planet i a).
(0.5)
(0.5)
(0.5)
(0.5)
1 2 3
1 1 0
3. Följande två matriser är givna A 2 1 5 och B 0 1 2 .
3 1 4
1 0 3
a) Bestäm inversen till matrisen A.
b) Bestäm en matris X sådan att AX B T I .
(0.5)
(0.5)
4. En laser i punkten ( 8, 10, 12 ) riktas in mot mittpunkten av sträckan AB,
där A : (4, 1, 3) och B : (2 , 1, 1) .
Var träffar laserstrålen planet x y z 24 0 ?
5. Bestäm de värden på a för vilka ekvationssystemet
x ay az 1
saknar lösning.
ax y z a
5ax 5 y 11z 10
6. Betrakta två linjära avbildningar F och G från R 2 till R 2
(motsvarande matriser är A och B).
Avbilningen F innebär en vridning vinkeln 2 3 moturs
medan G innebär ortogonal projektion på x-axeln.
a) Bestäm de båda avbildningarnas matriser (motivering krävs).
b) Bestäm matrisen för den sammansatta avbildningen som fås om
man först projicerar och sedan vrider.
c) Vad blir bilden av vektorn 2, 3 under den sammansatta avbildningen?
SLUT!
(1.0)
(0.5)
(0.3)
(0.2)
