10. MEKANISKA SVÄNGNINGAR
10.1 Den enkla harmoniska oscillatorn.
Ett föremål med massan m, som hängs upp i en lätt fjäder, får svänga kring sitt jämviktsläge.
Under svängningen påverkas föremålet av en kraft från fjädern. Om kraften är riktad mot
jämviktsläget och om dess storlek är proportionell mot fjäderns förlängning x (=avståndet till
jämviktsläget) dvs kraften skrivas
F = -kx
sägs svängningen vara harmonisk. Proportionalitetskonstanten k kallas fjäderkonstant.
Enheten för k är l N/m.
En enkel harmonisk svängning innebär en variation mellan två ytterlighetsvärden som inte
förändras i tiden. Det svängande systemets energi förändras heller inte. I verkliga mekaniska
system förekommer alltid friktionskrafter som medför att systemets energi minskar med tiden.
Man talar då om dämpade svängningar. Om någon yttre drivkraft periodiskt tillför energi till
systemet (t.ex. gungande barn som får en knuff med jämna mellanrum) talar man om tvungna
svängningar.
Från gymnasiet vet vi att en harmonisk svängning kan beskrivas med en linjär projektion av
en cirkulär rörelse med konstant vinkelhastighet hos en visare, vars längd representerar
svängningens maximala avvikelse från jämviktsläget, amplituden A.
Tidsberoendet för avvikelsen från jämviktsläget, elongationen fås som lösning till en
differentialekvation.
Differentialekvationen erhålles ur nedanstående två samband:
F = "k # x
vilket är ett uttryck för att kraften alltid är riktad mot jämviktsläget (se figurer ovan och
nedan). Dessutom ger kraftlagen:
!
d2x
F = m"a = m" 2
dt
!
95
De båda sambanden ger:
d2x k
+ "x=0
dt 2 m
Denna ekvation satisfieras av olika uttryck t.ex.
x = x(t) = A1 cos "t + A2 sin "t
!
eller
x = x(t) = A3 cos("t + # )
k
där A1, A2, A3 och / är konstanter och där " =
m
!
!
Säg att man ha en beskrivning
av en svängning där man börjar räkna tid just då massan
passerar jämviktstillståndet och tex är på väg i positiv riktning. I jämvikt måste man kräva att
! uttrycken ger
x = 0 då t = 0. Insättning i de båda
0 = Al + 0, d.v.s. Al = 0.
#
0 = A3 cos/ d.v.s. " = (eller någon annan udda multipel
2
"
). Med det angivna s.k. randvillkoret fås dels x = A2 sin "t och dels att
2
#
uttrycken övergår båda i formen
x = A3 cos("t + ) = A3 sin "t . De båda allmänna
!
2
x = Asin "t då randvillkoret tillämpas. Det
! är då tydligt att A = A2 = A3 är svängningens
amplitud.
2"
Sinusuttryckets värde vid en viss tidpunkt upprepas efter tiden
. Denna tid är
#
2"
m
svängningens period, T.
T=
= 2"
#
k
av
!
!
!
!
!
96
k
kallas vinkelfrekvensen. Enhet 1 rad/s
m
1
1
k
kallas svängningens frekvens. Enhet 1 s-1 = 1 Hz
f= =
#
T 2" m
"=
!
!
10.2 Harmoniska oscillatorns energi.
Energin hos en harmonisk svängning växlar periodiskt mellan enbart potentiell energi i
vändlägena och enbart kinetisk energi vid passage av jämviktsläget. I lägena däremellan är
energin både kinetisk och potentiell.
Om x = x (t) = A sin )t får man hastigheten
vx = A" cos "t
vars maximala värde är A), som antas då partikeln passerar jämviktsläget.
På samma sätt fås
a x = "A # $ 2 sin $t = "A # $ # x
!
vars maximala värde är "A # $ 2 och som antas i vändlägena. Kraften på partikeln är då störst!
Kinetiska energin vid en viss elongation är då
1
1
Ek = mvx2 = m " A 2# 2 cos2 #t
!
2
2
!
medan den potentiella energin är
1
1
E p = kx 2 = k " A 2 sin 2 #t
2
2
Den totala energin !
1
1
E = Ek + E p = A 2 (m" 2 cos2 "t + k sin 2 "t) = kA2
2
2
!
Den totala energin är således
konstant och proportionell mot amplitudens kvadrat.
Obs! Dessa samband är naturligtvis också giltiga om fjädern hängs vertikalt och vikten
oscillerar upp och ner.
!
Obs! Om fjädern
massa inte är försumbar kan man visa att ovanstående samband är giltiga om
1
massan m i uttrycken ersätts med en effektiv massa meff = m + m fjäder , där m är viktens
3
massa.
Exempel:
!
En vikt med massan 0,2 kg är fäst i fjäder med
fjäderkonstanten 5 N/m och kan röra sig
horisontellt på ett friktionsfritt underlag, se
vidstående figur. Fjädern dras ut och släpps vid
t = 0. Vid t = 0,3 s har vikten hastigheten – 40
cm/s och befinner i en punkt med koordinaten x
= - 6 cm.
a) Bestäm på formen x = A sin ()t + /) den
funktion som beskriver viktens rörelse.
b) När är viktens hastighet störst första gången?
c) Hur stor är accelerationen vid t = 1,0 s ?
d) Hur stor är den totalt upplagrade energin?
97
Lösning
a) Vinkelfrekvensen " =
k
5
=
= 5 rad/s
m
0, 2
Med x = A sin ()t + /) får vi att hastigheten kan uttryckas v =
dvs
- 0,06 = A sin (1,5 + /)
- 0,4 = A•5 cos (1,5 + /)
!
dx
= A) cos ()t + /)
dt
(1)
(2)
!
"0, 06 1
= tan(1, 5 + # )
"0, 4 5
Vilket ger 1)
1,5 + / = arctan 0,75 = 36,9° = 0,644 rad $ / = - 0,856 rad
2)
1,5 + / = 36,9° + 180° = 3,785 rad $ / = 2,285 rad
Insättning av / = - 0,856 rad i (1) ger A = - 0,1 men A alltid positivt dvs vi måste förkasta
!
detta värde på /
Insättning av / = 2,285 rad i (1) ger A = 0,1
Rörelsen beskrivs av x = 0,1 sin (5t + 2,285) och v = 0,5 cos (5t + 2,285)
Dividera (1) med (2)
b) Hastighetens största värde är 0,5 m/s och inträffar vid passage av jämviktsläget. Första
gången detta passeras är den på väg i negativ riktning varför hastighetsvärdet är – 0,5. Således
skall gälla - 0,5 = 0,5 cos (5t + 2,285) vilket ger t = 0,17 s
c) För accelerationen gäller
dv
a=
= "A# 2 (sin #t + $ ) = "0,1% 5 2 % sin(5 %1, 0 + 2, 285) = "2,11 m/s2
dt
Vinkelfrekvensen 5 rad/s ger att perioden är 1,26 s. Varje period består ju av 4 kvartsperiod
vardera om 0,32 s. Vid t = 1,0 s befinner sig vikten i sista kvartsperioden och på väg att
bromsas in till utgångspunkten. Accelerationen är då riktad i negativ led. Den maximala
!
accelerationen
antas i vändlägena och i startpunkten är den – 2,5 m/s2!
d) Den i fjädern upplagrade energin är Etot =
1 2 1 2
kA = mvmax = 25 mJ
2
2
10.3 Matematisk pendel.
Ett system som kan utföra harmoniska svängningar är den
! av en punktformig massa m
matematiska pendeln som består
som hänger i en viktlös tråd med längden d och svänger kring
sitt jämviktsläge.
För svängningar med liten utslagsvinkel är svängningstiden
d
T = 2"
g
Två olika härledningar av uttrycket för svängningstiden:
l) Utnyttjande av!sambandet mellan kraftmoment och ändring per tidsenhet av
dL
rörelsemängdsmomentet: M =
dt
!
98
De krafter som verkar på m är dels snörspänningen, dels
tyngdkraften. Med upphängningspunkten som momentpunkt
är det endast tyngdkraftens tangentiella komposant som
utövar något moment. Detta strävar efter att återföra
partikeln till jämviktsläget d.v.s. det verkar i negativ %-led:
M = "(mg sin # ) $ d
L = m $ v $ d = m $ #˙d $ d = m $ d 2 $ #˙
t
!
vt är partikelns tangentialfart. Deriveras det senare uttrycket
erhålls
dL
= md 2 " #˙˙
dt
Man får följande differentialekvation:
"mgd # sin $ = md 2$˙˙
!
som efter omskrivning ger:
d 2" g
+ # sin " = 0 (1)
2
dt
d
!
2) Utnyttjande av energiprincipen: Minskning i potentiell
! referens) är lika med
energi (vändläget väljs som
ökningen i kinetisk energi:
1 2 1
mvt = m(d$ )2
2
2
Derivering med avseende på tiden ger
"mgd#˙ sin # = md 2$$˙ .
Detta är (som sig bör) samma differentialekvation som (1)
mgd(1" cos# max ) " mgd(1" cos # ) =
!
!
För små vinklar gäller att sin " # " (om % uttrycks i radianer) och differentialekvationen får
samma form som den som gällde den enkla harmoniska oscillatorn. Jämförelse ger en lösning
!
" = " (t) = " max sin #t med
g
d
"=
och perioden T = 2 #
d
g
!
Vad menas med en liten vinkel? Exempel: % = 1° motsvarar % = 0,0175 rad, sin l° = 0,0175
Den procentuella skillnaden mellan % och sin %
!
" # sin"
= 5 $10 #5 = 0, 005%
sin "
För % = 5° är motsvarande procentuella skillnad 12,7%.
Uttrycket för pendelns svängningstid är således approximativt men är användbart om
pendelutslaget endast är!någon grad, % < 5°.
99
10.4 Fysisk pendel.
Den matematiska pendelns massa är
koncentrerad till ett mycket litet område ( till en
punkt). En godtyckligt formad fast kropp, rörlig
kring en horisontell axel utgör en fysisk pendel.
En beskrivning av rörelsen hos denna pendel kan
erhållas utgående från uttrycket M = I " # .
Avståndet mellan vridningsaxeln, som går
genom O, och pendelns tyngdpunkt kallas d.
!
Antag att pendeln i ett visst ögonblick rör sig så
att % i figuren ökar. Tyngdkraftens moment gör
att vinkelhastigheten och därmed
rörelsemängdsmomentet minskar.
Kraftmomentet: M = "mg # d sin $
Steiners sats ger tröghetsmomentet med
avseende på den aktuella rotationsaxeln: I = ITP + md2 . Dessutom är " = #˙˙
Sammanställning
ger:
!
"mgd sin # = (I Tp + md 2 )#˙˙
Efter omskrivning
!
d 2"
mgd
+
sin " = 0
2
2
dt
I
+
md
Tp
!
För små vinklar är den fysiska pendelns period
!
T = 2"
I Tp + md 2
mgd
10.5 Torsionspendeln.
En massiv skiva hängande i en tråd kan utföra s.k. torsionssvängningar runt sin vertikala
! torsionspendel. Det kraftmoment med vilket tråden påverkar
symmetriaxel. Systemet kallas
skivan är proportionellt mot den vinkel skivan vridits från sitt jämviktsläge. Momentet strävar
efter att återföra skivan till jämviktsläget: M = "k # $ . Proportionalitetskonstanten k är beroende av trådmaterialets egenskaper. Sambandet M = I " # = I " $˙˙ ger ekvationen
d 2" k
+ #" = 0
dt 2 I !
!
I
, där I är skivans
k
tröghetsmoment m.a.p. den vertikala axeln.
Torsionspendelns
period: T = 2 "
!
!
100
10.6 Dämpade svängningar.
När den svängande vikten rör sig i ett visköst medium, tex i en vätska, så utsätts vikten
förutom av fjäderkraften av en bromsande friktionskraft, f, som om hastigheten är låg är
dx
proportionell mot hastigheten dvs f = bv = b " . Denna kraft gör att svängningens amplitud
dt
minskar med tiden då mekanisk energi förs ur systemet av denna icke konservativa kraft.
Kraftlagen ger: # F = "kx " bv
Men
d2x
# F = m " a = m " dt!
Sammanställning efetr omskrivning ger då:
!
d 2 x b dx k
+ " + "x=0
2
dt
m dt m
!
Man kan visa att denna andra ordningens differentialekvation har lösningen
x = A " e# $t " cos(%bt + & ) (1)
där
!
b
(2)
"=
2m
!
och
!
k
där som tidigare " =
m
Exempel
% $ (2
"b = " 1# ' *
&" )
(3)
!
En vikt!med massan 50 g är upphängd i en fjäder med fjäderkonstanten. Vikten är nedsänkt i
ett kärl innehållande en viskös vätska. Vikten dras ut 8 cm från jämviktsläget och släpps. Den
friktionskraft, f, som vätskan skapar mot rörelsen kan skrivas f = 0,172v, där v är viktens
aktuella hastighet. Beräkna viktens avstånd från jämviktsläget vid tidpunkterna t = T, 2T, 3T,
4T och 5T, där T är svängningens period.
Lösning
Ur givna data bestäms " =
20
0,172
= 20 s-1
= 1, 72 s-1 och " =
0, 05
2 # 0, 05
$ 1, 72 '2
-1
Sammantaget ger detta "b = 20 1# &
) = 19, 93 s (0 ))
% 20 (
!
2 "! 2 "
=
= 0, 315 s
Härur kan periodtiden bestämmas T =
#b 19, 93
Faskonstanten!bestäms på följande sätt. Antag att x-axeln är riktad uppåt. Då x = -0,08 vid
t = 0 och vi får "0, 08 = 0, 08 #1# cos $ % $ = &
Sammantaget ger (1) för t = T = 0,315 s
!
x = 0, 08 " e#1,72"0,315 " cos(19, 93" 0, 315 + $ ) = #0, 0465 m = - 4, 65 cm
!
!
101
Pss för vi för övriga tider (se tabell nedan). I diagrammet nedan visas också grafen för denna
dämpade svängning.
x (cm)
-8,00
-4,65
-2,71
-1,58
-0.92
-0,54
t
0
T
2T
3T
4T
5T
10.7 Tvungna svängningar.
En dämpad svängning kan emellertid hållas i gång med hjälp av en yttre påverkan. Ett litet
barn som gungar och inte lärt sig tekniken kan få hjälp att hålla “farten” genom att en
utomstående i lämpliga ögonblick “knuffar” till gungan. Detta extra energitillskott måste
kompensera energiförlusterna för att behålla amplituden. Ofta sker energitillförselngenom en
kraft som varierar periodiskt och kan uttryckas
F = F0 cos " yt
där )y är kraftens vinkelfrekvens
denna tillkommande kraft gör att differentialekvationen får följande utseende:
d 2 x b dx k
F
! 2 + " + " x = " cos # yt
dt
m dt m
m
Lösningen till denna kan visas bli
(4)
x = Ae cos("et # $ e )
där
!
tan " e =
!
b # $e
m($ 2 % $e2 )
(5)
och
Ae =
F
2
2
m (" # "e2 ) + b 2 $ "e2
(6)
!
k
och där " =
som tidigare är vinkelfrekvensen för den odämpade svängningen.
m
"#m
Ofta inför man !
Q-faktorn som Q =
, varvid uttrycket för Ae kan skrivas
b
!
!
102
F
m
(7)
2
2
"
$
"
e
(" 2 # "e2 ) +
Q2
Om detta tillämpas på föregående lösta exempel och inför en yttre kraft F som beskrivs av
F = 0, 344 " cos #e " t
erhålls för Q = 2,3 respetive 5,8 grafer som visas i
! Här kan då noteras att störst
vidstående diagram.
amplitud, Ae, erhålls då "e # " , dvs då energin
matas in ungefär i takt med!det odämpade
systemets vinkelfrekvens (egenfrekvens). Den
vinkelfrekvens, "e , som ger störst amplitud kallas
!
resonansfrekvensen,
"r , och den kan skrivas
Ae =
b2
(8)
2m
!
Om systemet
! är odämpad (b=0) blir således
"r = " och ur (7) framgår att Ae " # .
Skälet till detta är naturligtvis att då
!
friktionsförluster
saknas kommer den inmatade energin att lagras i systemet varvid
amplituden ökar och ökar.
!
"r = " 2 #
!
10.8 Övningsuppgifter
1.
Rörelsen hos en viss massa, friktionsfritt rörlig i änden av en spiralfjäder, beskrivs av
x = 0,40 cos 2(0,35 t - 0,15)
(m)
Hur stor är svängningens a) amplitud? b) frekvens? c) period?
2. En vikt som väger 0,5 kg utför en harmonisk svängningsrörelse med frekvensen 10 Hz
och amplituden 10 cm. I ett visst ögonblick befinner sig vikten 5 cm från jämviktsläget.
Beräkna värdet på följande storheter i detta ögonblick:
a) accelerationen
b) den resulterande kraft som verkar på vikten
c) den potentiella energin
d) den kinetiska energin
3. Ett horisontellt bord svänger harmoniskt fram
och tillbaka med amplituden 1,5 m och
frekvensen 0,25 Hz. Vilken är den minsta
statiska friktionskoefficient som krävs för att
ett föremål placerat på bordet inte skall börja
glida?
4. En matematisk pendel är 60 cm och har massan 200 g. Pendeln lyfts så att den bildar 15°
med lodlinjen och släpps därefter. Man startar tidtagning just då kulan släpps. Formulera
ett uttryck för utslagsvinkeln, uttryckt i grader, som funktion av tiden.
103
5. En vikt med massan 60 g hänger i vila i en fjäder vars fjäderkonstant är 50 N/m. Vikten
dras ner 8,0 cm från sitt jämviktsläge och släpps. a) Ange en sinusfunktion som beskriver
den uppkomna svängningen. b) Beräkna hur lång tid det tar för vikten att förflytta sig från
startpunkten med x = - 8 cm till punkten med koordinaten x = 6 cm.
6. Antag att det svängande systemet i föregående uppgift befann sig i punkten x = 4 cm och
vikten var på väg ner vid t = 0. Bestäm fasvinkel och viktens acceleration vid t = 0.
7. Vagn B (mB = 2,0 kg) är sammankopplad med låda A (mA
= 1,0 kg) via en fjäder med fjäderkonstanten 20 N/m.
Vilofriktionstalet mellan lådan och underlaget är 0,32.
Vagnen ges en knuff åt höger. Hur stor får B:s
begynnelsefart högst vara för att lådan inte skall börja
glida?
8. Beräkna svängningstiden för vidstående koppling. Vikten har
massan m, fjädern har fjäderkonstanten k. Blocket och linorna
har försumbar massa.
9. Beräkna frekvensen hos en meterstav som svänger som en
fysisk pendel om axeln går genom a) 90,0 cm-markeringen. b)
50,5 cm-markeringen.
10. En homogen cirkulär skiva med radien 30 cm kan
rotera kring en axel genom en punkt P på skivans
periferi. Axeln är vinkelrät mot skivans plan. Skivan
släpps från vila i ett läge där diametern genom
upphängningspunkten bildar vinkeln 45° med lodlinjen.
Beräkna a) svängningstiden b) hastigheten hos skivans
nedersta punkt A då skivan passerar det streckade
jämviktsläget.
11. En dämpad svängningsrörelse beskrivs av (1) s 10-7 med / = 0. Under den första
fullständiga svängningen minskar amplituden med 5 %. Fjäderkonstanten är 20 N/m och
massan 60 g.
a) Hur stor blir proportionalitetstalet i uttrycket för friktionskraften om "b = " ?
b) Bestäm Q-faktorn
c) Hur stor måste kraftens amplitud vara om den skall åstadkomma en
svängningsamplitud på 10 cm vid resonans?
!
104
!
Svar:
1) a) 0.40 m. b) 0.11 Hz. c) 9.0 s.
2) a) -197 m/s2 b) -98,7 N c) 2,47 J d) 7,40 J
3) µ > 0, 38
4) " = " (t) = 15° # sin(4, 04 # t ± $ / 2)
$
5) a) x = 0, 08 sin(28, 87 " t # ) b) 8, 38 "10 #2 s
2
!
-2
6) " = 2, 62 rad, a = #28, 5 ms
!
7) 0,50 m/s
!
m
!
8) T = "
k
9) a) 0,64 Hz, b) 0,12 Hz.
10) a) 0,21 s b) 2,1 m/s
11) Svar: a) 1, 79 "10 #2 kgs #1 b) 61,2 c) 32,7 mN
!
!
105
