• INTRODUKTION

1
Föreläsning 1:
• INTRODUKTION
•Målsättningar
Proffesionell kunskap om mekanik.
Kunna hänvisa till lagar och definitioner.
Tydlighet och enhetliga beteckningar.
•Kursens olika delar
Teorin
Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2.
Inlämningsuppgifter
Lära känna kraven på redovisningar och presentationer!
Problemlösning
Tentamen efter kursen.
2
• Newtons 3 lagar för partikelrörelse:
!
1. En 'fri' partikel förblir i vila eller i konstant rätlinjig
rörelse.
2. ma = F (vektorekvation)
m = massa, a = acceleration, F =totala kraften.
3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan
är noll.
!
!
• Eulers lagar för stela kroppar i vila:
!
!
!
1. F = 0 (Ingen translation av masscentrum)
där F = totala ’yttre’ krafter.
2. MO = 0 (Ingen rotation kring masscentrum)
MO = totala kraftmomentet från ’yttre’ krafter. O är
en godtycklig momentpunkt.
3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan
är noll. (se Newton 3!)
3
• MEKANIKENS STORHETER
och dimensionsanalys.
•STORHET
DIMENSION
(SI-)enhet
Grundläggande storheter:
massa
M
kg
längd, läge
L
m
tid
T
s
______________________________________________
Härledda storheter, t.ex.
MLT !2
kraft
N (= kg m/s/s)
-1
LT
hastighet
m/s
LT !2
acceleration
m / s2
Härledda storheter beror av grundläggande storheter
genom definitioner och/eller lagar.
4
EXEMPEL: Avgör om hastighetsformeln v = 2gh är
dimensionsriktig.
Lösning:
dim {v} = LT !1 , dim {g} = LT !2 , dim{h} = L .
Dimensionsanalys av VL och HL ger samma resultat.
---------EXEMPEL: Bestäm så långt möjligt ett samband vid fritt
fall mellan hastighet, massa, tyngdacceleration och
fallhöjd!
Lösning: Ansätt
v = konst .! m " g # h $
(finns det andra ansatser?)
Jämför dimensioner i VL och HL.:
dim {v} = LT !1, dim {m } = M, dim{g} = LT !2, dim {h } = L
dvs L:s exponent i VL=HL ger:
M:s exponent i VL=HL ger:
T:s exponent i VL=HL ger:
Detta ger:
! = 0, " = 1 / 2, #
dvs v = konst gh
Jämför med det riktiga uttrycket!!
1= ! +"
0=!
!1 = !2 "
=1 / 2
5
• Krafter
-Newtons 3:e lag: Krafter uppkommer i par så att
den uppkomna totalkraften är noll.
Exempel 1: Kontaktkrafter.
De båda motriktade krafterna verkar på olika
föremål.
Övning: Krafter verkar på vad? P är en ’yttre
kraft’. N är ’olika normalkrafter’.
6
Exempel: Trådkrafter. Betrakta en trådbit som
spänns av två ’yttre’ krafter.
Vid varje ’tänkt’ tvärsnittsyta genom en ’lätt’ tråd
finns ett motriktat kraftpar bestående av två
krafter som är lika stora som de båda ’yttre’
krafterna i ändarna.
T
T
Övning: Hur stor kraft påverkas skivan med?
Olika typer av krafter:
• Vardagskrafter: Trådkraft, fjäderkraft, normalkraft,
friktion (vid kontakt). Elektromagnetisk kraft,
tyngdkraft och gravitation (avståndsverkan).
• Fundamentala krafter: Växelverkan mellan materia
via kraftbärare (fotoner, mesoner, gluoner,
gravitoner).
7
–Lägevektorn: r = ( x, y,z) , där x, y, z är koordinater.
–Vardagskrafter är vektorer:
Tre komponenter: F = ( Fx ,Fy ,Fz ) .
! har längd och riktning:
En vektor
Längd: F = F = Fx2 + Fy2 + Fz2
!
Riktning: eF =
F
. (Sortlös vektor med längden 1)
F
!Exempel: Bestäm kraftens komponenter från
vinkel!
!
Svar: Fx = F sin" , Fy = F cos" , Fz = 0 ,
dvs F = ( Fsin", Fcos",0) .
!
!
!
!
Exempel: Bestäm kraftens riktning!
Svar: eF = (sin", cos" ,0) .
!
8
Exempel: Bestäm kraftens komponenter från
lutningsförhållande!
Svar: Den liggande sidan i den lilla triangeln
förhåller sig till hypotenusan som 4 till 5:
Fx = 4 F = 8 N . Den stående sidan i den lilla
5
triangeln förhåller sig till hypotenusan som 3 till
5: Fy = 53 F = 6 N , och Fz = 0 ,
!
"
%
dvs F = $ 4 F, 3 F,0' .
#5
&
5
!
!
Exempel: Bestäm kraftens riktning!
!
Svar: eF
!
"
%
= $# 4 , 3 ,0'& .
5 5
9
Exempel: Kraften med storlek 10 N har samma riktning
som linjen från punkten A: (1,1,0)a till punkten B:
(5,4,0)a. ’a’ är en längdenhet. (a) Bestäm kraftens
komponenter, samt (b) kraftens vinkel mot y-axeln.
Lösning(a): Kolla först skillnadsvektor från A till B. Den
blir: rAB = (4,3,0)a , där komponenterna direkt kan läsas
av. Längden av vektorn (Pythagoras sats) är rAB = 5a .
Skillnadsvektorns och kraftvektorns komponenter är
!
proportionella, som också vektorernas längder är. Alltså:
!
F = 10N = Fx = Fy . Kraftkomponenterna
blir:
rAB
5a
4a 3a
Svar(a): Fx = 8N , Fy = 6N , Fz = 0 ,
så att hela kraftvektorn blir F = (8,6,0) N .
!
Lösning(b): Kolla med föregående exempel. Om
!
! så fås: sin " = 8 eller/och
!
kraftvektorerna
jämförs
10
!
cos " = 6 . Mer än något av dessa svar krävs inte.
10
!
!
10
Koordinataxlar representeras ibland av axelriktningarna
ex ,ey ,ez , som är enhetsvektorer.
En kraft kan därför beskrivas som:
F = (Fx ,Fy ,Fz ) = Fx (1,0,0) + Fy (0,1,0) + Fz (0,0,1)
!
Eller enklare:
F = Fx ex + Fy ey + Fz ez ,
!
Fx ex är en komposant.
Fx är en komponent.
!
!
11
KOMIHÅG 1:
--------------------------------• 3 oberoende storheter-3 oberoende dimensioner
• Kraft beskrivs med vektorer.
• Komposanter är delvektorer.
Föreläsning 2:
Skalärprodukt
Två definitioner:
Med vektorkomponenter: A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz .
Med längder och riktningar: A • B = ABcos" .
Här är " vinkelöppningen melan vektorpilarna.
!
! skalärprodukt)
Projektion (speciell
! Kraftens projektion på x-axel: OBS, använd
axelns riktningsvektor!
F • ex = ( Fx ,Fy ,Fz ) • (1,0,0) = Fx "1+ Fy " 0 + Fz " 0
= Fx .
!
!
Komponent i annan axelriktning:
Sök komponenten av kraftens längs en axel
(riktad linje) L .
Om kraftvetorn och axelns riktning eL är kända,
så fås komponenten längs axeln av beräkningen:
!• e . Här används skalärprodukten • . Man
FL = F
L
får med skalärprodukten på!en linjes riktning en
projektion på axeln L .
!
!
!
12
Exempel: Bestäm kraftens komponent längs
axlarna a och b!
Svar: Fa = F cos" , Fb = F cos " .
Kraftens projektion på a-axel med hjälp av xy! komponenter
!
(se figuren):
• a-axelns riktning i det ortogonala
koordinatsystemet (x,y,z): ea = (cos" ,sin" ,0) .
• Kraftens projektion på axelriktningen ea :
F • ea = ( Fx ,Fy ,Fz ) • (cos" ,sin" ,0) = Fx # cos" + Fy # sin" + Fz # 0
= Fx " cos # + Fy " sin #!.
Koordinataxlar och linjer
!
!
!
En koordinataxel har en riktning och sammanfaller med en
rät linje. Linjen är en kontinuerlig punktmängd utan
speciell riktning.
13
KRAFTERS VERKAN PÅ STELA
KROPPAR
Orsakar ändringar i kroppens två rörelser:
• translation (Eulers 1:a lag)
• rotation (Eulers 2:a lag)
F
A
ej rot
F
B
rot
Det behövs två tillbehör för att beskriva krafter:
•angreppspunkt (se figuren ovan, A och B eller rA
och rB )
•verkningslinje ( rAL = rA + LeF , "# < L < # )
!
!
Viktigt! Kraft är en matematisk vektor! En an! behandlas !
greppspunkt
också som en vektor i
många fall. Hur räknar man med vektorer?
14
Den räta linjen:
• Linjens ekvation i ett plan:
y = kx + y 0 , där y 0 och k
är konstanter, x och y är variabler (som beror av varandra).
-En vald punkt på linjen har koordinater som bildar läget
!
!
r0 = (0, y 0 ,0) .
-En godtycklig punkt på linjen kan skrivas
r = (x, y,0) = (x,kx + y 0 ,0) = (x,kx,0) + (0, y 0 ,0)
= (1,k,0)x + r0 = LeL + r0 ,
!
!
!
!
!
där L (= 1+ k 2 x) är en fri ’koordinat för linjen’, och
(1,k,0)
är linjens riktning.
eL =
2
1+ k
!• Linjens punktmängd: Linjens punkter kan alltså
skrivas: rL = LeL + r0 , där bara L är godtycklig. Men
även r = L("eL ) + r0 . En rak linje har två möjliga
riktningar ±eL , och r0 är en känd punkt.
!
!
!
Exempel: Beskriv x-axelns linje i xy-planet.
!
!Axelns riktning är känd ( e ), och en
Lösning:
x
koordinataxel går igenom origot för axlarna (nollvektorn
(0,0,0) ).
rx ) kan då skrivas:
Linjen (dess punktmängd !
rx = xe x , där x är godtycklig.
!
!
!
!
15
• KRAFTMOMENT med avséende på en
fix momentpunkt P.
– Kraftmomentet som kryssprodukt av två andra
vektorer:
Definition: MP = rPA " F ,
där rPA = rA " rP och rA är angreppspunktens koordinater
!
och rP är momentpunktens dito.
Speciellt:
Om rPA // F är MP = 0 .
!
!
!
!
!
Vektorproduktens viktiga egenskaper:
• Den är 0 (nollvektorn) om faktorer är parallella
(anti-parallella).
• Den byter tecken om faktorerna byter plats.
!
16
KOMIHÅG 2:
--------------------------------• Skalärprodukt som projektion.
• Axlar (riktade) och linjer
• Kraftmomentet är en vektor
Föreläsning 3:
Krafter i ett plan
Låt rA = ( x A ,y A ,0) , rP = (0,0,0) och F = ( Fx ,Fy ,0) .
Momentet map origo blir
ex ey ez
MO = rA "!
F = x A y A 0 ! = ( x A Fy " y A Fx )ez .
Fx Fy 0
!
Betrakta figuren:
F!
y
F
!
yA
O
Fx
xA
Fx och Fy vrider åt olika håll om Fx , Fy >0.
Moment m a p punkt respektive axel
!
Totala vridande förmågan med avseende på en punkt O :
MO = ( MOx ,MOy ,M
!Oz!
).
!
Komponenten MOz är kraftens vridande förmåga map zaxel genom origo.
!
MOz = x A Fy " y A Fx .
!
Matematisk
projektion av hela momentet: MOz = MO • ez .
!
!
!
!
17
– Kraften kan flyttas längs sin verkningslinje.
Förskjut kraften så att angreppspunkten ändras:
r "r + LeF .
Bestämning av kraftmomentet:
M ' O = (r + LeF ) " F = r " F + L eF " F = MO
!
!
=0, ty //
För ett givet kraftmoment kan samma kraft ligga var som
helst på en linje.
Problem: Tyngdkraften mg verkar i mitten av en kub
och är riktad nedåt. Beräkna kraftens moment med
avseende på kontaktpunkten A.
Lösning: Dela upp kraften med komposanter längs
kroppens två symmetrilinjer map mittpunkten. Då är
avstånden till komposanternas vardera verkningslinjer
L/2 respektive L/4. Med hänsyn till vridningsrikningar
vrider komposanterna åt samma håll (medurs, som är en
negativ riktning i givna planet). Dvs
M A = " L mgcos # " L mgsin # . (vektorn in i planet).
4
2
!
18
Problem: Kraften P appliceras vinkelrätt på balkens
övre del. Beräkna kraftens moment med avseende på
böjleden respektive fotfästet.
P=30 N
d=1.6 m
45o
d=1.6 m
!
!
!
Lösning: Med 'origo' i böjpunkten ( B ) blir
angreppsvektorn och kraften vinkelräta:
M B = dP = 1.6 " 30 Nm = 48 Nm (negativ vridning i
planet)
Med 'origo' i fotpunkten ( A ) blir det svårare. Dela upp
kraften i horisontell och vertikal komposant. Den
horisontell komposanten har sin momentarm och den
vertikala sin. Addera:
M A = P cos 45 o ( d + d cos 45 o ) + P cos 45 o ( d cos 45 o )
"
1 %
= dP$1+
' = 81.94 Nm (negativ vridning i planet)
#
2&
19
Problem: En låda belastas med tre yttre krafter enligt
figuren med verkningslinjer längs tre av lådans kanter.
Lådan har formen av ett rätvinkligt block med
kantlängderna a, b och c.
Bestäm kraftsystemets kraftmoment med avseende på
(map) origo!
Lösning:
Vad är positiva moment kring en axel???
MO = (2Pb " Pc," 2Pa,0) .
!
!