• INTRODUKTION

1
Föreläsning 0 (Självstudium):
• INTRODUKTION
•Kursens olika delar
Teorin
Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2.
Inlämningsuppgifter
Lära känna kraven på redovisningar!
Problemlösning
Tentamen efter kursen.
2
• Newtons 3 lagar för partikelrörelse:
!
1. En 'fri' partikel förblir i vila eller i konstant rätlinjig
rörelse.
2. ma = F (vektorekvation)
m = massa, a = acceleration, F =totala kraften.
3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan
är noll.
!
!
• MEKANIKENS STORHETER
och dimensionsanalys.
•STORHET
DIMENSION
(SI-)enhet
Grundläggande storheter:
massa
M
kg
längd, läge
L
m
tid
T
s
______________________________________________
Härledda storheter, t.ex.
MLT !2
kraft
N (= kg m/s/s)
-1
LT
hastighet
m/s
LT !2
acceleration
m / s2
Härledda storheter beror av grundläggande storheter
genom definitioner och/eller lagar.
3
EXEMPEL: Avgör om hastighetsformeln v = 2gh är
dimensionsriktig.
Lösning:
dim {v} = LT !1 , dim {g} = LT !2 , dim{h} = L .
Dimensionsanalys av VL och HL ger samma resultat.
---------EXEMPEL: Bestäm så långt möjligt ett samband vid fritt
fall mellan hastighet, massa, tyngdacceleration och
fallhöjd!
Lösning: Ansätt
v = konst .! m " g # h $
(finns det andra ansatser?)
Jämför dimensioner i VL och HL.:
dim {v} = LT !1, dim {m } = M, dim{g} = LT !2, dim {h } = L
dvs L:s exponent i VL=HL ger:
M:s exponent i VL=HL ger:
T:s exponent i VL=HL ger:
Detta ger:
! = 0, " = 1 / 2, #
dvs v = konst gh
Jämför med det riktiga uttrycket!!
1= ! +"
0=!
!1 = !2 "
=1 / 2
4
• Krafter
-Newtons 3:e lag: Krafter uppkommer i par så att
den uppkomna totalkraften är noll.
Exempel: Kontaktkrafter.
De båda motriktade krafterna verkar på olika
föremål.
Exempel: Trådkrafter. Betrakta en trådbit som
spänns av två ’yttre’ krafter.
Vid varje ’tänkt’ tvärsnittsyta genom en ’lätt’ tråd
finns ett motriktat kraftpar bestående av två
krafter som är lika stora som de båda ’yttre’
krafterna i ändarna.
5
T
T
Exempel: Hur stor kraft påverkas skivan med?
–Krafter är vektorer:
Tre komponenter: F = ( Fx ,Fy ,Fz ) .
En vektor har längd och riktning:
Längd: F = F = Fx2 + Fy2 + Fz2
!
F
Riktning: eF = . (Sortlös vektor med längden 1)
F
!
Exempel: Bestäm kraftens komponenter!
!
Svar: Fx = F sin" , Fy = F cos" , Fz = 0 ,
dvs F = ( Fsin", Fcos",0) .
!
!
!
!
6
Exempel: Bestäm kraftens riktning!
Svar: eF = (sin", cos" ,0) .
Koordinataxlar representeras ibland av riktningarna
! ex ,ey ,ez , som är enhetsvektorer.
En kraft kan därför beskrivas som:
F = Fx ex + Fy ey + Fz ez ,
!
Fx ex är en komposant.
Fx är en komponent.
!
!
Komponent i annan axelriktning:
Sök komponenten i längs en axel (riktad linje) L .
FL = F • eL . Här används skalärprodukten • och en
riktningsvektor för axeln. Man får en projektion
!
på axeln L .
!
!
!
7
Skalärprodukt
Två definitioner:
Med vektorkomponenter: A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz .
Med längder och riktningar: A • B = ABcos"
!
Projektion (speciell
skalärprodukt)
! x-axel:
Kraftens projektion på
F • ex = ( Fx ,Fy ,Fz ) • (1,0,0) = Fx "1+ Fy " 0 + Fz " 0
= Fx .
Kraftens projektion på a-axel (i figuren):
F • ea = ( Fx ,Fy ,Fz ) • (cos" ,sin" ,0) = Fx # cos" + Fy # sin" + Fz # 0
!
!
!
!
= Fx " cos # + Fy " sin # .
8
KOMIHÅG 0:
--------------------------------• 3 oberoende storheter-3 oberoende dimensioner
• Kraft är en vektor. Skalärprodukt som projektion.
Föreläsning 1:
• PARTIKELKINEMATIK
(beskrivning av rörelsen)
Kinematiska storheter:
läge-hastighet-acceleration
y
m
v
r
r
a
!
x
Definitioner:
hastighet : v =
fart :
dr ˙
=r
dt
v=v
d 2r ˙˙ ˙
acceleration : a = 2 = r = v
dt
Dessutom införs
Rörelsemängd: p = mv ,
dp
!
Newtons
2:a lag:
=F.
dt
!
!
9
•Kinematik med vanliga (kartesiska) x, y, zkoordinater:
Problem: Rörelsen i planet beskrivs av tidsfunktionerna
x(t)= bt, y ( t ) = c " gt 2 / 2 , där b, c och g är konstanter.
Bestäm hastigheten och accelerationen, samt vinkeln
mellan dem.
!Lösning: Först använder vi definitioner med hjälp av de
kartesiska koordinaterna x och y .
r = ( x ( t ),y ( t )) = (bt,c " gt 2 / 2)
v = ( x˙ ( t ), y˙ ( t )) = (b,"gt )
!
a = v˙ = (0,"g) !
Det är här fråga om en kaströrelse, ty accelerationen är
konstant riktad neråt i (vertikal-) planet. Vinkeln mellan
acceleration och hastighet får man sedan ur
! skalärprodukten:
v • a = vacos"
2
g 2 t = b 2 + ( gt ) # g# cos"
dvs
#
&
gt
(
" = arccos%
2
!
% b 2 + gt (
( ) '
$
När är mellanliggande vinkel 90 grader?
!
10
• Annat val av koordinater:
Problem: Låt nu rörelsen i planet beskrivas av de polära
koordinaterna r (konstant) och " . För likformig
cirkelrörelse är " ( t ) = #t , där " är konstant. Bestäm för
denna rörelse läge, hastighet och acceleration och
vinklarna
! mellan dessa.
!
! Vi kan nu !
Lösning:
beskriva läge-hastighet-acceleration
som vektorer med karakteristiska riktningar: Radiell
riktning er och transversell riktning e" :
r = r (cos"t,sin"t,0) = rer
!
v = "r (#sin"t,cos"t,0) = "re$
a = #" 2 r (cos"t,sin"!t,0) = #" 2 rer = #" 2 r
v
r
!
!
a
Läge och hastighet är vinkelräta:
r • v = "r 2 (#cos"tsin"t + sin"tcos"t ) = 0 .
Läge och acceleration är anti-parallella.
Denna rörelse kallas likformig cirkelrörelse.
11
Kinematiska samband:
Om bara accelerationen är känd, behöver man integrera
för att få hela kinematiken, dvs även läge och hastighet. Vi
tittar på några olika fall:
Konstant acceleration.
a
Problem: Hur rör sig en partikel som har accelerationen a ?
Lösning: Vi väljer lämpliga x, y, z axlar så att a = (0,"a,0) .
Definitionen av accelerationen a :
a = dv
!
dt
!
säger att hastigheten v är primitiv funktion
till a . Dvs
!
v = at + konst .
Konstantens värde måste vara hastighetens värde då t = 0 .
Vi skriver v = at + v0 .
!
!
Detta är en vektorekvation. Hur ser den ut i komponentform?
Slutsats: Om vi vet a måste vi också veta !
v0 för att
fullständigt veta hastigheten vid en godtycklig tidpunkt!!
!
!
!
!
!
Om v är känd kan vi använda definitionen
!
!
dr
v=
dt
för att bestämma läget r . Hastigheten är en primitiv funktion
1
av hastigheten: r = at 2 + v0 t + konstant .
2
!
!
12
!
Konstantens värde är läget vid tidpunkten t = 0 . Vi skriver:
1
r = at 2 + v0 t + r0 .
2
Tidsberoende acceleration.
!
Problem: En partikel rör sig med accelerationsvektorn a(t )
och vet hastighet och läge vid tiden t=0, v 0 respektive r0 .
Bestäm den fullständiga rörelsen r (t ) .
Lösning: Rörelsen i alla rummets riktningar kan bestämmas
!
samtidigt med vektorbeteckningar. Definition av acceleration
!
!
utgående från hastigheten ger:
!
t
{a = v˙ } " v(t ) = # a(t')dt' + v 0 .
0
!
Då är hastigheten känd, i princip, vid alla tidpunkter. v (t ) kan
alltså betraktas som en känd funktion. Vidare ger definitionen
av hastighet utgående från läget:
t
t $ t'
'
! )dt'+v 0t + r0 .
{v = r˙} " r(t ) = # v (t')dt' + r0 = # && # a(t'')dt''
)
%
(
0
0 0
För en fullständigt känd rörelse behövs antingen:
• att r (t ) är känd,
eller
• att v (t ) och r0 är kända,
eller
!
• att a(t ) , v 0 och r0 är kända.
!
!
!
!
!
!
13
KOMIHÅG 1:
--------------------------------• Rörelsemängd: p = mv ,
• Kinematiska storheter: r ( t ) , v( t ) , a ( t )
• Kinematiska samband med begynnelsevillkor.
!
Föreläsning 2:
!
!
!
• ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM
-Cylindriska koordinatsystem.
!
!
!
De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan, och z beskriver rörelsen i normalriktningen till planet.
– radiell riktning ut från en z -axel till planet representeras av
enhetsvektorn er :
e = (cos",sin",0)
!
!r
– transversell riktning är den riktning partikeln rör sig om bara
!
dess vinkelkoordinat
! " i planet ändras. Lämplig enhetsvektor
fås genom att studera förändringsvektorn der / d" .
!
der!
e" =
= (#sin",cos",0)
d"!
som är en enhetsvektor.
!
Kinematiken i ett fullständigt cylindriskt
system:
-Läget: r = rer + zez .
v = r˙ = r˙ er + r e˙ r + z˙ ez = r˙ er + r"˙ der + z˙ ez
-Hastighet:
d"
˙
v = r˙ er + r" e" + z˙ ez .
!
-Acceleration:
a!
= v˙ = ˙r˙er + r˙"˙e" + r˙"˙e" +!r"˙˙e" + r"˙e˙" + ˙z˙ez . Men den näst
sista termen kan inte stå som den är. Varför?
de
En extra räkning ger: e˙" = "˙ " = #"˙er ,
d"
så att slutligen: a = ˙r˙ " r#˙ 2 er + r#˙˙ + 2 r˙#˙ e# + ˙z˙ez .
(
!
!
) (
)
14
!
Problem: Beskriv hastighet, fart och acceleration i en likformig
cirkelrörelse med radie R.
Lösning: Cirkelbanan ligger i ett plan z = 0 . Avståndet till
centrum och farten är konstanta, dvs
v = r˙ er + r"˙e" = R"˙e" .
˙
Farten kan beskrivas med v =!R" . Enhetsvektorn e" pekar i
tangentens riktning.
Accelerationen för all plan rörelse kan också skrivas med z = 0 :
a = ˙r˙ " r#˙ 2 er + r#˙˙ + 2 r˙#˙ e#
!
!
Eftersom banan är cirkulär med en konstant fart försvinner en del
termer. Alltså
!
2
v
˙
a = " er , där v = R" .
R
Hela accelerationen är riktad in mot banans centrum. Vi beräknar
storleken av accelerationen:
v 2!
a= .
R
(
!
!
!
) (
)
15
Exempel: Allmän cirkelrörelse. I detta fall är inte farten
längre konstant. Uttrycket för hastighetsvektorn blir:
v = r"˙e" eftersom r˙ är noll. All hastighet är transversell
och i den riktningen är komponenten v = r"˙ .
Accelerationen förenklas till: a = "r#˙ 2 er + r#˙˙ e# .
! kan vi byta ut "˙ mot v med hjälp av
I detta uttryck
! # 2&
˙
likheten v = r" . Då får vi a = % " v (er + v˙e) . Byter vi
$ r'
!
sedan ut riktningarna
! transversell) till de naturliga
! (radiell,
(tangentiell, normal) riktningarna med er "#en och
!e #e , så får vi:
"
t
!2
v
a = en + v˙et .
r
!
(
!
!
) ( )
Detta uttryck för accelerationen är mycket användbart.
!
16
-Naturliga komponenter –
tangent- och normalriktning
Betrakta rörelse längs ett givet spår, typ järnväg.
•En koordinat (sträckan s)
• Två naturliga riktningar i planet:
tangentriktning och normalriktning.
- Hastigheten v är intimt förknippad med den momentana
tangentriktningen och sträckan längs spåret.
Hastighetens riktningsvektor:
!
v
et = , där v = v = s˙ .
v
Streckan längs spåret kan definieras ur fartens
tidsberoende:
Som en!följd av dessa två saker kan hastigheten beskrivas
! fullständigt i det naturliga systemet:
v = s˙ et = vet
!
17
– Accelerationen i det naturliga systemet: Under ett kort
tidsintervall kan vi betrakta rörelsen från centrum av en
tangerande cirkel till banan. Inför en tangerande cirkel
med radie " , så att z = 0 definierar cirkelns plan.
Hastigheten är då tangent till cirkelbågen.
Vi har i detta
system v = "#˙e# , så att v = "#˙ .
!
!
I samma system beskrivs accelerationen som
˙˙ # "$˙ 2 er + "$˙˙ + 2 "˙ $˙ e$ , med "˙ = "
˙˙ = 0 , dvs
a= "
!
!
a = "#$˙ 2 e + #$˙˙e .
(
) (
r
)
$
Byter vi ut cylinderriktningarna
med de naturliga
!
riktningarna
!
dvs e" = et och er = "en , samt använder v = "#˙ , och
v˙ = "#˙˙, får vi
Uttrycket för accelerationen för godtycklig rörelse blir:
v2
!
!
!
˙
a = vet + en .
"
!
Ex Pendelrörelse:
!
!