Del A: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper.
1)
Beräkna vinkeln x. Motivera.
2/0/0
2)
Bestäm vinklarna x och y.
2/0/0
3)
Punkten D är cirkelns medelpunkt. Bestäm vinklarna i triangeln ACD. Kom ihåg
att tydligt motivera ditt resonemang!
3/0/0
4)
På en reklambyrå ska en cirkulär logotyp tillverkas för en kunds räkning enligt
skissen nedan. För att kunna tillverka logotypen måste vinklarna bestämmas. Beräkna x och y. 2/1/0
5)
Punkterna P, Q och R ligger på en cirkel. O är cirkelns medelpunkt. PQ är cirkelns
diameter.
a) Bestäm vinkeln x.
b) Bestäm vinkeln y.
1/1/0
6)
I cirkeln nedan är AC en diameter.
a) Hur stor är vinkeln x? Endast svar krävs.
b) Hur stor är vinkeln y? Endast svar krävs.
1/1/0
7)
En fyrhörning ABCD har alla sina hörn på en cirkels rand. Visa att summan av vinkel
b och vinkel d är 180 grader.
0/0/2
8)
Thales från Miletos var en grekisk matematiker som levde för 2600 år sedan. Han
formulerade en sats med följande innebörd:
Varje triangel som är inskriven i en cirkel har en rät vinkel om en av triangelns sidor
är diameter i cirkeln.
Triangeln ABC är inskriven i en cirkel på ett sådant sätt. Sidan AC är en diameter i
cirkeln. Punkten M är mittpunkt på sträckan AC. I figuren är även
sträckan BM inritad.
a) Förklara varför de två vinklarna betecknade med x är lika stora.
b) Visa, utan att använda randvinkelsatsen, att Thales sats är korrekt.
1/3/2
9)
a) Hur stora är vinklarna x och y i figuren?
b) Bevisa att u
= 2v
utan att använda randvinkelsatsen.
2/0/3
Bedömningsanvisningar
1)
x = 35°
Bestämmer vinkeln korrekt.
+ EPL
Eleven motiverar sina beräkningar med hänvisning till randvinkelsatsen
och den likbenta triangeln.
+ EK
2)
x=96°
y=42°
Bestämmer x korrekt med hjälp av medelpunktsvinkeln.
+ EB
Löser y korrekt genom att inse att det är en liksidig triangel
+ EP
∧
något av antagandena är korrekt motiverat (t.ex. med RVS)
samtliga antaganden är korrekt motiverade (RVS, likbent triangel ­ radier
i samma cirkel, VS i triangel )
+ ER
Redovisad lösning och korrekt bestämda vinklar.
3)
ADC=140° , ∧ACD=20° och ∧CAD=20°
+ ER
+ EPL
4)
x = 45°, y = 22,5° Godtagbar bestämning av x.
+ EB
Godtagbar bestämning av y + EPL
med utförliga motiveringar.
+ CR
a)
x = 25°
Korrekt svar.
b)
y = 65°
Korrekt svar.
5)
+ EB
+ CR
6)
a)
68°
Korrekt svar.
b)
22°
Korrekt svar.
Godtagbart genomfört bevis, även med vissa brister i kommunikationen. + AR
Korrekt språk och struktur genom hela beviset
+ EB
+ CPL
7)
+ AK
8)
a) Godtagbart enkelt resonemang, t ex "Triangeln ABM är likbent"
Godtagbart välgrundat resonemang. T ex "Triangeln ABM är likbent för
att AM och BM är radier i cirkeln."
b) Eleven visar Thales sats för ett specialfall eller eleven påbörjar en
generell metod.
+ ER
+ CR
+ CR
Eleven visar Thales sats (generellt) där någon motivering kan vara
bristfällig.
+ CR
Eleven visar att Thales sats (generellt) med korrekta motiveringar.
+ AR
Lösningen kommuniceras på en nivå som motsvarar kunskapskraven för
A.
+ AK
9)
a) Svar: x
= 32° y = 64°
Ett korrekt svar
+ EB
Båda korrekta + EPL
b) Bevis: ∆AC M är en likbent triangel då sträcka C M = AM (båda är
radier i cirkeln)
∧x = ∧C (basvinklar i den likbenta triangeln)
Detta innebär att ∧u + ∧y = 180° − 2 ∧ x (triangelns
vinkelsumma)
∆ABM är likbent då sträcka AM = BM (båda är radier i cirkeln)
∧B = ∧x + ∧v (basvinklar i den likbenta triangeln)
Detta innebär att y = 180° − 2(∧x + ∧v)
Sätter in i ekvationen ovan: ∧u + 180° − 2(∧x + ∧v) = 180° − 2 ∧ x
∧u + 180° − 2 ∧ x − 2 ∧ v = 180° − 2 ∧ x
∧ u = 180° − 2 ∧ x − 180° + 2 ∧ x + 2 ∧ v
∧ u = 2 ∧ v
v. s. b
Godtagbar ansats och ritar in sträckan AM i figuren och tecknar ett
algebraiskt uttryck för någon av de två likbenta trianglarna
+ APL
Korrekt genomfört bevis som visar att u
+ AR
Tydlig lösning, med ritad figur. Använder symboler som ∆ABC och
inför betecknar för de olika vinklarna som till exempel ∧AM C , ∧ x, v, samt motiverar de olika stegen med hjälp av olika
geometriska satser och samband = 2v
+ AK
