UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Linjär algebra II
Tredje tentamensförberedande uppgiften
Dessa uppgifter utgör extra övningsmaterial inför tentan. De är frivilliga, löses hemma,
och lämnas inte in för rättning. Istället går vi igenom lösningarna på föreläsningen den
11 december.
1. Avbildningen
(a) Visa att
(b) Ange
F : P2 → P3 , p 7→ F (p)
F
F :s
(F (p))(x) = xp(x − 3).
ges av
är linjär.
matris med avseende på standardbaserna i
(c) Finn en bas i
F :s
kärna.
(d) Finn en bas i
F :s
bild.
P2
ochP3 .
(e) Hur hänger dina svar på (c) och (d) ihop med dimensionssatsen?
(f) Utred huruvida
2. Ytan
Y
i
E3
F
är injektiv, surjektiv eller bijektiv.
består av alla punkter
(x, y, z)
som uppfyller ekvationen
7x2 + 6y 2 + 6z 2 + 2xy + 2xz + 4yz = 36.
Bestäm ytans typ, ytans största och minsta avstånd från origo, samt de punkter
på ytan där det största och minsta avståndet antas. (Punkternas koordinater ska
anges i standardbasen.)
3. Den linjära operatorn
R
på
E3
ges som rotation med vinkeln
genom origo som har riktningsvektor
tittar på
⊥
A
så att vektorn
(a) Finn en on-bas
(b) Ange
R:s
(c) Bestäm
(d) Ange
a
a = (1, 1, 1).
b = (b1 , b2 , b3 ) i E3
så att b2
R(x)
matris i standardbasen.
för
x = (29, 31, 37).
kring den axel
A
Rotationen sker moturs om vi
pekar mot oss.
matris i denna bas b.
R:s
2π
3
⊥a
och b3
⊥ a.
4. Visa att avbildningarna
2x1 + x2
x1
f
= x1 + x2
x2
3x1 + x2
och
x1
2x
+
x
+
x
1
2
3
g x2 =
x1 + 2x2 + x3
x3
är linjära. Utred huruvida de är injektiva, surjektiva eller bijektiva.
