LINJÄR ALGEBRA OCH GEOMETRI I
LEKTION 2
JOHAN ASPLUND
Innehåll
1. Inversen av en matris
2. Uppgifter
91
110
2.1. Uppgift 1 från lektionsplanen
Uppgift 2 från lektionsplanen
1
1
1
2
2
2
1. Inversen av en matris
Likt reella tal så kan man också multiplicera ihop matriser och bilda produkten AB, om A och B
är matriser. Generellt sett gäller det att AB ̸= BA. Förutom att multiplicera ihop matriser så kan man
invertera dem, förutsatt att matrisen är kvadratisk. Frågan är om det finns en matris X så att AX = XA =
I, där
1
..
I=
.
,
1
är enhetsmatrisen. Ibland finns denna invers, och då kallas A för inverterbar. Vi betecknar inversen med
XA−1 . I specialfallet då A är en (2 × 2)-matris kan vi hitta matrisen med följande sats.
(
Sats 1.1 (Inversen av en (2 × 2)-matris). Matrisen A =
och i sådana fall ges inversen av matrisen
)
a b
är inverterbar om och endast om ad − bc ̸= 0,
c d
(
−1
A
)
1
d −b
=
ad − bc −c a
.
I fall med matriser som är större än 2 × 2 så använder vi oss av följande metod. Först bildar vi totalmatrisen
[A | I] ,
där I är identitetsmatrisen av samma storlek som A. Vi utför sedan radoperationer tills vi nått fram till
identitetsmatrisen på vänster sida. Då kommer inversen till A−1 finnas på höger sida.
[I | A−1 ] .
(
91. Invertera matrisen B =
2. Uppgifter
)
6
3
med hjälp av sats 1.1.
−5 −2
Lösning. Använder vi sats 1.1 ser vi att ad − bc = −12 − (−15) = 3. Därför är
(
B
−1
)
1 −2 −3
=
6
3 5
1
.
2
JOHAN ASPLUND
110. Visa att om den kvadratiska matrisen A uppfyller A2 + 5A − 2I = 0, så ges inversen av A−1 =
1
2 (A + 5I).
Lösning. Vi vet att om A−1 är inversen till A så måste vi ha A−1 A = AA−1 = I. Om vi använder
uttrycket för A−1 så får vi
1
1
1
1
A−1 A = (A + 5I)A = (A2 + 5A) = (A2 + 5A − 2I + 2I) = (0 + 2I) = I .
2
2
2
2
På samma sätt får vi
1
1
1
AA−1 = A · (A + 5I) = A(A + 5I) = (A2 + 5A) = · · · = I .
2
2
2
2.1. Uppgift 1 från lektionsplanen. För vilka värden på den reella konstanten a är matrisen
a 0 1
A = 0 a 0 ,
1 0 a
inverterbar? Bestäm A−1 för dessa värden på a.
a 0 1 1 0 0
Lösning. Vi ställer upp totalmatrisen 0 a 0 0 1 0 . Sedan gör vi radoperationer för att få
1 0 a 0 0 1
identitetsmatrisen på vänster sida.
−a
1 0
a
0 0 1
←
−+
a 0 1 1 0 0 ←
1 0 a 0 0 1
−
0 a 0 0 1 0
∼ 0 a
∼ 0 a 0 0 1 0
0
0 1 0
2
− a2
−+
0 0 1 − a 1 0 −a
1 0 a 0 0 1 ←
a 0 1 1 0 0 ←
−
1−a
1 0
0
∼ 0 a
0
0 0 1 − a2
0 0 1
0
1
1−a2
Vi kan sedan läsa av inversen som
A−1
0 1+
0
1
a
1 0 0 − 1−a
2
∼ 0 1 0
1
0
0
1
1−a2
1
a
0
a2
1−a2
0
−a
| ·
|·
a
0 − 1−a
2
1
a
1
1−a2
−a2
0
a
1
2
0
1
−
a
0 .
=
a(1 − a2 )
2
a
0
−a
Uppgift 2 från lektionsplanen. Låt
a
− 1−a
2
1 0 0
A = 0 1 1 ,
0 0 0
0 1 0
B = 0 0 0 ,
−1 0 1
1 1 −2
C = 2 −1 1 .
1 0 −1
Finn alla matriser X som uppfyller AX + C = BX
Lösning. Det vi måste tänka lite extra på är att det generellt sett gäller att XY ̸= Y X där X och Y är
matriser. Så det spelar roll om man multiplicerar från höger eller från vänster med en matris. I övrigt är
tänket samma. Vi vill lösa ut X ur ekvationen och ha det ensamt i ena ledet. Vi skriver
AX + C = BX ⇔ AX − BX = −C .
Vi bryter sedan ut X åt höger.
AX − BX = (A − B)X = −C .
Sedan multiplicerar vi från vänster med inversen till A − B. Då får vi
X = −(A − B)−1 C .
LINJÄR ALGEBRA OCH GEOMETRI I
Vi vill sedan invertera matrisen
LEKTION 2
3
0 1 0
1 −1 0
1 0 0
1.
A − B = 0 1 1 − 0 0 0 = 0 1
0 0 0
−1 0 1
1 0 −1
Vi skriver in denna matris tillsammans med identitetsmatrisen i en totalmatris och Gausseliminerar.
−1
1 −1 0 1 0 0
1 −1 0
1 0 0
0 1
−1
1 0 1 0
∼
1
0 1 0
0 1
1 0 −1 0 0 1 ←
−+
0 1 −1 −1 0 1 ←
−+
1 −1 0
1
0 0
∼ 0 1
1
0
1 0
0 0 −2 −1 −1 1 | −
1 −1 0 1
1 1 0
0
1
1
2
1
2
∼
0
0
0
1
1 −1 0
− 12
1
0
1
0 − 12
1
2
0
0
1 − 21
− 12
1 0 0
∼ 0 1
1
2
0 − 21
0 0 1
(A − B)−1
0
0
−+
←
∼
0
Därför är
− 21
1
2
1
2
− 12
0
1
2
1
2
1
2
1
2
←
−+
.
1
1 1
1 1 −2
1
X = −(A − B)−1 C = − −1 1 1 2 −1 1
2 −1 −1 1
1 0 −1
4 0 −2
−2 0 1
1
= − 2 −2 2 = −1 1 −1
2 2 0
0
−1 0 0
E-mail address: [email protected]
←
−+
1
2
1
1 1
1
= −1 1 1 .
2 −1 −1 1
Vi multiplicerar sedan ihop (A − B)−1 med −C. Vi får då
−1
1
2
