Exempel: Linjärkombination
Givet vektorerna
"
−1
1
v1 =
#
"
och
v2 =
#
2
1
så illustreras linjärkombinationerna
y = x1 v 1 + x 2 v 2
för skiftande värden på x1 och x2 av
3v + v
—
2
2 1
3v1
w
3v2
2v2
2v1
u
v1
v2
0
v1 — v2
—v2
— 2v1 + v2
—v1
— 2v2
— 2v1
Bestäm värden på x1 och x2 så att
"
|
−7/2
2
#
{z
=w
}
"
= x1
−1
1
#
| {z }
=v 1
"
+ x2
2
1
#
| {z }
=v 2
Vektorekvationer
Vektorekvationen
x 1 a 1 + x2 a 2 + · · · + x n a n = b
som talar om vilka linjärkombinationer av
a1, a2, . . . , an som ger vektorn b, har samma lösningar som ekvationssystemet vars
utökade matris är
a1 a2 . . . an b .
Speciellt gäller att b endast kan bildas av
linjärkombinationen om ekvationssystemet är
lösbart.
Linjära höljet
Definition
Om v 1, v 2, . . . , v p alla tillhör Rn, så
benämns
mängden
av
alla
linjärkombinationer av v 1, v 2, . . . , v p för det
linjära höljet av vektorerna v 1, v 2, . . . , v p
med beteckning
Span{v 1, v 2, . . . , v p}.
Dvs det linjära höljet är alla vektorer som kan
skrivas på formen
c1 v 1 + c2 v 2 + · · · + c p v p .
Observera att 0 alltid ingår i det linjära
höljet.
Exempel
Linjära höljet av två vektorer i R3,
dvs Span(u, v):
x3
5u
3u
u
v
2v
3v
x1
x2
Matris-vektor-multiplikation
Om A är en m × n-matris (dvs m rader och
n kolonner), med kolonner a1, a2, . . . , an, dvs
A=
h
a1 a2 . . . an
i
och x ∈ Rn är vektorn
x=
x1
x2
...
xn
så definierar vi produkten Ax enligt:
x
1
x
Ax = a1 a2 . . . an ..2
.
xn
= x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n
dvs som en linjärkombination av kolonnerna
i A med elementen i x som vikter.
Matrisekvationen Ax = b
Sats 3:
Matrisekvationen
Ax = b
har samma lösningar som vektorekvationen
x 1 a 1 + x2 a 2 + · · · + x n a n = b
och därmed också samma lösningar som
det linjära ekvationssystem som har
utökad matris
a1 a2 . . . an b
Sats 4: Existens av lösning
Låt A vara en m × n-matris. Då är de
följande påståendena ekvivalenta, dvs om
ett är sant så är alla sanna
1. Ekvationen Ax = b har lösning för alla
högerled b ∈ Rm
2. Det linjära höljet av kolonnerna i A är
lika med mängen av alla vektorer av
den dimensionen,
dvs om A = [ a1 a2 . . . an ] så är
Span{a1, a2, . . . , an} = Rm
3. A har en pivåposition på varje rad.
Sats 5: Räkneregler för Ax
Om A är en m × n-matris, u, v ∈ Rn och
c ∈ R, då gäller
1. A(u + v) = Au + Av
2. A(c u) = c(Au)
Homogena ekvationssystem
Ett linjärt ekvationssystem är homogent om
högerledet endast består av nollor, dvs
A x = 0.
Exempel:
2 −4 −3
x1
0
4 −6 −5 x2 = 0
−2
0
1
x3
0
vilket är samma som
2x1 − 4x2 − 3x3 = 0
4x1 − 6x2 − 5x3 = 0
−2x
+ x3 = 0
1
Homogena ekvationssystem har alltid den
triviala lösningen x = 0.
Icke-triviala lösningar existerar om och
endast om det finns fria variabler.
Inhomogena ekvationssystem
Sats 6: Lösningsmängd
Om A x = b är ett lösbart ekvationssystem, och xp är en lösning,
så ges alla lösningar av x = xp + xh, där
xh är alla lösningar till det homogena ekvationssystemet A x = 0.
