Exempel på diagonalisering av kvadratisk form
Mikael Forsberg
March 3, 2004
Uppgift: Betrakta den kvadratiska ekvationen
x2 + 4xy + y 2 = 1.
Denna definierar en kurva i planet. Vilken?
Lösning
Vi skriver om vänster led på matrisform:
xT Ax = 1,
(1)
där xT = (x, y) och
A=
1 2
2 1
Idén är nu att diagonalisera A. Mha av den diagonaliserande matrisen P så
kan vi göra ett variabelbyte x = P w och i variablerna wT = (u, v) så kommer
ekvationen att bli lättare att identifiera.
Vi använder diagonaliseringsalgoritmen för att diagonslisera A:
1.
Vi beräknar egenvärdena: c(λ) = det(A − λI) = (1 − λ)2 − 4 = 0 som ger
λ = 1 ± 2, dvs λ = 3 eller λ = −1.
2.
För varje egenvärde så löser vi (A−λI)x = 0. Vi får de uvidgade matriserna
−2 2 0
2 2 0
och
och
2 20
2 −2 0
för λ = 3 respektive λ = −1. Lösningarna till det första blir
x
−1
=
t.
y
1
Lösningarna till det andra systemet blir
x
1
=
t.
y
1
1
Vi väljer egenvektorer som har längden 1. Och får därför att egenvektorn
till λ = 3 blir
1 −1
eλ=3 = √
t,
2 1
och egenvektorn till λ = −1 blir
eλ=−1
3.
1
=√
2
Den diagonaliserande matrisen blir
1
P =√
2
4.
1
t,
1
1
1
−1
1
Den diagonala matrisen blir
1
P −1 AP = D = √
2
3 0
0 −1
Notera att P är en så kallad ortogonal matris och har den fina egenskapen
att P T = P −1 .
Nu utför vi variabelbytet x = P w i ekvation (1) och får då att vår ekvation
blir 3u2 − v 2 = 1, och eftersom namnen på variablerna inte spelar någon roll så
kan vi skriva detta som
3x2 − y 2 = 1,
vilket är en hyperbel. Vi visar i följande figur denna diagonaliserade hyperbel
tillsammans med den hyperbel vi startade med.
y
-10
-5
10
10
5
5
0
y
0
5
10
-6
-4
0
-2
0
x
2
4
6
x
-5
-5
-10
-10
Figure 1: Till vänster: Orginalhyperbel. Till Höger: den diagonalizerade hyperbeln.
2
