2014-11-2
INSTITUTIONEN FÖR DIDAKTIK OCH PEDAGOGISK PROFESSION
1. (10p) Beskriv bilden nedan så en kurskamrat kan rita en likadan figur utan att se den.
OBS! Du behöver inte beskriva hur man konstruerar bilden, bara hur man kan rita den.
Bilden var i svartvit på papper.
Tydligast blir det om man börjar med en helhetsbild:
En kvadrat med kvadrater på snedden inuti, som ser ut att vara en grop (eller en sympad
pyramid) i 3D, det hela täckt av ett rutnät.
Rita en kvadrat,A med sida ca.11 cm lång. Inuti den en ny kvadrat B, vars hörn ligger på
mittpunkterna till As sidor. Sedan börjar du rita Bs diagonaler (vågrät och lodrät), 3cm från
varje hörn. Diagonalernas ändpunkter mot mitten utgör hörn till kvadrat C, vars sidor är alltså
parallella med Bs sidor. Du borde redan nu se en 3D-effekt.
Nu till rutnätet: börja med att dela upp sidorna i den lilla kvadraten C i 9 intervall (ca 5mm
långa) och rita 9x9 rutor. Sedan förlänger du linjerna ”upp” i de fyra parallelltrapetser som
ligger mellan C och B, alltså längst med gropen eller pyramidens sidor. Lägg till 7 linjer som
löper parallellt med B och Cs sidor i parallelltrapetserna, så du får där ett rutnät där rutorna är
små parallelltrapetser (ganska låga närmast C, nästan kvadrater när du kommer upp nära B).
Till sist förlänger du rutnätet även utanför B, till de fyra rätvinkliga trianglar som skulle
kunna vikas in till ett lock för gropen. Rutorna där är kvadrater (ligger snett, på samma sätt
som B och C), och halvkvadrater (rätvinkliga trianglar) på sidorna. Du får plats med 7
kvadrater och 2 trianglar längst med Bs sidor, och 4 kvadrater i ”höjd”, dvs mellan Bs sida
och As hörn.
2. (10p) Denna uppgift handlar om konstruktion med passare och (ograderad) linjal. Använd vitt
papper och beskriv hur du utför varje steg i konstruktionen.
a. Konstruera en regelbunden oktogon.
Man kan börja på olika sätt. Här är ett:
Börja med två punkter A och B och dra en sträcka mellan dem.
För att dra mittpunktsnormalen till sträckan, rita två cirklar med samma radie (lite större än
hälften av avståndet mellan A och B), en med mittpunkt i A och en med mittpunkt i B.
Cirklarna skär varandra i två punkter. Dra linjen mellan skärningspunkterna. Detta är
mittpunktsnormalen. Den skär sträckan AB i mittpunkten, som vi kallar för M.
Rita en cirkel med mittpunkt M och radie MA. Förläng mittpunktsnormalen om det behövs
för att den skall skära cirkeln i två punkter, som vi kallar för C och D. Nu har vi fyra punkter
på cirkeln, A, C, B och D, som formar en kvadrat.
Vi vill få 4 punkter till, halvvägs mellan de punkter vi har, så vi söker bisektriser till de räta
vinklarna som formats i mittpunkten M. Vi kan få bisektriser genom att konstruera
mittpunktsnormaler för kvadratens sidor (många gjorde en ny cirkel och använde dennas
skärningspunkter med AB och CD, det går också bra). Rita 4 cirklar med samma radie, med
mittpunkt i A, B, C, D. Där cirklarna runt A och C skär varandra får vi två punkter. Dra en
linje genom dessa. Det är bisektrisen för vinkeln AMC (och förlängningen för vinkeln BMD).
Gör samma med skärningspunkter mellan cirklarna runt A och D, som ger de andra
bisektriserna.
Där bisektriserna skär cirkeln får vi 4 nya punkter. Dra kordor mellan de punkter som ligger
granne med varandra för att få hela oktogonen.
b. Ange alla symmetrier som din figur har.
Figuren har 8 spegelsymmetrier, där symmetrilinjerna är de 4 sträckor vi ritade i konstruktionen och 4
sträckor genom mittpunkter till motsatta sidor i oktogonen.
Den har även 8 rotationssymmetrier, med mittpunkt M och vinkel 1/8-varv och dess multipler.
c. Hur kan du modifiera din figur så att den har rotationssymmetri men ingen spegelsymmetri?
Man vill behålla rotationssymmetri med 1/8-varv men ”förstöra spegelsymmetrierna. Ett sätt är att
lägga till 8 ”vingar” som de gröna i teckningen nedan.
3. (10p) Svara om varje påstående nedan gäller ”i alla fall”, ”i vissa fall” eller ”aldrig”. Rätt svar på en
rad med förklarande skiss eller kommentar ger 1p, svar utan förklaring eller fel svar ger 0p på den
raden. Du kan skriva i tabellen eller på separat blad.
Påstående
Gäller Gäller Gäller
i alla i vissa aldrig
fall
fall
Förklarande skiss eller kommentar
En triangel med sidlängder 7km,
7km, 50km är rätvinklig.
X
Triangeln går inte ihop. Den tredje sidan kan inte vara
50km lång. En annan anledning var att den längsta
sidan C (hypotenusan) måste C² = A² + B² enligt
Pythagoras sats
Två koncentriska cirklar har
samma radie.
X
Koncentrisk betyder samma centrum. Om de även har
samma radie är det samma cirkel (så ”i vissa fall”) kunde
också vara rätt, om man förklarar det)
En klot är samma sak som en
sfär
X
En klot är en solid (tänk bowlingklot eller jordklot), en
sfär är bara ytan.
En figur med två
spegelsymmetrier har även
rotationssymmetri.
X
De två symmetrilinjer är vinkelräta mot varandra och
man får en rotation med 1/2-varv på köpet (exempel,
bokstaven H)
En tetraeder är en pyramid.
X
Se definitioner. Tetraedern är ett specialfall av pyramid,
där baspolygonen är en triangel.
En oktaeders mantelyta består av
pentagoner.
X
En oktaeder är en kropp som består av 8 trianglar (OBS,
blanda inte ihop med en oktogon, eller med en dodekaeder
som byggs med 12 pentagoner)
En hexagon har exakt sex
diagonaler
X
En diagonal i en polygon är en sträcka som går mellan
två hörn som inte är grannar. En hexagon har 9 sådana.
Varje höjd i en likbent triangel är
parallell med en mittpunktsnormal
X
Både höjd och mittpunktsnormal är vinkelrät mot en
sida (som man ser som bas), så de är parallella med
varandra, oavsett om triangeln är likbent eller ej.
En kon med en polygon som bas är
en pyramid.
X
Se definitioner. En kon behöver inte vara cirkulär, utan
en pyramid är ett specialfall av kon.
En trubbvinklig triangel är en
triangel med tre trubbiga vinklar
X
En triangel kan inte ha fler än en trubbig vinkel eftersom
vinkelsumman är 180°, vilket inte ger plats åt fler än en
vinkel större än 90°.
