1
KOMIHÅG 2:
• Cylinderkomponenter:
• Hastighet
v = r˙ er + r"˙e" + z˙ ez
• Acceleration:
a = ˙r˙ " r#˙ 2 er + r#˙˙ + 2 r˙#˙ e# + ˙z˙ez
(
) (
)
! • Naturliga komponenter:
v = vet
2
v
!
a = v˙ et + en
"
! -----------------------------------Föreläsning 3:
!
Typiska partikelrörelser och
accelerationsriktningar
Rak, uppbromsande rörelse:
Svängningsrörelse:
2
Likformig cirkelrörelse:
Pendelrörelse:
!
För att förstå accelerationen vid likformig cirkelrörelse och vid
pendelrörelse har man hjälp av den naturliga uppdelningen
2
v
a = v˙ et + en .
"
-När farten ( v ) är konstant eller maximal (alternativt minimal)
försvinner tangentkomponenten, ty då är derivatan v˙ = 0 .
-När farten är noll försvinner normalkomponenten.
!
!
3
Problemlösning:
!
!
Problem 1. Antag att rörelsen är rak och att accelerationen
beror av läget. Ett exempel kan vara a = bx , där b är en
konstant. För att bestämma hastigheten i ett läge x, kommer att
behövas ’begynnelsevillkor’. Red ut detta!
Lösning:
!
För att se detaljerna hur detta kommer sig utgår vi från
definitionen: a = dv . Men tidsderivatan passar inte detta
dt
problem, utan vi måste byta tiden mot läget: dv = dv dx = v dv .
dt dx dt
dx
Då får vi det matematiska problemet: Sök v från relationen
v dv! = bx ! Vänster och högerled kan nu ses som derivator av en
dx
! funktioner):
okänd ekvation, nämligen (primitiva
v 2 = b x 2 + C , där C kan vara vad som helst som är konstant.
2
2
Men det räcker att veta v i något läge, t. ex. då x=0. Låt detta
v 02
värde vara v 0 . Då får vi C = . Sedan återstår endast att lösa v
2
som funktion av x. Man får: v = bx 2 + v 02 .
!
!
!
4
Dynamik–kraft-rörelse (orsak-verkan)
NEWTONS 3 LAGAR för partiklar
1. En 'fri' partikel förblir i vila eller rätlinjig rörelse.
v = konstant vektor
2. ma = F
3. Krafter uppstår i par så att summan är noll.
• Inertialsystem – koordinatsystem som inte roterar
!
! och inte accelererar.
Där är Newtons lagar giltiga!
Det finns många inertialsystem
Byte av inertialsystem innebär (från det högra koordinatsystemet till det vänstra):
• Ingen ändring i uppmätta accelerationer.
a = a'
• Konstant skillnad i uppmätta hastigheter.
˙
v = v' +V , där V = R .
!
!
!
5
• KRAFT-RÖRELSE och massans betydelse.
(a)
(b)
m
m=150 kg
Mg
M=200 kg
Problem: Bestäm den vertikala accelerationen för 150-kilos
cylindern i de båda illustrerade fallen. Bortse ifrån friktionen
och trissornas massor.
Lösning: Fall a) Friläggning av båda cylindrarna tillsammans
med Newtons 2:a lag. Kom ihåg att båda cylindrarnas rörelser
hänger ihop med en otänjbar tråd.
(a)
T
T
x
mg
Mg
" m˙x˙ = T # mg " M˙x˙ = Mg # T
Summera ekvationerna:
( M + m) x˙˙ = ( M " m) g
Lös ut accelerationen: ˙x˙ = M " m g .
M+m
!
!
!
!
6
Fall b) Friläggning av den enda cylindern resulterar i en enda
ekvation.
Mg
(b)
x
mg
" mx˙˙ = Mg # mg
Lös ut accelerationen
x˙˙ = M " m g
m
! Diskutera massans tröghet: En del av massans tyngdkraft går åt
till massans egen acceleration.
!
7
Newtons 2:a lag för krokig rörelse
Problem 1.
En pendelmassa m hänger vertikalt ner från innertaket på en bil
som kör med konstant fart v över ett backkrön. Spännkraften T i
tråden mäts och är känd på toppen av backkrönet. Bestäm
backkrönets krökningsradie " .
Lösning: Uppe på krönet gäller Newtons 2:a lag. Kraftbilden
avslöjar att alla krafter är vertikala. I banans normalriktning
2
v
gäller: m = mg !
# T . (1)
"
Observera att accelerationen är helt i normalriktningen.
2
2
v
v
=
˙
e.
a = vet + en
"
" n
!
2
mv
Löser ut krökningsradien ur (1): " =
.
mg # T
! Vad händer om
! T=0?
!
8
Problem 1: En liten kula med massa m är från början upphängd
i två vajrar. Om en vajer plötsligt kapas bestäm förhållandet
(kvoten) k mellan spänningen omedelbart efter respektive före
kapningen i den återstående vajern.
!
Lösning: Före kapning har vi jämvikt.
T0
T0
!
!
!
mg
mg .
2sin "
Efter kapning har vi inte jämvikt. Omedelbart efter ser det ut så
här:
" 2T0 sin # $ mg = 0 , dvs
T1
!
T0 =
!
!
R
mg sin !
!
mg
Kulan ska just påbörja en typ av cirkelrörelse. Sätt upp Newtons
2:a lag i radiell riktning (polära koordinater):
˙˙ " R#˙ 2 = "T + mgsin $
mR
(
!
)
1
9
Men det finns ingen begynnelserörelse och ingen
avståndsacceleration (vajern kan inte förlängas), varför
vänsterledet i ekvationen blir noll. Alltså
T1 = mgsin "
Förhållandet blir:
T1
"$ 1 %' 2 1
2 . Numeriskt:
k=
= 2sin "
k = 2# & =
2
2
T0
!
!
!
!
Problem: Betrakta en liten lastbil med massa m =10 ton, som
färdas med konstant fart v = 30 m/s över ett backkrön.
Krökningsradien vid backkrönet är 100 meter. Beräkna
normalkraften på lastbilen från vägen vid backkrönet.
!
Lösning: Identifiera krafterna på lastbilen. Tyngdkraft och
!
normalkraft och möjligen friktion. Rita en bild där lastbilen
förenklas till en punkt.
Accelerationen beskrivs i det naturliga koordinatsystemet av
2
2
v
v
a = v˙ et + en , men v = konstant " a = en
"
#
$
v2 '
v2
Ur Newtons 2:a lag: en : m = mg # N , dvs N = m& g " )
#(
"
%
!
!
!
!
10
KOMIHÅG 3:
--------------------------------• Accelerationens riktningar för typiska rörelser
• Använd komponenter i Newton 2:
2
v
˙
a = vet + en , F = Ft et + Fn en .
"
---------------------------------Föreläsning 4:
!
Fler tillämpningar av Newtons lagar
T1
R
!
mg sin !
!
mg
Problem 2: En liten kula med massa m är fäst i en sträckt tråd med
längd L. Kulan släpps från ett läge som beskrivs av vinkeln " = # , och
en pendelrörelse påbörjas. Bestäm vinkelaccelerationen i början av
denna rörelse.
Lösning:
Kraftbilden är som i Problem 1. Sätt upp Newtons !
2:a lag i transversell
rörelseriktning (motsvarande vinkelökningen). Den riktningen är
ortogonal mot tråden och trådkraften:
mL"˙˙ = mgcos " . I början är " = # . Vinkelaccelerationen blir
g
"˙˙ = cos # . (Svar)
L
!
11
Problem: En kula med massan m kan glida utan friktion längs en
cirkelbåge med radien R. Cirkelbågen roterar med konstant
vinkelhastighet " kring en fix vertikal axel. Bestäm den vinkel " för
vilken kulan är i vila relativt cirkelbågen.
Lösning:
!
Kraftanalys: Tyngdkraft och normalkraft från bågen, !
Kinematik: Horisontell cirkelbana, konstant vinkelhastighet. Newtons
2:a lag: Ingen rörelse i vertikal riktning: "
0 = N cos # $ mg .
m("Rsin#$ 2 ) = "Nsin# .
Horisontell cirkelrörelse: er :
mg
Eliminera normalkraften: mR " 2 =
, för sin" # 0
! cos #
g
!" =
Lös vinkeln: cos
.
R #2
!
eller
sin
!" = 0.
!
!
!
12
•Coulomb (torr) friktionskraft uppstår vid kontakt mellan två
fasta kroppar:
N
P
Fµ
mg
Friktionskraften Fµ motverkar rörelse till en viss gräns:
-Friktionstalet är en materialkonstant.
!
Problem: En bil med massan m befinner sig med farten v på ett
backkrön med krökningsradien R då föraren tvingas bromsa så att
hjulen låses och bilen glider mot vägbanan. Bestäm den momentana
fartändringen per tid om friktionstalet är µ .
Lösning: Kraftanalys: Full friktion i tangentriktningen, Normalkraft
och tyngdkraft i huvudnormalriktningen.
! i vertikalplanet.
Kinematik: momentan cirkelrörelse
2
v
m = mg " N
et :
mv˙ = "µN , en :
R
#
v2 &
Eliminera normalkraften på bilen:
mv˙ = "µ% mg " m ( ,
R'
$
#
!
v2 &
dvs
v˙ = "µ% g " ( .
R'
$
Vad kan hända här??
!
!
13
• ENERGI-RÖRELSE
Energi är ett mycket teoretiskt begrepp som inte kan observeras,
medan rörelse kan observeras med ögonen.
-Energibegrepp:
2
-Kinetisk energi.
T=1mv
2
-Kraftens effekt (momentant). P = F • v
Problem: En jord susar fram med 300 m/s i en approximativt
cirkelformad bana kring ett gravitationscentrum (solen). Hur stor
!
effekt har solens gravitation
! på jordens rörelse?
Lösning:
Kraften är approximativt radiell och rörelsen är transversell, dvs
ortogonala riktningar. Alltså (approximativt) ingen effekt.
t1
-Kraftens arbete. U 0"1 =
# Pdt .
t0
• Härledning av energisamband för rörelse och kraft:
- Lagen om Effekten
!
Def: T = 1 m v 2 = 1 m( v • v)
2
2
Tidsderivera: T˙ = 1 m( v˙ • v + v • v˙ ) = ma • v = F • v = P ,
2
ty def: v˙ = a och Newtons 2:a lag: F = ma , samt def av effekten P .
!
Alltså: T˙ = P (Effektlagen)
!
!
!
- Lagen om Arbetet
!
14
t1
Def arbete: U 0!1 =
" Pdt
t0
t1
Använd Effektlagen: U 0!1 = " T˙ dt = T1 ! T0
t0
dvs ändring av kinetisk energi är lika stor som krafternas arbete
T1 " T0 = U 0"1 (Arbetslagen)
!
Problem: En bil med massan m körs med konstant horisontell
hastighet. Farten är v och luftmotståndet beskrivs av den viskösa
friktionskraften L = cv , där c är en känd, konstant storhet.
- Bestäm drivkraften F som bilmotorn presterar.
Svar: F=cv.
- Bestäm drivkraftens effekt P.
!
Svar: P = cv2 .
- Hur mycket större blir farten om effekten fördubblas?
Svar: Ny fart v’. Ny drivkraft och nytt luftmotstånd.
2
2
cv'
=
2cv
" v'= 2v . Farten ökar med "v = 2 #1 v .
!
(
! !
!
)
15
Arbete och lagrad (potentiell) energi
t1
Definition av arbete: U 0"1 =
t1
# Pdt = # F • vdt ,
t0
t0
enl definition av effekten. Med definitionen av hastighet v = dr , fås
dt
r1
ett alternativt
! uttryck: U 0"1 =
# F • dr .
r0
(kraftens arbete längs en väg i rummet).
!
Om arbetet är oberoende av vägen har vi en s k konservativ kraft. Den
kraften ger oss!möjlighet att definiera energinivåer i rummet, s k
lägesenergier! Lägesenergierna beskrivs av kraftens potentiella
energi!
Definition:
--Den konservativa kraftens potentiella energi:
r
V (r ) = " # F • dr , där rref är en fix referenspunkt som kan väljas efter
rref
behag! De viktigaste konservativa krafterna är tyngdkraft, gravitation
och fjäderkraft.
!
En konservativ krafts arbete kan beräknas med hjälp av potentiella
energier enligt: U 0"1 = V (r0 ) # V (r1 ) .
Tyngdkraftens potentiella energi:
!
r
V (r ) = " # ( "mgez ) • dr = mgz + konst .
!
rref
Fjäderkraftens potentiella energi:
r
!
2
V (r ) = " # ( "k ( r " l)er ) • dr = k ( r " l) + konst
2
rref
!
16
Konstanterna blir olika för olika val av referenspunkt.
• Energiprincipen (gäller inte alltid)
- Mekanisk energi (definition):
E =T +V
Om det inte finns någon friktion bevaras den mekaniska energin:
! (EP)
T1 + V1 = T0 + V0
Bevis: För en konservativ kraft gäller arbetslagen: T1 " T0 = U 0"1 .
Definitionen av arbetet är en integral som kan delas upp i två
!
delarmed
hjälp av en godtyckligt vald punkt rref .
U 0"1 =
!
!
r1
r0
r1
r0
rref
rref
# F • dr = " # F • dr + # F • dr !
! potentiell energi använts. Med
= V0 " V1 , där definitionen av
denna omskrivning av arbetet fås
T1 " T0 = V0 " V1, som i sin tur kan skrivas som energiprincipen
(EP).
!
