Föreläsning I

ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Föreläsning I
Mikael P. Sundqvist
| FÖRELÄSNING I
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Frågor?
Avbryt mig gärna!
| FÖRELÄSNING I
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Kontakta mig utanför undervisningen?
[email protected]
046–222 4091
Rum 543
| FÖRELÄSNING I
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Innehåll
Administration
Matematik
⋆ Kursprogram
⋆ Påståenden
⋆ Kursplan
⋆ Undervisning
⋆ Obligatoriska moment
⋆ Webbforum
⋆ Videoklipp
⋆ Mängder
⋆ Något om bevisföring
| FÖRELÄSNING I
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Vad står det i kursplanen?
| FÖRELÄSNING I
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Kursens syfte
Kursens syfte är att ge en grundläggande introduktion till den endimensionella
analysen. Särskild vikt läggs på den roll denna spelar i tillämpningar inom
teknikämnen av olika slag, med avsikt att ge den blivande civilingenjören en
god grund för vidare studier i såväl matematik som andra ämnen. Syftet är
vidare att utveckla studenternas förmåga att lösa problem, att tillgodogöra sig
matematisk text och att kommunicera matematik.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Mål – Kunskap och förståelse
För godkänd kurs skall studenten
⋆ inom ramen för kursens innehåll med säkerhet kunna hantera elementära
funktioner av en variabel inklusive gränsvärden, derivator och integraler av
dessa.
⋆ kunna ställa upp och lösa några för tillämpningar viktiga typer av linjära
⋆ vara välbekant med matematikens logiska struktur så som den framgår till
och separabla differentialekvationer.
⋆ översiktligt kunna redogöra för och illustrera betydelsen av sådana matemaexempel inom den plana geometrin.
tiska begrepp inom endimensionell analys som används för att ställa upp
och undersöka matematiska modeller i tillämpningarna.
⋆ kunna redogöra för innehållet i definitioner, satser och bevis.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Mål – Färdighet och förmåga
För godkänd kurs skall studenten
⋆ kunna demonstrera god algebraisk räkneförmåga och utan besvär kunna
⋆ i samband med problemlösning kunna visa förmåga att självständigt välräkna med komplexa tal.
ja och använda matematiska begrepp och metoder inom endimensionell
analys, samt att ställa upp och analysera enklare matematiska modeller.
⋆ i samband med problemlösning kunna visa förmåga att integrera kunskaper
⋆ kunna visa förmåga att redogöra för ett matematiskt resonemang på ett
från de olika delarna i kursen.
strukturerat och logiskt sammanhängande sätt.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Kursinnehåll – Delkurs B1
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
Talbegreppet.
Räkning med bråk.
Olikheter.
Kvadratrötter.
Andragradskurvor.
Andragradsekvationen.
Plan geometri.
Analytisk geometri.
Cirkeln, ellipsen, hyperbeln.
Aritmetisk och geometrisk summa.
Binomialsatsen.
Absolutbelopp.
Trigonometri.
Potenser och logaritmer.
Funktionsbegreppet.
De elementära funktionernas egenskaper:
grafer, formler.
⋆ Talföljder.
⋆ Gränsvärden med tillämpningar: asympto⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
ter, talet e , serier.
Kontinuerliga funktioner.
Derivator: definition och egenskaper,
tillämpningar.
Derivation av de elementära funktionerna.
Egenskaper hos deriverbara funktioner:
medelvärdessatsen med tillämpningar.
Kurvritning.
Lokala extremvärden.
Optimering.
Enkla matematiska modeller.
Problemlösning inom ovanstående områden.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Kursinnehåll – Delkurs B2
⋆ Komplexa tal och polynom.
⋆ Begreppet primitiv funktion.
⋆ Enkla integrationsmetoder: partiell integ⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
ration och variabelsubstitution.
Partialbråksuppdelning.
Definition av integral.
Riemannsummor.
Geometriska och andra tillämpningar av
integraler.
Generaliserade integraler.
Differentialekvationer av första ordningen:
linjära och med separabla variabler.
⋆ Linjära differentialekvationer med kon⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
stanta koefficienter.
Lösning av homogena ekvationer.
Lösning av vissa inhomogena ekvationer.
Tillämpningar.
Taylors och Maclaurins formler.
Utveckling av de elementära funktionerna.
Resttermens betydelse.
Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar.
Problemlösning inom ovanstående områden.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Kursens examination
Prestationsbedömning:
⋆ Skriftlig tentamen på vardera delkursen, omfattande teori och problem.
⋆ Som slutbetyg erhålles heltalsdelen av medelvärdet av resultaten på de två
⋆ På uppgift 1 på B1 krävs minst 0.8 av 1.
delkurserna, dock högst 5.
⋆ Färdighetsprov.
⋆ Muntliga och skriftliga redovisningsuppgifter.
⋆ FÖR ATT MAN SKALL FÅ GÖRA DELPROV B1 KRÄVS ATT MAN KLARAT
⋆ FÖR ATT MAN SKALL FÅ GÖRA DELPROV B2 KRÄVS ATT MAN KLARAT
FÄRDIGHETSPROVEN OCH REDOVISNING 1.
REDOVISNING 2.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Kurslitteratur
⋆ Diehl, S: Inledande geometri för högskolestudier. Studentlitteratur, 2010,
⋆ Diehl, S: Övningar i Inledande geometri för högskolestudier. StudentlitteraISBN: 9789144067612. Kapitel P, T, A.
⋆ Månsson, J. och Nordbeck, P.: Endimensionell analys. Studentlitteratur,
tur, 2010, ISBN: 9789144067865.
⋆ Övningar i endimensionell analys. Studentlitteratur, 2011, ISBN:
2011, ISBN: 9789144056104.
9789144075020.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Kursprogrammet
⋆ Innehåller allmän information.
⋆ Innehåller tidsplan för föreläsningar.
⋆ Innehåller lista på rekommenderade övningar. Ta med det på övningarna!
⋆ Delas ut. Läs igenom det vid tillfälle!
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Undervisning
⋆ Föreläsningar
⋆ Seminarier
⋆ Övningar
⋆ SI-övningar
| FÖRELÄSNING I
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Kurshemsida
http://www.maths.lth.se/matematiklth/personal/mickep/analysBiLVht14/
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Obligatoriska moment, delkurs B1
⋆ Två färdighetsprov (länk finns även på kurshemsidan).
− Mål: Få upp räknefärdighet.
− Öppet en begränsad tid.
− Max ett per dag.
− Skall ha minst 8 av 10 poäng för att bli godkänd.
− Du kan göra många övningsprov varje dag, men de räknas ej!
− Uppgift 1 på tentan kommer att ha denna karaktär (och även där måste
⋆ En redovisningsuppgift (delas ut och kommer finnas på kurshemsidan).
man ha 8 av 10 rätt för att kunna bli godkänd).
− Öva skriftlig och muntlig kommunikation.
− Presenteras för lärare på en vanlig övning i LV3.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Dagens tips
Börja med färdighetsproven idag!
(efter klockan 13)
| FÖRELÄSNING I
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Extraresurser
⋆ Webbforum (http://forum.maths.lth.se)
− Ställ frågor när som helst
− Svara på frågor när som helst
− Var (nästan) anonym
⋆ Videoklipp på Youtube
− Teori och exempel
− Jonas Månssons förklaringar
| FÖRELÄSNING I
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Matematik
| FÖRELÄSNING I
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Mängder
Tänk: ”Samling med objekt.”
Exempel
Mängden av riksdagspartier (2010–2014):
R = {C, Fp, Kd, M, Mp, Sd, S, V}
Det gäller till exempel att Mp är ett element i R , skrives Mp ∈ R (utläses ”Mp
tillhör R ”).
Exempel
Den lite mindre mängden med så kallad allianspartier,
A = {C, Fp, Kd, M}
är en delmängd till R . Vi skriver det A ⊂ R (eller ibland A ⊆ R ). M ∈ A , men
Mp ∉ A .
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Talsystem (exempel på mängder, med struktur)
Naturliga tal
Heltal
ℕ = {0, 1, 2, …}
ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}
Rationella tal
ℚ = { q ∣ p, q ∈ ℤ, q ≠ 0}
p
Reella tal ℝ. Tänk: ”Alla punkter på tallinjen.” Varje reellt tal kan skrivas på
decimalform, ofta krävs oändlig decimalutveckling.
Komplexa tal
ℂ. Diskuteras i B2.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Intervall, tomma mängden
Exempel
[−4, 3] = {x ∈ ℝ | − 4 ≤ x ≤ 3},
(−4, 3) =] − 4, 3[ = {x ∈ ℝ | − 4 < x < 3},
[−4, 3) = [−4, 3[ = {x ∈ ℝ | − 4 ≤ x < 3}.
Det första intervallet kallas slutet (ändpunkterna är med), det andra kallas
öppet (ändpunkterna är inte med), det tredje är varken öppet eller slutet.
Exempel Den tomma mängden ⌀ kännetecknas av att den inte innehåller
några objekt alls. Man kan skriva ⌀ = {}. För varje objekt a gäller alltså a ∉ ⌀.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Påståenden
Exempel
”Det är valår nu.”
”Nio personer här inne åt gröt i morse.”
”Den här länken leder till en bra låt.”
”3 > 4.”
”Alla deriverbara funktioner är kontinuerliga.”
”Det finns en kontinuerlig funktion som inte är deriverbar någonstans.”
”x 2 = 2.”
Icke-exempel
”(x + 1)2 .”
Implikation (𝑨 ⟹ 𝑩)
Exempel
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Vi inför två påståenden,
A : x > 0,
B : x 2 > 0.
Då gäller ”Om A är sann så är B sann” eftersom x 2 är större än noll om x är
det. Vi skriver
eller ”x > 0 ⟹ x 2 > 0”.
A⟹B
OBS
Det gäller inte att B ⟹ A , dvs ”x 2 > 0 ⟹ x > 0” är ett falskt
påstående. Låt nämligen x = −1. Då är x 2 > 0 men x < 0.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Implikation (forts)
Exempel Många satser är uttryckta med implikation (även om man oftast
inte skriver ut den):
”Varje deriverbar funktion är kontinuerlig.”
Ibland gäller både A ⟹ B och B ⟹ A . Då råder ekvivalens:
Ekvivalens (𝑨 ⟺ 𝑩)
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
A ⟺ B gäller precis då A ⟹ B och B ⟹ A .
Det gäller alltså att A är sann om och endast om B är sann.
Exempel
x + 3 = 7 ⟺ x = 4.
| FÖRELÄSNING I
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Russells paradox
Låt M = {x | x ∉ x}. Då gäller:
M ∈ M ⟺ M ∉ M.
”Barberaren rakar enbart alla personer som inte rakar sig själva. Rakar
barberaren sig själv?”
| FÖRELÄSNING I
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Direkt och indirekt bevis
Sats
Låt n vara ett heltal. Då gäller:
n är jämnt ⟺ n 2 är jämnt.
Kommentar Den här sidan är rosamarkerad för att resultatet inte direkt
ingår i kursen. Det är bevismetoden vi är ute efter.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Direkt och indirekt bevis
Sats
Låt n vara ett heltal. Då gäller:
n är jämnt ⟺ n 2 är jämnt.
Bevis n jämnt ⟹ n 2 jämnt:
Antag att n är jämnt, dvs n = 2k för något heltal k . Då är n 2 = (2k)2 =
4k 2 = 2 ⋅ 2k 2 , dvs n 2 är också jämnt. Denna bevismetod kallas ibland för direkt
bevis.
n 2 jämnt ⟹ n jämnt:
Antag att n inte är jämnt, dvs antag att n är udda. Då kan vi skriva n = 2k + 1
för något heltal k . Men då är n 2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k)+ 1,
dvs n 2 är också udda. n 2 är alltså inte heller jämnt. Denna bevismetod kallas
ibland indirekt bevis.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Motsägelsebevis (se även cut-the-knot.org)
Sats
√2 är irrationellt.
Bevis
⋆ Antag att √2 är rationellt, dvs att √2 = q , där p och q är heltal, och där
p
bråket
p
q
är förkortat, dvs att p och q saknar gemensamma delare.
⋆ Kvadrering ger 2 =
p2
q2
, eller 2q 2 = p 2 . Alltså är p 2 , och därmed även p
jämnt.
⋆ Vi skriver p = 2k , där k är ett heltal. Likheten 2q 2 = p 2 omvandlas nu till
2q 2 = (2k)2 = 4k 2 , eller (förkortad) q 2 = 2k 2 . Det följer att q också är
jämnt.
p
⋆ Vi har nu nått en motsägelse mot att q var förkortat.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I
Bevisuppdelning i fall
Sats
Bevis
Det finns irrationella tal a och b sådana att a b är rationellt.
√2
Låt oss betrakta √2 .
⋆ Om √2
⋆ Om √2
√2
√2
är rationellt så är vi klara, ty √2 är irrationellt.
är irrationellt så duger
√2 √2
(√2 )
= √2
√2⋅√2
= √2 = 2.
2
Den nyfikne kan här få reda på sanningen om huruvida √2
irrationellt.
√2
är rationellt eller
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING I