801
Den röda tråden för elever i matematiksvårigheter
Hur kan vi lärare och pedagoger samarbeta för att kvalitativt kartlägga elever i
matematiksvårigheter, och deras inte sällan komplicerade sätt att forma sin matematiska
medvetenhet. Vilka didaktiska verktyg behöver vi lärare för att kunna analysera dessa elevers
matematikutveckling?
Ann-Louise Ljungblad är specialpedagog och har fördjupat sig kring området
matematiksvårigheter. Hon är också författare, medverkar i lärarutbildning och fortbildning och
arbetar idag som rådgivare på Specialpedagogiska institutet.
Föreläsning
Alla
Dokumentation
I dagens skoldebatt förs fram åsikter om tidiga betyg och fler nationella prov. Det eleverna
behöver är något annat – lärare som har tillgång till kvalitativa analysverktyg som visar
elevernas lärande och utveckling.
Som matematiklärare står vi inför en svår uppgift – att försöka förstå och utveckla
alla elevers matematiska medvetenhet (Ljungblad, 2003b). Hur vi människor upplever
matematiken som ett språk är mycket individuellt och inte sällan både komplicerat och komplext
för lärare att analysera och dokumentera. Sociala, kulturella och pedagogiska faktorer är tätt
sammantvinnade i skolan som praktik (Dysthe, 2003). Dessa faktorers nära samspel i
skolpraktiken bör som jag ser det sammanställas i en pedagogisk och didaktisk kartläggning av
”specifika inlärningssvårigheter i matematik”, vilket jag tidigare benämnt som ”särskilt
didaktiskt behov i matematik” (Ljungblad, 2003c, 2003d). Många av eleverna som uppvisar stora
matematiksvårigheter tappar tidigt lusten att lära matematik och vi behöver gemensamt driva en
fokuserad skolutveckling för att utveckla deras matematiska lärande. Det som vi uppfattar som
inlärningssvårigheter, och som vi förlägger till individer och deras ”förmåga” att tillägna sig
matematik, kan kanske bättre förstås om vi analyserar de regler för den matematiska
kommunikation som vuxit fram i skolan, och de svårigheter som barn kan ha att identifiera sig
till dem (Säljö, 2000).
Individuell analys och kartläggning
I förskolan och i grundskolan har vi stora möjligheter att samarbeta för att utveckla elever i
matematiksvårigheter. Vi behöver hitta nya gemensamma arbetsformer för att dokumentera
elevernas matematiska lärande. Dessutom är det nödvändigt med en grundläggande pedagogisk
och didaktisk kartläggning – inom organisationsnivå, gruppnivå och individnivå – som
kontinuerligt återkommer för elever som inte når målen i matematik. Matematiklärare,
speciallärare och specialpedagoger kan samarbeta och använda kvalitativa analysverktyg för att
studera och försöka förstå elevers tankeprocesser, så att vi kan hjälpa eleven att utveckla nytt
kunnande. Var finns elevens utvecklingsmöjligheter – starka och svaga sidor? Viktigt för elever i
matematiksvårigheter är också att få tillgång till olika former av tilläggshjälp för att utveckla nya
processtankar, vilket möjliggör arbete med matematiken på ett högre plan.
Det är av intresse att studera hur lärare och elever i behov av särskilt didaktiskt stöd
kommunicerar i matematik med siffror, tal och antal i de gemensamma dialogerna (Ljungblad,
2003d). Läraren behöver analysera utifrån vilken kontext eleven tar sin utgångspunkt och
varifrån utgår läraren? För elever i matematiksvårigheter kan det vara svårt att med lätthet vandra
i matematikens flerdimensionella diskurs, något som kan påverka såväl det matematiska lärandet
som elevens generella lärande i alla ämnen (Ljungblad, 2003a, 2003d).
Vygotsky (1999) betonad starkt det stödjande sociala samspelet och ett barns
möjligheter till utveckling i ”zonen för den närmaste utvecklingen”. Det ett barn idag kan göra i
samarbete med en mer kompetent person, kan barnet så småningom självständigt göra i
framtiden hävdade Vygotsky. Dagens komplexa samhälle genomsyras av ett omfångsrikt
informationsflöde, där en stor del är matematisk information, vilket för en person som ännu inte
erövrat en grundläggande matematisk kompetens kan vara svår att tolka. Att få möjlighet att
erövra en matematisk kompetens är en demokratisk fråga för alla elever och studenter – både
som barn, ungdomar och vuxna.
Litteratur
Dysthe, O. (red.) (2003). Dialog, samspel och lärande.
Lund: Studentlitteratur.
Ljungblad, A-L. (2003a). Att räkna med barn i specifika matematiksvårigheter.
Varberg: Argument.
Ljungblad, A-L. (2003b). Matematisk Medvetenhet.
Varberg: Argument.
Ljungblad, A-L. (2003c). Att möta barns olikheter – åtgärdsprogram och matematik.
Varberg: Argument.
Ljungblad, A-L. (2003d). En studie av hur barn använder siffror, tal och antal i en
matematisk diskurs. Magisteruppsats i specialpedagogik. Institutionen för
pedagogik och didaktik. Göteborg: Göteborgs universitet.
Säljö, R. (2000). Lärande i praktiken.
Stockholm: Prisma.
Vygotsky, L. (1999). Tänkande och språk.
Göteborg: Daidalos.
802
Matematikhistoriska tablåer
Kursplaner i matematik betonar förutom det matematiska innehållet även en orientering om
matematikens historia.
Här visas ett sätt att presentera den matematiska utvecklingen.
”En lättsam föreställning i form av anspråkslösa scenframträdanden, där man presenterar ett
urval av personer, som haft betydelse för matematiken.”
Stig Olsson, universitetsadjunkt ma/ke vid Malmö högskola.
Arne Ekberg, universitetsadjunkt ma/fy vid Malmö högskola.
Lennart Segerbäck, mellanstadielärare vid Johannesskolan, Malmö
Föreläsning
Gr Gy Vux Högsk Lärutb
Dokumentation:
PYTHAGORAS
(500 f.Kr.)
560 – 485
Samos, Grekland
Kroton, Syditalien
Fick ge namn åt Pythagoras sats, kanske för att han var den förste att
bevisa satsen.
ARKIMEDES
(250 f.Kr.)
287 – 212
Syrakusa, Sicilien
Area-beräkning med hjälp av rektangelstrimlor (nära upptäckten av
integraler). Fann ett värde på π. Mekaniska och fysikaliska
uppfinningar.
ERATOSTENES
(200 f.Kr.)
274 – 194
Alexandria, Egypten
Beräknade jordens omkrets. Eratostenes såll (primtal).
BRAHMAGUPTA
(600 e.Kr.)
598 – 668
Rajastan, Indien
Positionssystemet. Nollan. Siffror. Ekvationssystem. Andragradsekv.
AL–KOWARIZMI
(825 e.Kr.)
Bagdad
Matematiska symboler. Lärobok: Kitab al jabr Walmuqabala
(al jabr ⇒ algebra / al-kowarizmi ⇒ algoritm)
TARTAGLIA
(1500 e.Kr.)
1500 – 1557
Lösning till tredjegradsekvation
CARDANO
(1500 e.Kr.)
1501 – 1576
Milano
Lösningar till tredjegradsekvationer. Lärobok: Ars Magna
NAPIER
(1600 e.Kr.)
1550 – 1617
Logaritmer. Räknestickan.
DESCARTES
(1625 e.Kr.)
1596 – 1650
Paris, Stockholm
Koordinatsystemet, analytisk geometri, bokstavsbeteckningar
Venedig
Edinburgh
FERMAT
(1650 e.Kr.)
1601 – 1665
Toulouse, Frankrike
n
n
n
Algebra. Bevis att x + y = z saknar lösning. Analys.
NEWTON
(1700 e.Kr.)
1642 – 1727
Derivata (fluxioner) och integral.
LEIBNIZ
(1700 e.Kr.)
1646 – 1716
Hannover
Derivata och integral. Beteckningar för derivata och integral.
SOPHIE GERMAIN
(1800 e.Kr.)
1776 – 1831
Paris
n
n
n
Delbevis till att x + y = z saknar lösning. Elastiska ytor.
EULER
(1750 e.Kr.)
Berlin, Königsberg
S:t Petersburg
Algoritmer. Funktionsbegrepp (f(x)). Sammanfattade all matematik.
GAUSS
(1850 e.Kr.)
1777 – 1855
Braunschweig, Göttingen
Avancerad algebra. Komplexa tal. Normalfördelning
Cambridge, London
1707 – 1783
MATEMATIKENS HISTORIA i KONCENTRAT
Redan för tiotusentals år sedan tycks det ha funnits människor, som fascinerats av matematiska
problem. Geometriska mönster som utsmyckning vittnar om detta. Samtidigt uppkom det ett
behov av att ange antal, vilket man visade med streckmarkeringar eller en samling enhetliga
föremål. Så skapades den första matematiska modellen.
Vår information om den tidiga matematiken kommer från de kulturområden, som uppkom i de
stora floddalarna kring Hoangho, Indus, Eufrat och Tigris samt Nilen. Tyvärr har de flesta spåren
i form av skrifter försvunnit, därför att dessa bestod av förgängligt material. Icke minst alla dessa
papyrusrullar, som bör ha innehållit ansenliga mängder av matematik och teknik. Men man har
haft tur. Två papyrusrullar med sammanfattningar av den egyptiska matema-tiken stod emot
tidens tand, nämligen Rhind-papyrusen (skriven av Ahmes ca 1700 f.Kr. och inköpt av
fornforskaren Henry Rhind på 1800-talet e.Kr.) och Moskva-papyrusen. Dessa upptäckter kan
väl jämföras med upptäckten av Rosette-stenen, vilken avslöjade hierogly-fernas hemlighet. Den
andra väsentliga informationskällan utgörs av de lertavlor, som med kilskrift presenterar
babyloniernas matematik.
I de bördiga floddalarna behövde inte alla vuxna delta i jordbruksarbetet utan vissa avdelades för
att hålla räkning på både skörd och åkerarealer. Det behövdes konstruktioner för vatten-reglering
och tabeller för årstidsväxlingar. Detta kombinerat med annan praktisk matematik ledde till att
aritmetiken och geometrin blev en del av kulturen. Den kunskap, som vi har idag, visar på att
framsteg inom matematik skedde i Kina, Indien, Babylonien och Egypten på ett ofta likartat sätt.
Det fanns behov av t.ex. ekvationer, bråkräkning och geometri oberoende av kultur och
samhällsform. Det som nu blir intressant att studera är hur tyngdpunkten inom
matematikutvecklingen växlar.
Grekerna tog över det matematiska arvet ca 600 f.Kr. med kunskapscentra i västra Turkiet, södra
Italien och egyptiska Alexandria, områden som ingick i det grekiska stormaktsväldet. (Thales i
Miletos / Pythagoras i Kroton / Euklides i Alexandria / Arkimedes i Syrakusa)
Romarriket dominerade Medelhavsområdet från år 100 f.Kr. fram till ca 500 e.Kr. och under
denna tid finns det inte mycket att notera vad gäller matematikutveckling, även om Alexandria
fortsatte att vara antikens matematiska centrum. Elaka tungor vill mena, att romarnas enda bidrag till matematikens historia var att man slog ihjäl Arkimedes. Man brydde sig inte heller om
att översätta de grekiska skrifterna till latin; bildade romare behärskade nämligen grekiska och
några andra behövde inte bekymra sig!
Parallellt med matematikutvecklingen i Grekland gjordes förmodligen värdefulla framsteg i
Afrika och Amerika. En del av mayafolkets kultur i Latinamerika (ca 500 f.Kr.) känner vi till,
men vi saknar information om den afrikanska matematiken. Romarrikets fall ca 500 e.Kr.
medförde, att indierna tog över den ledande rollen och parallellt med araberna stod man för de
viktigaste bidragen till att matematiken kunde öppna vägarna för naturvetenskapliga och tekniska framsteg: upptäckten av positionssystemet, talet noll och siffrorna! Bagdad utgjorde den
naturvetenskapliga medelpunkten, där man förvaltade den grekiska matematiken.
Vilka matematiska framsteg gjordes då mellan år 1000 e.Kr. och 1500 e.Kr.? Svar: Endast ett
fåtal. Även om Fibonacci år 1200 gjorde ett tappert försök att ge ut en instruktionsbok i matematik, Liber Abaci, så rådde det stiltje. De gamla grekiska skrifterna översattes till europeiska
språk - från arabiska! Varför hände det nästan ingenting? Ett svar måste vara, att det sakna-des
ett matematiskt symbolspråk. Hittills hade all matematik varit retorisk. Man resonerade och
genomförde logiska bevis, men man kunde inte med enkla symboler formulera ett algebraiskt
uttryck, en ekvation eller en formel. Den matematiska processen var helt enkelt alltför
svårhanterlig!
Men i slutet av 1400-talet börjar det hända något! De geografiska upptäckterna och de stora
uppfinningarna medförde behov av kunskaper i bl.a. navigation, och ett ökat handelsutbyte
krävde ett säkert räknekunnande. Papper var inte längre någon bristvara. Det arabisk-indiska
siffer- och positionssystemet slår igenom efter ca 400 års hård kamp. Man skrotar abakusen och
övergår till att räkna på papper. De romerska siffrorna blir museala och får på sin höjd pryda ett
eller annat monument. Tecken för de fyra räknesätten börjar användas och matema-tikens
explosionsartade framåtskridande tar sin början.
1600-talet ser tillkomsten av bokstavsbeteckningar och den analytiska geometrin med funktioner och grafer (Descartes i Frankrike). Derivata- och integral-begreppen löser problem åt
fysikerna (Newton i England / Leibniz i Tyskland). Man kan bringa ordning i den matema-tiska
oredan (Euler ifrån Schweiz) och naturvetenskapen kan tänja sina gränser långt utanför den
etablerade världsbilden (Gauss i Tyskland).
Matematik blir inte bara en hjälpvetenskap utan får rang av egen vetenskap, där forskningen ger
resultat inom bl.a. talteori, differentialekvationer, topologi och bildanalys. De mekaniska
räknemaskinerna utvecklas till elektroniska datorer, som öppnar vägar för nya forskningsområden.
Men nog undrar man, vilken information om naturvetenskap, teknik och matematik som gick
förlorad ca 300 e.Kr., då det stora biblioteket i Alexandria brändes av romarna och under 200
talet f.Kr., då kejsar Tsin Shi Huang-ti lät bränna alla böcker i Kina.
803
Aldrig mer algoritmräkning?
Föreläsningen innehåller ett resonemang om de kunskapsskador som de traditionella
standardalgoritmerna ofta orsakar. Även andra motiv för att helt avstå från traditionella
standardalgoritmer presenteras. Dessutom visas ett sätt att göra stödanteckningar så att eleverna
stärker sin taluppfattning och blir skickligare i huvudräkning.
Ronny Ahlström, har under många år arbetat som matematiklärare i grundskolan åk 7-9 och har
dessutom under ett flertal år undervisat i matematik i åk 4-6. Han arbetar också med fortbildning
och är läromedelsförfattare.
Föreläsning
Alla
Matematik – inte räkning
De viktigaste delmomenten i matematikundervisningen bör vara begreppsbildning och
problemlösning. Dessutom måste eleverna lära sig ett flertal skrivkonventioner samt att kunna
göra olika beräkningar eftersom ett matematiskt problem ofta leder till en beräkning. Det har
dock inget som helst värde att t ex kunna utföra beräkningen 7 ⋅ 489 om man inte kan använda
den i ett relevant sammanhang.
Av tradition har algoritmräkningen upptagit mer än hälften av undervisningstiden på
”mellanstadiet”. Det var möjligen motiverat när miniräknaren inte var ett accepterat hjälpmedel.
Kursplanen i matematik föreskriver att eleverna ska kunna använda miniräknare senast i slutet av
det 5:e skolåret. Utformningen av de nationella proven visar också mycket tydligt att
miniräknaren är ett naturligt räknehjälpmedel i matematikundervisningen, gärna redan under de
allra första skolåren. Vi kan därför låta ämnet vara matematik – inte räkning.
Huvudräkning är viktigast
Den allra viktigaste metoden för att utföra en beräkning är utan tvekan huvudräkning. Det
beror inte minst på att vi oftast inte har med oss papper och penna och inte heller en miniräknare.
Dessutom är det vardaglig elementär matematikfärdighet att t ex en expedit i ett gatukök snabbt
kan räkna ut hur mycket du ska få tillbaka på en hundralapp om du köper en kebab som kostar 47
kr. Eftersom många inte kan utföra den enkla beräkningen måste vi ställa oss frågan ”Var och
varför har de inte lärt sig det?”.
Många elever har bristfälliga tabellkunskaper och dålig taluppfattning och de är inte heller
säkra på algoritmräkning. I skolarbete och senare också i vardagslivet blir de därför beroende av
miniräknaren för att kunna utföra de allra enklaste beräkningar. Hur mycket du ska få tillbaka på
hundralappen i gatuköket ska inte räknas ut med miniräknare eller uppställning – det ska räknas
med huvudräkning!
Fördelar och nackdelar med algoritmräkning
Fördelen med algoritmerna är att de är säkra metoder om de ”sitter i ryggmärgen”. Förutsatt
att eleverna kan tekniken, har absoluta tabellkunskaper och ett tillräckligt korttidsminne så
fungerar de utmärkt. Vi ska dock vara medvetna om att själva poängen med en algoritm är att
man inte ska tänka. Detta står i skarp kontrast mot läroplanens intentioner om att vi ska sträva
efter att utveckla elevernas grundläggande matematiska tänkande. Arbetet med algoritmerna ger
således en felbild av ämnet matematik. Så länge som ämnet hette Räkning var det naturligtvis
helt korrekt men den rubriken på skolämnet försvann 1955.
Algoritmräkning är tråkigt och enahanda. Den bygger på ett flertal motstridiga regler som
många elever har svårt att minnas såvida de inte övar kolossalt mycket. Algoritmräkning är inte
heller en färdighet som är efterfrågad i vare sig kommande utbildning eller yrkesliv och till
vardags har vi naturligtvis miniräknare till hands när det är nödvändigt att kunna göra en exakt
beräkning. Dessutom duger det oftast med en överslagsberäkning som är en ytterst viktig men
alltför lite övad färdighet i skolan. Överslagsräkning är en bra kombination av huvudräkning och
taluppfattning.
Naturligtvis kan man göra ett desperat försök att motivera algoritmräkningen genom att
konstruera någon enstaka situation i framtiden då vi måste kunna räkna exakt men då vi inte har
tillgång till miniräknare och då huvudräkningen inte räcker till. Det är knappast rimligt att slösa
bort många undervisningstimmar i matematik på att ge eleverna beredskap för en sådan speciell
situation. Ingen skulle väl komma på tanken att vi ska lära oss avståndet mellan Europas alla
städer med motiveringen att man kanske någon gång i framtiden kommer att köra bil från Lörach
i södra Tyskland till Neuchatel i Schweiz och att det då är viktigt att kunna bedöma om bensinen
räcker för hela resan.
Riskerna med algoritmräkning
Den stora risken med de traditionella standardalgoritmerna för addition, subtraktion och
multiplikation är att tekniken står i strid med de vanligaste intuitiva metoderna att räkna
huvudräkning. Om vi ska räkna ut t ex 78 + 67 med huvudräkning så börjar näst intill alla med
den största talsorten och ”tänker från vänster”. Detta lyckas de flesta att räkna ut såvida de inte
har bestående kunskapsskador från skolans algoritmräkning. I så fall räknar de inte med talen
utan istället räknar de med siffrorna och de börjar att ”tänka från höger” så som man lärt in vid
algoritmräkning. Erfarenhetsmässigt vet vi att många elever tänker sig en algoritm och det blir
omöjligt att utföra beräkningen eftersom korttidsminnet inte räcker till. För de svagaste eleverna
är det ett didaktiskt skamgrepp att hävda att de ena dagen ska öva algoritmräkning, då de ska
börja med entalen, för att nästa dag öva huvudräkning och börja med tiotalen. Här måste vi göra
ett val – är det algoritmräkning som är en angelägen färdighet eller är det huvudräkning som
bygger på taluppfattning som är viktigt att lära sig. Om eleverna övar algoritmräkning förstör
man samtidigt möjligheterna att bli skicklig i huvudräkning. Detta gäller dock inte division där vi
alltid börjat med den största talsorten oavsett anteckningsmetod.
Addition - talsortsräkning med stödanteckningar
Genom att låta eleverna räkna huvudräkning och skriva stödanteckningar får de en pålitlig
anteckningsmetod som inte står i strid med huvudräkningsförmågan. Tvärtom så stärker eleverna
sin taluppfattning och de blir på sikt säkrare i att räkna utan att anteckna. Då ska de naturligtvis
börja med den största talsorten.
Om eleverna antecknar på det här sättet blir det mycket tydligt hur de olika delsummorna
kommer fram.
485 + 367 =
400 + 300 = 700
80 + 60 = 140
5 + 7 = 12
= 852
Flertalet elever kan så småningom skriva mera kortfattat så här:
485 + 367 =
700
140
12
= 852
Multplikation - talsortsräkning med stödanteckningar
På liknande sätt kan eleverna anteckna så här när de räknar multiplikation:
6 ⋅ 735 =
6 ⋅ 700 = 4 200
6 ⋅ 30 = 180
6 ⋅ 5 = 30
= 4 410
De elever som är säkra kan så småningom skriva mera kortfattat så här:
6 ⋅ 735 =
4 200
180
30
= 4 410
Subtraktion med stödanteckningar
Erfarenhetsmässigt vet vi att många ”tänker uppåt” vid subtraktion. Det är onekligen
naturligast t ex när räknehändelsen som föregår beräkningen är ”Hur mycket fattas?”.
Om vi tänker oss att du har 385 kr och gärna vill köpa en väska för 644 kr kan du räkna ut
beloppet som fattas genom att skriva stödanteckningar på ett sätt som stämmer med hur man
vanligtvis intuitivt räknar med huvudräkning:
15
385
644 − 385 =
400
200
400
600
= 259
44
600
644
Även här kan flertalet elever så småningom skriva mera kortfattat så här:
644 − 385 =
15
200
44
= 259
Listiga huvudräkningsmetoder
Naturligtvis ska vi uppmuntra eleverna att lära sig huvudräkningsmetoder som bygger på god
taluppfattning. Uppgiften 567 + 296 löser många intuitivt genom att ”flytta fyra till det andra
talet”.
567 + 296 = 563 + 300 = 863
Här kan vi jämföra med beräkningen 567 – 296 som man löser på ett listigt sätt genom att
istället ”flytta båda lika mycket” eftersom differensen då blir densamma:
567 – 296 = 571 – 300 = 271
Det finns dock anledning att se upp så att de osäkra eleverna inte avkrävs alltför många listiga
metoder alltför snabbt. Då blir det listiga olustigt! Matematik kan bli ett glädjeämne för eleverna
om även aritmetiken bygger på goda grunder och trygga anteckningsmetoder.
804
Sudoku's olösta problem
Det populära pusslet sudoku bjuder på några intressanta och fortfarande olösta frågor. Oftast är
de långt ifrån triviala ur matematisk synpunkt. Jag kommer att ta upp både dessa samt relaterade
frågeställningar.
Paul Vaderlind, högskolelektor vid Stockholms Universitet.
Föreläsning
Alla
Dokumentation
På sex månader har sudoku helt erövrat Sverige. Trots sin korta historia, inte mer än 27 år, så är
pusslet idag vida mera känd runt om i världen än Rubiks kub någonsin var. I spåret av pusslet
kommer också en hel del rent matematiska frågeställningar, problem som för det mesta
fortfarande är olösta. Jag kommer att ta upp både sudoku som fenomen samt de flesta
matematiskt intressanta problem som hör till pusslet.
805
Se, hör och tala matte med UR!
Nu satsar UR på matte! Matte som vi kan hitta omkring oss och matte vi använder utan att ens
tänka på det. UR tar dig med på en matteupplevelse i ljud, bild och interaktiv webb. En särskild
guidning bjuder vi på genom URs lärresurs i matematik, som har lärare som målgrupp. Här finns
en mängd tv- och radiomaterial som kan användas som kompetensutveckling inom arbetslaget på
skolan - Eller som ”live-material” i klassrummet! Följ med!
(Läs mer på http://www.ur.se/matematik).
Marie Hallén är lärare och arbetar nu som mediepedagog på UR.
URs mediepedagoger tillhör Redaktionen för pedagogisk utveckling, och har fokus på frågor
som rör användning och tillgänglighet till URs radio- tv- och webbproduktion.
Föreläsning
Alla
Dokumentation
På tal om matte – URs satsning på matematik
Nu satsar UR på matte! Matte vi kan hitta omkring oss och
matte vi använder utan att ens tänka på det. UR bjuder på
roliga ingångar i matematikens värld för stora och små, och
inte minst för dig som är lärare.
Rita och måla, tänka
och klura, inne eller
ute – det handlar ”På
tal om matte” om.
Media på matten
Den bild som utmålas av matematikämnet i skolan ser idag ganska mörk ut. Många rapporter
talar om alltför mycket enskilt arbete vid matematikböckerna, och man saknar variation i
undervisningen.
Kanske kan UR, genom vår tillgång på ett flertal gestaltningsformer som tv, radio, webb och
trycksaker hjälpa till att förändra matematikundervisningen?
URs projekt På tal om matte hoppas ge barn och ungdomar medieupplevelser som andas
matematik på ett lärorikt och roligt sätt. Medieanvändning på matematiklektioner kan ge upphov
till engagerande diskussioner om såväl gyllene snitet som matematikämnets
existensberättigande. Media av olika slag kan nå elever med skilda inlärningsstilar, och inspirera
till flera sätt att lära känna matematiken i vardagen. Kanske kan URs material i matematik ge
barn, ungdomar och vuxna som studerar en mer varierad matematikundervisning?
Program för små och stora
De här matematik programmen finns nu och kan lånas genom landets AV-Media-centraler, eller
att köpas genom UR:
Skolår F-3
TV:
Radio:
Webb:
Tv och cd:
”Mattepatrullen”, 10 prog à 10 min
”Räkna med oss” , 5 prog à 12 min
www.ur.se/matte
Världens Orkester
Skolår 6-9
TV:
Webb:
”Ramp om matematik”, 6 prog à 30 min
www.ur.se/ramp
Komvux/gymnasium/folkhögskola (Ma A och B)
TV
”Jorden är platt” – Matematik, 4 prog à 30 min
Webb
www.ur.se/jorden
Visuella lärobjekt
finns i lärmodulen www.ur.se/larresurs/matematik
För lärare
TV
”På tal om matte”, 3 prog à 30 min
Radio
”Skolakuten radio”, 9 reortage à 10 min
Bok
”På tal om matte”
Lärresurs i matematik
www.ur.se/larresurs/matematik
Flera program kommer: Matte för förskolebarn, och en matematikserie för skolår
4-6 produceras 2005/06.
Lärresursen i matematik: www.ur.se/larresurs/matematik
Sen ett år tillbaka jobbar UR med att ta fram s k lärresurser. Finessen med de är att man där
direkt kan ta del av tv- och radioprogrammen i ett tänkt pedagogiskt sammanhang. Det är också
möjligt att själv som lärare skapa sin egen lärresurs, genom att välja ut de program och texter
som är speciellt intressanta.
Lärresursen är också tänkt att kunna användas som kompetensutveckling för lärare. Den ger dig
och dina kollegor möjlighet att fritt botanisera bland tv- och radioprogram, artiklar, intervjuer
och webblänkar.
Några tips på hur lärresursen kan användas
•
Ta del av de stora matematikprofilernas tankar och synpunkter kring framtidens
matematikundervisning.
Lyssna till Saids Irandoust (ordf. i den f d matematikdelegationen), Bengt Johansson
(föreståndare vid NCM), Ingrid Olsson (lärarutbildare) och Eric Davidsson (student).
Deras röster finns i lärresursen.
Diskutera: Hur tänker ni, på er skola, kring framtidens matematikundervisning?
•
Ta del av de tv- och radioprogram som producerats specifikt för lärare.
Möt lärare, elever, föräldrar och forskare, som alla på olika sätt har viljan att utveckla
matematikundervisningen. Se, hör och läs om dem i lärresursen.
Diskutera vad ni sett och hört med lärarkollegor, kanske utifrån de frågeställningar som
finns i anslutning till varje reportage. Hur vill och kan ni utveckla den egna
matematikundervisningen på skolan?
Till så gott som varje reportage finns i lärresursen artiklar, intervjuer,
litteraturhänvisningar eller länkar – fördjupningsmaterial för den som vill veta mer.
•
Ta del av tv, radio och webb som vänder sig till olika elevmålgrupper i skolan. Se gärna
dessa elev-program tillsammans i lärarkollegiet. Välj ut vilka ni vill se eller höra med
eleverna, och tipsa varandra på hur man kan använda ett radio- eller tv-program i klassen.
Vad vill ni skall hända när man ser eller hör programmet? Eller efter man sett eller hört
programmet? Till de flesta programmen finns dessutom handledningar, där förslag på
användning ges.
•
Tipsa gärna barn och föräldrar om URs lärresurser! www.ur.se/larresurs Kanske under ett
föräldramöte, eller i vecko-/månadsbrevet hem? Berätta att det går att titta och lyssna på
program hemma via Internet. Kanske kan programmen användas som repetition, inför ett
par- eller grupparbete, eller för den elev eller förälder som har ett speciellt intresse för
matematik.
Frågor och synpunkter
Om du har frågor eller synpunkter kring lärresursen i matematik är du varmt välkommen att höra
av dig. Vi är också jättenyfikna hur du använder den! Är lärresursen i matte bra, dålig, rörig,
onödig, och berättar den något nytt…?
Vi vill veta – så när du testat den – hör av dig!
Marie Hallén, UR
Mediepedagog
[email protected]
060-19 03 22, 070-538 08 84
806
Nya kursplaner i matematik för gymnasieskolan 2007
I början av februari 2006 kommer Skolverkets förslag på revidering av program- och kursplaner
för gymnasieskolan att överlämnas till regeringen. I seminariet diskuteras bakgrund och motiv
till gjorda förändringar samt möjliga konsekvenser för undervisning och bedömning.
Lars Mouwitz har en bakgrund som gymnasielärare i matematik och filosofi och arbetar på
NCM, Göteborgs universitet.
Anette Jahnke är lektor i matematik på Hvitfeldstka gymnasiet i Göteborg och arbetar deltid på
NCM, Göteborgs universitet
Föreläsning
Gy
Dokumentation
Under våren och hösten 2005 har Skolverket arbetat med förslag inför revideringen av
gymnasieskolan år 2007. I det uppdrag Skolverket fått av regeringen anges bland annat att
kursbetyg skall ersättas av ämnesbetyg och att såväl innehåll som form på program- och
ämnesnivå skall ses över.
Under hösten har vi engagerats som experter för revideringen av kursplanerna i matematik för
gymnasieskolan och vi vill i vårt seminarium redovisa de nya kursplanerna samt bakgrund och
motiv till gjorda förändringar. Möjliga konsekvenser för undervisning och bedömning
uppmärksammas. Denna gång planerar Skolverket också att ge ut ett kommentarmaterial, vilket i
korthet kommer att diskuteras.
Samtidigt som vi arbetade med pågående revidering ville vi initiera en mer principiell diskussion
om hur kursplanearbete bör gå till i framtiden och inbjöd därför ett antal nyckelpersoner och
miljöer till ett seminarium den 26 augusti på NCM, Göteborg, med titeln ”Matematikämnet i
framtidens gymnasieskola”. Den inledande texten till inbjudan såg ut som följer:
Syftet med seminariet är att skapa en arena för samtal mellan olika aktörer med intresse för och
kunnande om gymnasieskolans matematikämne. Vår förhoppning är att seminariet skall måla
upp angelägna framtidsperspektiv och därmed också konstruktivt bidra till den pågående
revideringen av gymnasieskolans program- och kursplaner.
Som bekant saknas ett kontinuerligt utvecklings- och forskningsarbete kring kursplanefrågor för
svensk skola, något som uppmärksammas bland annat av Matematikdelegationen i Att lyfta
matematiken – intresse, lärande, kompetens. Det är inte heller så att den internationella
utvecklingen på området följs på något systematiskt sätt eller att dialog skapats med
utvecklingsarbete och forskning i andra länder. Dessutom, och delvis som en konsekvens av
ovanstående, satsar staten alltför små resurser med avseende på personal, tid och samplanering
mellan skolformer då en kursplanerevidering blir aktuell. På grund av dessa missförhållanden
föreslår vi att seminariet fokuserar på följande tre huvudfrågor:
-
Hur kan vi på bästa sätt initiera och lägga grunden till ett långsiktigt kontinuerligt
utvecklings- och forskningsarbete kring kursplanefrågor för gymnasieskolan och övriga
skolformer?
-
Hur bör matematikämnet i framtidens gymnasieskola se ut på lång sikt, om vi bortser
från ramverket i nuvarande uppdrag från regeringen till Skolverket?
-
Hur kan vi på bästa sätt stödja och ge bidrag till pågående kursplanearbete utifrån ett
framtidsperspektiv om vi också tar hänsyn till ramverket i nuvarande uppdrag?
Under augustiseminariet diskuterades alla tre frågorna och som ett resultat bildades en idégrupp,
vars arbete kommer att uppmärksammas under vårt seminarium. Den andra och tredje frågan gav
upphov till ett omfattande engagemang som innebar något av ett trendbrott vad gäller svenskt
kursplaneskrivande i matematik. Ett stort antal personer och miljöer engagerade sig offentligt i
pågående kursplanearbete, oftast ideellt, och påverkade på olika sätt det färdiga förslaget.
Skolverkets nya förhållningssätt att redovisa pågående arbete och inbjuda till diskussion bidrog
också till öppenhet i arbetet. Den stora mängden bidrag avslöjade dock att det på många områden
finns motstridiga uppfattningar om hur gymnasieskolans matematik bör se ut. I vårt seminarium
tänker vi redovisa några sådana kritiska områden.
807
Malaria och klamydia- en matematisk modell
Sedan länge har matematiska modeller varit mycket viktiga inom teknik och fysik. Den kraftigt
ökade tillgången till datakraft har gjort att matematiska modeller nu används inom många andra
områden som ekonomi, biologi, medicin osv. Föredraget belyser denna utveckling ger en enkel
beskrivning av en modell för smittspridning av malaria och veneriska sjukdomar. Några viktiga
mönster i spridningsförloppet illustreras genom att simulera modellen med dator.
Thomas Martinsson, lektor i matematik vid Karlstads universitet.
Föreläsning
Alla
Dokumentation
Ämnet för denna föreläsning har jag valt för att visa ett intressant exempel på modellering, som
är ju ett viktigt moment i matematikundervisningen enligt dagens läroplaner för grundskola och
gymnasiet. Ett annat skäl är att visa på ett exempel på en matematisk modell från det medicinska
vetenskapsområdet. De flesta vetenskaper använder statistikteori för att analysera och dra
slutsatser från insamlade datamängder och alla vet att matematiska modeller är viktiga inom
teknik och fysik. Färre vet att matematiska modeller spelar en allt större roll inom allt fler
vetenskaper. Detta visas bl.a. av senare års nobelpris inom ekonomi som många gånger avsett
utveckling av nya modeller för olika ekonomiska situationer. Kraftfulla datorer och matematiska
modeller har blivit ett värdefullt redskap för biologer som studerar evolution eller
populationsutveckling eller för konstruktörer av datortomografer, magnetröntgenkameror mm.
En matematisk modell som belyser dessa aspekter är Ross matematiska modell för spridning av
malaria. Denna modell kan också användas för att beskriva venerisk smittspridning t.ex.
klamydia
Ross modell
För drygt hundra år sedan kunde Ronald Ross, som var professor i tropikmedicin, beskriva
mekanismerna vid spridning av malaria och malariamyggans roll i denna.
Malaria är en infektionssjukdom som orsakas av en parasit vars livscykel har flera olika former.
Hos en infekterad människa finns parasiten i merozoitform och i gametocytform. Om en icke
infekterad mygga biter en infekterad människa kan parasiten överföras till myggan och utveckla
nya former (bl.a.sporozoiter) som sedan kan överföras till en frisk människa genom bett av en
infekterad mygga. Spridningen är alltså ett samspel mellan infekterade människor och
infekterade myggor och smittar inte från människa till människa. Sedan Ross klargjort hur
smittan spreds så utarbetades en matematisk modell för smittspridningens dynamik. Med hjälp
av modellen fick man ökad insikt om vilka faktorer som får andelen sjuka människor att minska
och om det är teoretisk möjligt att få den att minska till noll dvs. att malarian utrotas.
Spridningen av veneriska sjukdomar följer samma matematiska modell. Enda skillnaden är att i
modellen ersätta människor och mygg med män och kvinnor
För att få en enkel modell antar vi att myggstammen resp. människopopulationen är ungefär
konstanta i storlek under den tid vi vill studera smittspridningen. Det betyder att det dör per år
ungefär lika många människor som det föds och analogt för mygg.
Vi gör följande schematiska diagram för vårt system där rektanglarna anger de olika nivåerna
och ”rören” anger till- och från-flöden
Tillf risk män
Friska män
Inf män
Smitt män
Smitt my gg
inf my gg
f riska my gg
Tillf risk my gg
För att få en fungerande modell måste man ange hur ”kranarna” skall ställas in i varje tidpunkt.
Med andra så måste man hitta lämpliga matematiska formler som beskriver hur många
människor resp. mygg som smittas per månad samt hur många människor resp. mygg som
”tillfrisknar” per månad. För myggens del beror ”tillfrisknandet” enbart på att infekterade mygg
dör och ersätts med nykläckta friska mygg. För att kunna skriva formler behöver vi införa några
konstanter.
N1 totala antalet människor
N2
får i snitt per månad
r1 tillfriskningsintensitet för människor
får i snitt per månad
r2 tillfriskningsintensitet för mygg
α1 antalet myggbett en människa
totala antalet mygg
α2 antalet myggbett en mygga
c
Vid tidpunkten t betecknar vi antalet infekterade människor med X(t)=x(t)N1 där x(t) anger
relativa andelen infekterade människor. Analogt betecknar vi antalet infekterade myggor med
Y(t)=y(t)N2. Observera att x(t) och y(t) antar värden från 0 till 1.
Vi har antagit att i snitt får varje människa α1 antal bett per månad och analogt biter varje mygga
i snitt α2 antal människor per månad. Totala antalet bett per månad blir då
α1N1 = α2N2 .
(E1)
Antalet människor som smittas under en månad beror av hur många smittöverförande bett av
infekterade myggor som de friska människorna får. Totala antalet bett per månad är ju α1N1 och
om vi multiplicerar med y(t), som är andelen smittade mygg, och med [1-x(t)], som är andelen
friska människor, så får vi ett rimligt uttryck för antalet nysmittade människor per månad. Alltså
blir antalet nysmittade människor per månad
α1N1 y[1-x]
(E2)
Detta är en hastighet som varierar dag för dag eftersom x(t) och y(t) varierar.
(Det matematiska begreppet för detta är derivata.)
Antalet som tillfrisknar per månad modellerar vi med
r1xN1,
där r1 kallas tillfriskningsintensiteten. (E3)
Dividerar vi med N1 så får vi att andelen smittande människor ökar respektive minskar med
hastigheterna
αy[1-x]
respektive r1x
(E4+E5)
Analogt får myggpopulationen ett tillskott av infekterade myggor genom att friska myggor biter
infekterade människor och en tillfriskning genom att smittade myggor dör och friska föds.
Hastigheten för ökning och minskning blir för mygg
α2 y[1-x]
respektive r2x
(6.3)
Detta ger följande diagram där de smala pilarna anger anger vad som beror av vad och ringarna
anger modellens olika konstanter (parametrar).
Inf ekt människor
tillf riskning män
tillf risk intens män
Friska människor
antal my gg per människa
smittning män
bettint människa
smittning my gg
bettint my gg
Friska my gg
Inf ekt my gg
tillf riskning my gg
döds intens my gg
Anmärk: I diagrammet är bara en bettfrekvens angiven nämligen α2 men α1 beräknas med hjälp
α1 = α2N2/ N1 från E1
Med hjälp av lämpligt datorprogram t.ex. Stella så kan man sedan göra olika simuleringar av detta
system. Här visas två diagram som visar hur malarian utvecklar sig med en mängd olika
startpunkter. Konstanterna är olika i de två fallen. Den kritiska är om värdet av
α1α 2
r1r
ä’r mindre
resp. större en 1. För diagram 1 är det mindre än 1 och för diagram 2 är det större än 1 vilket ger
helt olika utvecklingar. Andelen smittade människor resp. mygg är plottade längs x- resp. y-axeln.
smittade my gg v . smittade män…: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 1,0
0,5
0,0
0,0
Page 1
0,5
smittade människor
1,0
18:36
den 3 dec 2005
Diagram 1 maralian dör ut
smittade my gg v . smittade män…: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 1,0
0,5
0,0
0,0
Page 2
0,5
smittade människor
1,0
18:43
den 3 dec 2005
Diagram 2 Malarian når en jämv ikt
Utrymmet räcker inte för att beskriva hur man kan göra samma simuleringar i Excel. Men mer
information och bland annat ett Excel-dokument kommer jag att lägga ut på min hemsida
http://www.ingvet.kau.se/~thomas/
