Elektromagnetiska vågor (Kap. 32)
Hur elektromagnetiska vågor uppstår
Laddning i vila:symmetriskt radiellt fält,
Konstant hastighet: osymmetriskt radiellt fält
samt ett magnetfält.
Konstant acceleration: krökta flödeslinjerna och en
elektromagnetisk vågpuls börjar uppstå.
1)
2)
3)
t= 0 är laddningen i vila
konstant acceleration fram till t = t1,
konstant hastighet.
En e.m. vågpuls emitteras: amplituden är
vinkelberoende. Den är starkast vinkelrätt
mot färdriktningen och försvinner längs färdriktningen.
Det elektromagnetiska spektrumet
En oscillerande elektrisk dipol strålar ut e.m.vågor
Elektromagnetisk strålning: accelererade laddningar.
Oscillerande dipol
En källa för radiovågor är en dipolantenn.
koordinatsystem
den utsända vågen
En oscillerande elektrisk dipol strålar ut e.m.vågor
Maxwells ekvationer
Elektriska fältlinjerna kröks
i sina integrala former
Gauss lagar
Amperes lag
OBS: Det finns ett
tillhörande magnetiskt fält,
med det har inte ritats in!
Faradays induktionslag
(OBS: Ekvationerna gäller i vakuum. I ett (homogent) material byts !0 resp. µ0 mot ! resp. µ.)
Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:
Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:
Vilka villkor sätter Maxwells ekvationer?
Testa Gauss lagar…
Gauss lagar är visst uppfyllda: det totala E- och B-flödet genom ytorna
försvinner (eftersom ingen laddning är innesluten).
Vi konstruerar en plan vågfront med konstanta fältstyrkor som rör sig åt höger (i +xriktningen) med en viss okänt hastighet c
$ E " dA =
I varje punkt bakom vågfronten
har E- och B-fält samma styrka och
samma riktning!
Qinnesl
=0
#0
$ B " dA = 0
Gauss lagar
E = (0, E,0)
B = (0,0,B)
!
Uppfyller en sådan konstruktion
Maxwells ekvationer?
!
Skulle lagarna också uppfyllas ifall
vågen hade fältkomponenter längs x-axeln?
(Visa själv att det inte skulle det…)
Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:
Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:
Testa Faradays lag…
Testa Amperes lag…
#
d%
E " dl = $ B
dt
Faradays lag
Först integrerar vi E-fältet motsols runt rektangeln efgh:
# E " dl = $Ea
!
Michael Faraday
– Ea = – Bac
E=cB
% B " dl = µ #
0 0
Det elektriska flödet ändras i den vita rektangeln med:
!
Det magnetiska flödet ändras i vita rektangeln med: d" B = B(ac # dt)
!
d$E
dt
Först integrerar vi B-fältet motsols runt rektangeln efgh:
Amperes lag (utan ström iC):
Insättning ger: µ0!0Ec = B
# B " dl = Ba
d"E = E(ac # dt)
!
!
dvs. i och med att E = cB
måste c =
!
1
µ0"0
Vy längs y-axeln
Numeriskt värde:
c =3.00 108 m/s
!
E- och B-fält är alltså
proportionella till varandra!
!
Vy längs z-axeln
Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:
Konstruktion av en plan elektromagnetisk våg:
Testa Amperes lag…
Sammanfattning…
Vi har visat att..
Vy längs y-axeln
•Elektromagnetiska vågor är transversella: E- och B-fält står vinkelrätt mot varandra och är
vinkelrätt till utbredningsriktningen som definieras av vektorprodukten E x B (högerhänt
system)
•E = cB
•Vågens hastighet är konstant = c i vakuum = 3 108 m/s
•Inget medium är nödvändigt: Det som oscillerar är E- och B-fälten!
•E-fältet definierar vågens polarisationsriktning (linjär polarisation)
B=µ0!0E
c2=1/µ0!0
Vågekvation för en plan elektromagnetisk våg som utbreder sig
längs x-axeln
Maxwells ekvationer
i sina differentella former
"2 E y (x,t)
"2 E y (x,t)
= #0µ0
"x 2
"t 2
Maxwells ekvationer kan också skrivas om till differentiell form:
$
" # E = (divE ) =
%0
" # B = (divB ) = 0
!
!
!
" # E = (rotE ) = $
"2 Bz (x,t)
"2 Bz (x,t)
= # 0 µ0
"x 2
"t 2
%B
%t
" # B = (rotB ) = c 2$0 J + $0
!
%E
%t
där
!
" 0 µ0 =
1
c2
Vågekvationen kan enkelt härledas formellt m.h.a. Maxwells
ekvationer (läs själv
! i UP: Kap. 32 sid. 1221f.):
!
Sinusformade (harmoniska) elektromagnetiska vågor
Vågorna som E- och B-fälten bildar
hänger alltså ihop och är i fas!
Exempel
Storleksordningar ":
Storleksordningar fältsyrkor:
Våglängd 220V-nätet: ???
CO2- laser med "=10.6µm
Våglängd FM-radio: ???
E-fältamplitud: ~106 V/m
B-fältamplitud: 0.005 T
Hur beräknar man intensiteten?
Hur påverkar materia elektromagnetiska vågor ?
I materia ändras fashastigheten till:
µr!1
#!r: 6"8
Energiflöde och Poyntingvektorn
c
v=
µr"r
dU
"u
dV
OBS:! för oscillerande fält har andra
värden än för konstanta fält
för dielektriska material (isolatorer) som glas
! annars)
(men kan varierar stort
Energi-innehållet i en volymenhet av strålen
För en plan harmonisk elektromagnetisk våg gäller:
u = 12 " 0 E 02 + 2 µ1 0 B02
!
med
E
B=
c
dV = Ac" dt
blir det
u = "0E
2
0
!
Strålens energiflödesdensitet blir:
#c/v=n kallas materialets brytningsindex.
!
S=
S =c
Diamant har brytningsindex n=2.42. Hur stor är natriumljusets
vakuumvåglängd och dess våglängd i diamant, samt ljusets
fashastighet i diamant?
!
!
!
1 dU 1 dU
=
Ac
A dt
A dV
dU
= c" 0 E 02
dV
Vågens intensitet (irradians) är tidsmedlevärdet av
dess effekt per ytenhet som strålen täcker:
!
I = S = 12 c" 0 E 02
Den riktade energiflödesdensiteten kallas för
r
S=
Poyntingvektor och kan skrivas som:
1
µ0
r r
E"B
!
En elektromagnetisk våg överför rörelsemängd
strålningstryck
Stjärnatmosfärens kollaps motverkas
av strålningstrycket
!
Stående elektromagnetiska vågor
Vågen rör sig i –x riktningen.
E-fältet negativt och B-fältet positivt
E y,in (x,t) = "E 0 cos(kx + #t)
OBS: De här mäter däremot INTE
strålningstrycket!
Bz,in (x,t) = B0 cos(kx + "t)
Vågen reflekteras.
Inducerar oscillationer i elektroner i materialet.
En reflekterad våg i +x riktningen tar ut den inkommande
vågens elektriska fält i spegelytan.
!
!
E y,refl (x,t) = E 0 cos(kx " #t)
En volymenhet av strålen innehåller rörelsemängd: dU = c" dp
dU
dp
dp
= c2
= c2
= c" prad
Energiflödesdensiteten hänger ihop med strålningstryck: S = c
dV
dV
cA" dt
!
S
prad =
strålningen helt absorberad
c
!
!
!
prad = 2
S
c
strålningen helt reflekterad
Bz,refl (x,t) = "B0 cos(kx " #t)
!
!
Superposition ger en stående våg
(E alltid = 0 i x =0):
E y,tot (x,t) = E 0 (cos(kx + "t) # cos(kx # "t)) = 2E 0 sin(kx)sin("t)
Bz,tot (x,t) = "B0 (cos(kx + #t) + cos(kx " #t)) = "2B0 cos(kx)cos(#t)
!
!
E är alltid = 0 i punkter x = 0, "/2, ", 3"/2,…
B är alltid = 0 i punkter x = "/4, 3"/4, 5"/4,…
E och B är alltså 90o ur fas med varandra.
dvs. nodplan i E
dvs. nodplan i B
spegelyta
Stående elektromagnetiska vågor
Sammanfattning, Elektromagnetiska Vågor
t.ex. i en laser
•Ett tidsberoende elektriskt fält medför att ett tidsberoende magnetiskt fält uppstår runt
omkring det första (och vice versa) - en elektromagnetisk våg uppstår.
•Elektromagnetiska vågor är transversella vågor där E- och B-fält är
vektorer som står vinkelrätt på varandra.
Två ledande plan (speglar) blir nodplan för E.
Avståndet L mellan planen……………"n = 2L/n
(n = 0 1, 2, 3,…)
Frekvenserna…………………………..fn = c / "n = n c/2L
(n = 0 1, 2, 3,…)
Man får en serie med (longitudinella) normalmoder .
Hur långt ifrån varandra är noderna i
en mikrovågsugn (f=2.45 GHz)?
1
Ljushastigheten (i vakuum): c =
µ0"0
Energiflödestäthet&
Poyntingvektor !
S=
E "B
µ0
=cB
Ljushastigheten i ett dielektrikum:
vljus<c
v ljus =
1
"µ
Impulsflödestäthet& p = Smedel = [EB]medel
rad
c
µ0c
Strålningstrycket
!i elektromagnetiska vågor:
Fasförhållandet mellan E- och B-fält
Fria e.m. vågor:
i fas
stående e.m. vågor
90o !
ur fas med varandra
Spegel
!
delvis genomskinlig
Laser resonanskavitet
E- och B-fält proportionellt till varandra i en e.m våg: E
Vågor kan med fördel adderas som fasvektorer
som har längd (=amplitud) och vinkel (=fas)
Spegel
