Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält

Institutionen för fysik
Ú
2014–08–11
Kjell Rönnmark
Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält
Syfte
Magnetisk dipol och harmonisk oscillator är två mycket viktiga modeller inom
fysiken. Laborationens syfte är att ge en djupare förståelse av dessa modeller, de approximationer som leder fram till dem, och hur approximationerna
begränsar modellernas tillämpning på praktiska problem.
I laborationen bestäms först en permanentmagnets magnetiska moment genom
att mäta hur magnetfältets styrka varierar med avståndet. Sedan undersöks
vid vilken amplitud magnetens svängningar i fältet från en kort spole inte
längre kan betraktas som harmoniska. Slutligen bestäms det magnetiska momentet genom mätning av med vilken frekvens magneten svänger i det inhomogena magnetfältet.
Utrustning
•
•
•
•
•
•
•
Permanentmagnet
Spole med glidbana och ryttare
Strömkälla, GPR 3060 (kan leverera 5A, 30V)
Amperemeter (→ 5A, upplösning 0.01 A)
Magnetometer (Hallprob) med mätbord
Våg
Stoppur
1
Fig. 1. Magnetiskt dipolfält
Teori
Om man undersöker fältet kring en liten magnet liknar många av dess egenskaper en magnetisk dipol. En magnetisk dipol är helt enkelt en strömslinga
vars radie r är myckt liten i förhållande till alla andra avstånd. Den kan
fullständigt beskivas av sitt magnetiska moment µ
µ = NIA n̂
(1)
där I är strömmen som går N varv runt kanten på en yta med area A
och normalvektor n̂. Magnetfältet från en dipol kan, efter ganska besvärliga
räkningar, skrivas
µ (2)
B(r) = 0 3 3(µ · r̂)r̂ − µ ,
4πr
och fältlinjernas form visas i Fig 1.
Om vi inför polära koordinater med z-axeln längs n̂ och bara betraktar punkter
längs axeln, r = z n̂, ges magnetfältets styrka av
µ µ
Bz (z) = 0 3
(3)
2πz
En permanentmagnet är uppbyggd av en stor mängd mikroskopiska dipoler,
som är mer eller mindre parallella. Det är omöjligt att mäta I och A på atomär
nivå, men om man inte kommer för nära själva magneten kan den beskrivas av
ett enda magnetiskt moment µP , som är vektorsumman av de många ingående
atomenas magnetiska moment. Genom att mäta Bz (z) och avståndet z till
magnetens mitt kan vi med hjälp av (3) beräkna dess magnetiska momentet
µP .
I laborationen används också en större spole. På några meters avstånd skulle
också den kunna betraktas som en dipol, men vi är här intresserade av magnetfältet i spolens centrum, och då kan vi inte försumma spolens radie R.
2
Med hjälp av Biot-Savarts lag kan magnetfältet längs axeln i en punkt på
avståndet z från centrum på en spole med magnetiska moment µR = πR2 NI
skrivas (Benson, Ex. 30.3, sid 610)
Bz (z) =
µ0 NIR2
µ0 µR
=
,
2(R2 + z 2 )3/2
2π(R2 + z 2 )3/2
(4)
Notera att då R → 0 får (4) samma form som (3). Magnetfältet är maximalt
i spolens mitt (z = 0) där de magnetiska fältlinjerna ligger tätast. Det magnetiska flödet Φr = πr 2 Bz genom de skuggade ytorna i Fig 2. är oberoende av
z om r(z) är avståndet från z-axeln till en viss fältlinje. Genom Taylorutveckling av Φr (z + ∆z) får vi
Br
B
I
Bz
r (z)
z
R
Fig. 2. Magnetfältet från en cirkulär spole.
dΦr (z)
d 2
πr (z)Bz (z)
= Φr (z) + ∆z
# dz
"dz
dBz
dr
,
= Φr (z) + ∆z π 2r Bz + r 2
dz
dz
Φr (z + ∆z) = Φr (z) + ∆z
(5)
som eftersom Φr är konstant måste vara oberoende av ∆z. Då måste uttrycket
inom [ ] vara noll, vilket ger
Bz
dr r dBz
+
= 0.
dz 2 dz
(6)
Att fältlinjerna alltid är parallella med B betyder att (se Fig. 2)
dr
Br
=
,
dz
Bz
3
(7)
och med hjälp av detta kan vi ur (6) lösa ut det radiella magnetfältet
Br = −
r dBz
.
2 dz
(8)
Kraften på ett strömelement I dl är vinkelrät mot B och ges av (Benson, ekv.
29.5)
dF = I dl × B.
(9)
På en liten strömslinga med radie r kommer alltså magnetfältets
radiella
R
komponent Br att ge en kraft i z-riktningen. Eftersom dl = 2πr i detta
fall blir kraften på strömslingan, med hjälp av (8),
Fz = I2πrBr = −Iπr 2
dBz
dBz
= −µ
dz
dz
(10)
En liten strömslinga på den stora spolens axel påverkas alltså av en kraft som
är proportionell mot dess magnetiska moment. Detta gäller också för en permanentmagnet µP , som ju är uppbyggd av många mikroskopiska strömslingor.
Uppgift 1: Beskriv, med ekv (9) som utgångspunkt, i ord och bild hur
kraftens riktning beror på hur strömmen i spolen förhåller sig till de atomära
strömmarna i permanentmagneten!
4
Uppgift 2: Beräkna med hjälp av (4) och (10) kraften Fz på en liten
permanentmagnet med magnetiskt moment µP på avståndet z från spolens
centrum.
Uppgift 3: Om z ≪ R kan Fz förenklas genom att sätta (1 + z 2 /R2 ) ≈ 1.
Hur stort blir maximala felet i Fz om z ≤ R/10?
Om vi linjäriserar Fz genom approximationen (1 + z 2 /R2 ) ≈ 1 får vi rörelseekvationen
d2 z
3µ µP NI
m 2 = Fz = − 0 3
z
(11)
dt
2R
där m är den svängande massan (magnet och ryttare). Denna ekvation beskriver en harmonisk svängningsrörelse med frekvens
ω=
s
3µ0 µP NI
2mR3
(12)
Genom att experimentellt bestämma ω kan vi från (12) beräkna permanentmagnetens dipolmoment µP .
5
Genomförande av experimenten
Fig. 3. Gaussmeter med axiell Hallprob
Uppgift 4: Bestäm en permanentmagnets magnetiska moment µP genom
att mäta magnetfältets styrka på olika avstånd längs axeln.
Utförande:
Stavmagneten läggs i mätfixturen och magnetiska fältstyrkan mäts i stavmagnetens axiella riktning för 10 olika avstånd (2, 4, 6, 8, . . . , 20 cm). Använd
sedan ekvation (3) för att beräkna permanentmagnetens magnetiska moment
µP .
6
Fig. 4. Luftbana med ryttare och magnetspole
Uppgift 5: Bestäm vid vilken svängningsamplitud linjäriseringen av rörelseekvationen genom approximationen (1 + z 2 /R2 ) ≈ 1 märkbart påverkar
svängningens vinkelfrekvens ω.
Utförande:
1. Montera stavmagneten med hjälp av dubbelhäftande tejp (mitt på och
parallellt med ryttaren).
2. Koppla tryckslang till tryckluftsuttag och skruva upp flödet på flödesregulatorn så att ryttaren lyfter.
3. Ställ in strömmen genom spolen på 5.00 A och släpp ryttaren med magnetens centrum 1 cm från spolens centrum. Klocka 10 svängningar med hjälp
av tidtagarur, och bestäm periodtiden. Gör sedan om samma mätning, men
öka amplituden i steg om 2 cm så långt det går.
Använd resultatet för att välja och motivera startamplituden i nästa uppgift!
7
Uppgift 6: Bestäm en permanentmagnets magnetiska moment µP genom
att mäta svängningsfrekvensen ω i ett inhomogent magnetfält.
Utförande:
1. Ställ in strömmen genom spolen på 1.00 A och släpp ryttaren med
magnetens centrum på lämpligt avstånd från spolens centrum. Klocka 10
svängningar med hjälp av tidtagarur och bestäm periodtiden.
Gör på samma sätt för varje 0.50 A upp t.o.m. 5.00 A ( 9 mätningar ).
8

Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält

Related documents

Products

Support

Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib