tentamen i matematik - Lunds Tekniska Högskola

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
Helsingborg
SVAR OCH ANVISNINGAR
ALGEBRA
2007-01-08
11
1. 10 10 .
2. a 
1
(3  b).
2
3.  x 2 .
4. x 
2
.
3
5. 2  2  2  2  3  3  144.
6. 18.
7.  2 ( x  6) 2  98 .
1
8.  .
2
9. x  9 eller x  3 .
10.
35
.
35
11. x 4  7 x 2  0  x 2 ( x 2  7)  0.
Svar: Ekvationen har rötterna 0 , 7 och  7 .
12. Förlänger man den andra termen med 2  i får man realdelen till
Svar: Talet blir rent imaginärt om b  1.
1
( 2  2b).
5
13. Polynomdivision ger
3x 4  6 x 3  5x 2  x  12  ( x  1)  k ( x)  r ( x) .
Svar: k ( x)  3x 3  9 x 2  14 x  15  kvoten och r ( x)  27  resten .
14. (3 x ) 2  3  3 x  4  0
Sätt t  3 x och vi får
t 2  3t  4  0  t  4 eller 1
1) 3 x  4 Denna ekvation saknar lösning. 2) 3 x  1  x  0.
Svar: x  0.
Var god vänd!
15. Med z  x  iy och därmed z  x  iy får vi
2i  ( x  iy )  3( x  iy )  12  13i 
 3x  2 y  i (2 x  3 y )  12  13i
Jämförelse av realdel och imaginärdel ger
Svar: z  x  iy  2  3i.
16.
10 x  20  2  x (1) ( Kvadrering )  10 x  20  (2  x) 2
 x 2  14 x  24  0  x  12 eller 2 .
En kontroll i ekv. (1) ger att bara x  2 duger.
Svar: x  2 .
x4
 ( x  4)( x  5) 
2
 ln( x  5)  2 ln 3 (1) 
ln 
  ln 3 
x3
x

3


( x  4)( x  5)
9
Detta ger andragradsekvationen
x3
x 2  7  x  7 eller  7 .
En kontroll i ekv. (1) ger att logaritmerna är definierade för båda rötterna.
Svar: x  7 eller  7 .
17. ln
2
1
( x  3)( x  1)
x 0  
0
x
x
x
Teckenschema ger
Svar: 0  x  3 eller x  1.
18. 2 
Sätt f ( x)  
19. sin 2 x  4 cos x  4  0 
Sätt t  cos x och vi får
cos 2 x  4 cos x  3  0
2
t  4t  3  0  t  3 eller 1 .
1) cos x  3 Denna ekvation saknar lösning.
2) cos x  1  x  n  2 , n  Z .
Svar: x  n  2 , n  Z .
20.

cos x 
cos 2 x 

  2 sin x cos x 
 sin x 
  2 sin x cos x   sin x 
tan x 
sin x 


 sin 2 x  cos 2

sin x

x
  2 sin x cos x  2 cos x

Klart.
SLUT!
( x  3)( x  1)
0
x