Seminarium 5 Differentialekvationer kapitel 8.1-8.2, 8.5-8.7
( I varje tentan finns det alltid minst ett tal om Differentialekvationer. Kolla själv extentor)
A. andra ordning differentialekvationer med konstantakoefficienterLäs ordentligt från
repetitions hemsida
Icke-homogena linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter
Homogena linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter
1. Bestäm den lösning till y!! " 4y = "4x som satisfierar y ( 0 ) = 2, y! ( 0 ) = 1
2. y! -12y= !24x ! 10 .
3. y!! + y! + y = x + 1
B. Första ordning differentialekvationer se kursboken kap 8
#% 1 + x 2 y! " xy = x
4. Lös $
Löses via integregrande faktorn se kursboken kap 8.2
&% y ( 0 ) = 2
5. Tal 8.13 i övningsboken
C. Tillämpmning
6. Befolkningarna i länderna A och B växer båda exponentiellt. I land A är
fördubblingstiden 50 år och i land B är fördubblingstiden 150 år. Idag bor
det dubbelt så många människor i land B som i land A. Hur länge dröjer
det innan befolkningarna i de båda länderna är lika stora? (09-12-19 tal5)
(
)
7. Vid en keramisk tillverkningsprocess tas produkten ut ur ugnen vid 800◦ C
och ställs att svalna i rumstemperatur 20◦ C. Professor P. vid Smockholts
universitet föreslår följande matematiska modell för förloppet: produktens
temperatur y(t) vid tiden t minuter efter uttagandet ur ugnen uppfyller att
1
y! ( t ) = ( y ( t ) " 20 ) ,!!!!!y ( 0 ) = 800
10
(1). Lös initialvärdesproblemet ovan.
(2). Diskutera modellens rimlighet.
( 10-03-13 tal5)
8. En vattenreservoar har förorenats av ett giftigt ämne. En naturlig rening sker genom att rent
vatten rinner in i reservoaren samtidigt som förorenat vatten rinner ut i samma takt. I
en modell över förloppet antas att koncentrationen K(t) av det giftiga ämnet vid tiden t
uppfyller differentialekvationen
K (t )
dK
=!
dt
1500
Hur lång tid tar det enligt denna modell för koncentrationen av det giftiga ämnet att halveras? (12-02-11 tal3)
9. I en viss bakteriepopulation ändras antalet bakterier med en hastighet som är proportionell
ln 3
mot antalet bakterier. Proportionalitetskonstant är k =
. Antalet bakterier vid tiden noll är
4
y0 .
a) Ställ upp en differentialekvation för antalet bakterier vid tiden t och lös den .
b) Hur lång tid tar det för bakterier att bli 27 gånger fler än begynnelseantalet y0 .
