UMEÅ UNIVERSITET
Institutionen för matematik
och matematisk statistik
Andreas Brodin
Tentamen, boknr. 126609, sal 8
Linjär algebra, 7,5 hp
24 mars 2012, 9:00-15:00
Hjälpmedel: Miniräknare
Lösningarna ska presenteras på ett sådant sätt att räkningar och resonemang är
lätta att följa. Avsluta varje lösning med ett tydligt angivet svar. Lycka till!
1.
Bestäm punkten där linjen
4−x=
1+z
3−y
=
2
4
skär planet x + 3y + z = 6.
2.
(3p)
Låt
1
1
1
B= x
b
2b .
2
2
x b 4b2
a. I fallet då x = 0 och b = 1 bestäm inversen till B och lös matrisekvationen (BX)T = (1 0 2).
Beräkningar måste redovisas.
b. Om b 6= 0, avgör för vilka värden på x som B är inverterbar.
(2p)
(1p)
För vilket värde på a är vektorerna (1, 1, 0), (1, a, 3) och (1, 0, 1) i R3 linjärt beroende? För
detta värde på a beskriv vektorn (1, a, 3) som en linjär kombination av de andra två.
(3p)
3.
4.
Planet Π i R3 innehåller punkterna P = (1, 0, 1), Q = (1, 1, 2) och R = (3, 1, −1).
a. Bestäm en ekvation för planet Π.
b. Bestäm en ON-bas för R3 med två av basvektorerna parallella med planet Π.
c. Ange standardmatrisen för ortogonal projektion på planet Π.
5.
a.
b.
c.
d.
e.
6.
(2p)
(2p)
(1p)
Avgör om påståendet är sant eller falskt och förklara varför det är så med ett bevis eller
motexempel.
Om ett system av linjära ekvationer har fler obekanta än ekvationer så har det oändligt många
lösningar.
För kvadratiska matriser A och B med samma storlek gäller att (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 .
Om en matris har fler rader än kolumner så är radrummets dimension högre än kolumnrummets.
Om u, v och w är vektorer i R3 med u · v = u · w och kuk =
6 0 så är v = w.
3
Om u, v och w är vektorer i R med u × v = u × w och kuk =
6 0 så är v = w.
(1p)
(1p)
(1p)
Låt 2 × 2 matrisen
(3p)
A=
x y
y x
(1p)
(1p)
för ett par tal x och y. Diagonalisera A och visa att för heltal n ≥ 1 så gäller att
1 1
1
−1
n
n
n
2A = (x + y)
+ (x − y)
.
1 1
−1 1
7.
Tre vektorer i R4 är v = (1, 1, 2, −1), u = (2, −1, 3, 2) och w = (−1, 5, 0, −7). Ange en matris
A vars nollrum är span{v, u, w}.
(2p)
