SON JUNNES JONAS S RÖM HOLMST MARTIN DHAMRE EVA SME M4 sa rtryck.indb 1 12-12-13 16.00.12 R1140-090 Detta är ett särtryck ur ISBN 978-91-47-10909-8 © 2013 Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exakta, Malmö Tryck: Egypten 2013 BILDFÖRTECKNING Omslagsfoto: Matton Images 1–2 Janos Jurka/Naturfotograferna/IBL 9 Denny Lorentzen/Scanpix 21, 28, 31, 35 Shutterstock 38 Berit Roald/Scanpix 61, 63 Shutterstock Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: [email protected] M4 sa rtryck.indb 2 12-12-13 16.00.13 Januari 2013 Hej! Det här särtrycket innehåller första kapitlet i boken Matematik M4 som utkommer i juli 2013. Boken i sin helhet består av fyra kapitel. Vi föreslår att kursens totala timtal fördelas på ungefär följande sätt: 1 Trigonometri 30 % 2 Derivator 30 % 3 Integraler 20 % 4 Komplexa tal 20 % I planeringen ovan ingår tid för repetition och prov. Lycka till med kursen! Författarna 1 M4 sa rtryck.indb 1 12-12-13 16.00.14 Mål i det här kapitlet får du lära dig • härleda trigonometriska samband med hjälp av enhetscirkeln • använda trigonometriska formler • algebraiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer • Grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer • egenskaper hos trigonometriska funktioner • använda trigonometriska funktioner i tillämpade sammanhang • lösa problem med hjälp av trigonometri • Undersöka matematiska samband med digitala hjälpmedel • hantera trigonometriska uttryck • Genomföra bevis M4 sa rtryck.indb 2 12-12-13 16.00.21 KApiTeL 1 1 trigonometri BEGrEPP periodisKA förLopp I tidigare kurser har vi använt trigonometri för att beräkna vinklar och sträckor i geometriska figurer. Här ska vi utvidga trigonometrin och möta nya tillämpningsområden. Formler och lagar som du får lära dig i det här kapitlet kan användas i t ex ellära, optik och akustik. Många händelser i naturen återkommer med bestämda mellanrum, man säger att de är periodiska. exempel: • I en ljudvåg varierar lufttrycket periodiskt. • ”Dagens längd” varierar under året. • I en väggkontakt varierar den elektriska spänningen. • Solfläcksaktiviteten varierar periodiskt och når maximal intensitet vart elfte år. Vattendjupet i t ex en hamnbassäng ändras periodiskt och kan beskrivas med en trigonometrisk funktion. Om vattendjupet är h m efter t timmar får vi sambandet πt h(t ) = 1,5 + 2sin 6 Längst ner på sidan ser du grafen till funktionen. enhetscirkel Genom att matematiskt beskriva detta naturfenomen kan vi svara på frågor som: När är djupet mer än 3 m? Hur länge är hamnbassängen tom? Kapitlet ger dig kunskaper så att du kan analysera den här och liknande funktioner. additionsformlerna trigonometriska ettan amplitud period cosinuskurva sinuskurva tangenskurva subtraktionsformlerna dubbla vinkeln radian båge cirkelsektor Listan kan göras lång. Periodiska händelser kan ofta beskrivas matematiskt med hjälp av trigonometriska funktioner. Låt oss titta på tidvattnet som är ett periodiskt förlopp. Två gånger per dygn är det högvatten (flod) och två gånger är det lågvatten (ebb). Det är gravitationen mellan jorden och månen som ger upphov till tidvattnet. T.v. och ovan: Bilderna visar samma plats vid ebb (lågvatten) och vid flod (högvatten). meter h 3 h(t) = 1,5 + 2sin πt 6 2 1 t 5 10 15 20 triGonometri M4 sa rtryck.indb 3 timmar 3 12-12-13 16.00.24 KApiTeL 1 1.1 grAfernA TiLL y = sin x oCH y = cos x enhetscirkeln och några samband Låt oss titta på en rätvinklig triangel med hypotenusan 1. 1 v a Definitionen på sinus och cosinus ger b sin v = a =a 1 cos v = b =b 1 slutsats: I en rätvinklig triangel med hypotenusan = 1, gäller att motstående katet = sin v närliggande katet = cos v Titta nu på den rätvinkliga triangeln i enhetscirkeln. Eftersom hypotenusan = 1, är alltså kateterna sin v och cos v. sin v 1 –1 1 v cos v (x, y) 1 –1 ! definiTion: En enhetscirkel har radien 1 och medelpunkt i origo. cos v = x-koordinaten där radien för vinkeln v skär enhetscirkeln sin v = y-koordinaten där radien för vinkeln v skär enhetscirkeln tan v = y x = sin v cos v Vinkeln v mäts från den positiva x-axeln. y 2 1 x 3 4 M4 sa rtryck.indb 4 4 Du kommer väl ihåg hur koordinatsystemets fyra kvadranter numreras. Se bilden. 1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x 12-12-13 16.00.25 KApiTeL 1 Titta på enhetscirkeln igen. Pythagoras sats ger följande samband: (sin v)2 + (cos v)2 = 1 Detta kallas trigonometriska ettan. Uttrycket (sin v)2 kan också skrivas sin2 v, och utläses ”sin-kvadrat-v”. ! sATs: Trigonometriska ettan sin2 v + cos2 v =1 y Sedan tidigare vet vi att sin 30° och sin 150° har samma värde. Se enhetscirkeln till höger som visar att 1 180° – v v cos(v) cos(180–v) sin(180° – v) = sin v cos(180° – v) = –cos v Från den här bilden kan vi se att cos (–v) = cos v 1 y 1 sin v sin (–v) = –sin v Eftersom tan v = x v sin v får vi att cos v tan (180° – v) = – tan v –v x 1 sin(–v) tan (–v) = (–tan v) ! sin (180° – v) = sin v sin (–v) = –sin v cos (180° – v) = –cos v cos (–v) = cos v tan (180° – v) = –tan v tan (–v) = –tan v triGonometri M4 sa rtryck.indb 5 5 12-12-13 16.00.26 KApiTeL 1 Vad händer med sin v och cos v om vi lägger till 360° till vinkeln v? Att addera 360° innebär att radien får rotera ytterligare ett varv. Detta medför att sin (360° + v ) = sin v och att cos (360° + v) = cos v Man säger att perioden för sinus och cosinus är 360°. Vi får t ex att sin 30° = sin (30° + 360°) = sin 390° y Låt oss nu undersöka vad som händer om vi lägger till 180° till vinkeln v? 1 v + 180° Bilden visar att sin v = b och sin (v + 180°) = –b cos v = a och cos (v + 180°) = –a (a, b) x v 1 (–a, –b) För tan (v + 180°) gäller alltså tan( v + 180° ) = sin( v + 180° ) −b b = = = tan v cos( v + 180° ) − a a ! sin (v + 180°) = –sin v cos (v + 180°) = –cos v tan (v + 180°) = tan v Att tan (v + 180°) = tan v betyder att tangens har perioden 180°. Om vi adderar en period, dvs 180° för tangens, får vi alltså samma värde som tan v. Detta innebär t ex att tan 5° = tan 185° = tan 365° ! PERIOD 6 M4 sa rtryck.indb 6 sin v = sin (v + n · 360°) där n är ett heltal 360° cos v = cos (v + n · 360°) där n är ett heltal 360° tan v = tan (v + n · 180°) där n är ett heltal 180° 1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x 12-12-13 16.00.27 KApiTeL 1 EXEMPEL 1 För en vinkel v gäller att 90° < v < 180° och sin v = 0,6. Bestäm cos v utan att använda räknare. Vi söker alltså x-koordinaten i enhetscirkeln för den punkt som har y = 0,6 och ligger i andra kvadranten (eftersom 90° < v < 180°). y Trigonometriska ettan ger (cos v)2 + (sin v)2 = 12 cos2 v + 0,62 = 1 cos2 v = 1 – 0,36 cos2 v = 0,64 1 (x, 0,6) 1 v x –1 1 cos v = ± 0,64 = ± 0,8 –1 Här gäller endast den negativa lösningen, eftersom vi vet att koordinaten finns i andra kvadranten. svar: cos v = –0,8 EXEMPEL 2 Antag att du vet att sin35° ≈ 0,57, cos 35° ≈ 0,82 och tan 35° ≈ 0,70. Bestäm följande utan att använda räknare. a) cos 755° = cos (755° – 2 · 360°) = cos 35° ≈ 0,82 Vi subtraherar 2 perioder. b) tan (–145°) = tan (–145° + 180°) = tan 35° ≈ 0,70 Vi adderar en period. c) sin (–395°) = sin (–395° + 360°) = sin (–35°) ≈ –0,57 EXEMPEL 3 Bestäm det exakta värdet för tan 480° om du vet att tan60° = 3 Vi subtraherar 3 perioder och får 480° – 3 · 180° = –60° tan480° = tan120 °== tan(180 ° − 120 tan60 tan 480° tan (–60°) = °–) = tan 60° °==– 3 svar: tan 480° = – 3 triGonometri M4 sa rtryck.indb 7 7 12-12-13 16.00.29 KAPITEL 1 1101 Använd enhetscirkeln och bestäm. 1107 Avgör, utan att använda räknare, a) cos 90° b) sin 90° c) cos 180° d) sin 180° vilka av följande likheter som är rätt. Motivera. e) cos 270° f) sin 270° a) sin 40° = sin (–40°) b) cos 40° = cos (–40°) 1102 a) Du vet att sin 30° = 0,5. c) sin 580° = sin 40° Ange ytter­ligare en vinkel som har sinusvärdet 0,5. b) Utgå från cos 60° = 0,5 och bestäm ytterligare en vinkel som har cosinus­värdet 0,5. d) tan 40° = tan 580° 1108 Bestäm med hjälp av 5 figuren sin v och tan v. v 4 1103 Bestäm följande trigonometriska värden med hjälp av figuren. 1109 a) Använd trigonometriska ettan och y bestäm det exakta värdet av sin v om cos v = 3 / 10. 1 b) Bestäm tan v när du vet att cos v = 5 / 13 och vinkeln v ligger i första kvadranten. (0,93; 0,37) x 22° 1 1110 Rita en enhetscirkel och förklara a) sin 22° b) cos 22° c) sin 202° d) sin 338° e) cos (–22°) f) cos 1598° sambanden cos (180° – v) = –cos v och sin (180° – v) = sin v. 1111 I enhetscirkeln har punkten P koordinaterna (a, b). y 1104 Bestäm följande utan räknare. 1 a) sin 750° då sin 30° = 0,5 P b) tan 20° då du vet att tan 200° ≈ 0,36 c) sin 340° då du vet att sin 20° ≈ 0,34 (a, b) x v –1 1 1105 En vinkel v finns i 1:a kvadranten. Bestäm med hjälp av trigonometriska ettan värdet av cos v då sin v = 5 / 13. –1 Bestäm med hjälp av figuren 1106 Använd trigonometriska ettan och att sin 30° = 0,5 när du bestämmer följande. 2 2 a) (sin 60°) + (cos 60°) 2 b) 1 – (sin 30°) 8 M4 sa rtryck.indb 8 a) sin v b) sin (180° – v) c) cos v d) cos (–v) 1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x 12-12-13 16.00.30 KApiTeL 1 1112 Lös denna NP-uppgift utan räknare. 1115 Ordna följande tal i storleksordning: a = sin 24°, b = cos 100° och c = sin 165°. Motivera ditt svar. I den spetsvinkliga triangeln ABC är sin A = 0,6. a) Bestäm värdet av sin (B + C) b) Bestäm värdet av cos (B + C) (Np Ma D 2005 ) (Np Ma D Vt 2011) B 2 1113 Beskriv de tre uttrycken cos x , (cos x)2 och cos cos x. Är det något av uttrycken som betyder samma som cos2 x? 1114 Punkten P har koordinaterna (a, b). A 1116 y T 1 C Ge exempel på två vinklar v, för vilka sin v inte gäller. definitionen tan v = cos v P (a, b) x v –1 1 R –1 S a) Bestäm koordinaterna för punkterna T, R och S i bilden. b) Använd resultatet i a för att visa sambandet sin v = cos (v + 270°) och cos v = –sin (v + 270°). TAnKenöT 1 En elev ska gö ra en koksaltlösn ing med koncentratione n 5,0 % och lö ser därför 5 g salt i 100 g vatten . Som tur var, så upptäcktes at t detta blev fel. Hur m ycket ytterlig are salt ska tillsät tas för att lösningen ska bli 5,0-procentig ? triGonometri M4 sa rtryck.indb 9 9 12-12-13 16.00.33 KApiTeL 1 sinuskurvor Vi börjar med ett praktiskt exempel. Bilden visar lilla Marja som åker ”pariserhjul”. D Antag att pariserhjulet har radien 5 meter och att hjulets medelpunkt är på samma höjd E som trädets topp. När Marja är allra högst upp, är hon alltså 5 meter över trädtoppen. När Marja är nere på marken igen, så är hon 5 meter under trädtoppen. y C B 5 5 y x A 5 F Vi kallar Marjas höjd över trädtoppen för y. Höjden y kan alltså variera mellan +5 m och –5 m. Höjden y beror på radiens vinkel x mot horisontalplanet, se bilden. Vi säger att höjden y är en funktion av vinkeln x. I nästa bild har vi ritat en graf som visar hur Marjas höjd över trädtoppen beror av vinkeln x. Grafen kallas sinus-kurva. Punkterna A–F på grafen motsvarar de punkter som är markerade på pariserhjulet. y Titta nu på den blå triangeln i pariserhjulet. Här ser vi att sin x = 5 dvs y = 5 · sin x. meter 5 y C D B A x E 90° –5 10 M4 sa rtryck.indb 10 360° F 1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x 12-12-13 16.00.35 KApiTeL 1 x 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° sin x 0 0,50 0,87 1 0,87 0,50 0 –0,50 –0,87 –1 –0,87 –0,50 0 Låt oss nu rita grafen till y = sin x för 0° ≤ x ≤ 360° Vi beräknar y = sin x för några olika vinklar x. Se värdetabellen. y 1 0,5 x 30° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360° –0,5 –1 Om vi inte har något begränsat intervall för vinkeln x, får vi grafen nedan. y en period 1 y = sinx A A x –180° –90° 90° 180° 270° 360° 450° 540° 630° 720° -1 Lägg märke till att kurvan ”börjar om igen”, dvs den upprepar sitt förlopp efter 360°. För lilla Marja betyder det att pariserhjulet snurrar mer än 1 varv! En funktion som upprepar sitt förlopp kallas en periodisk funktion. Med en period menar vi avståndet i x-led för ett helt förlopp. Här är perioden = 360°. Funktionsvärdet y varierar mellan 1 och –1. Amplituden är grafens största avstånd från ”nollnivån”. Grafen y = 1 · sin x har amplituden 1, och för ”pariserhjulet” är amplituden 5. ! y = sin x har amplituden 1 och perioden 360° triGonometri M4 sa rtryck.indb 11 11 12-12-13 16.00.37 KApiTeL 1 EXEMPEL 1 a) y = 3 · sin x Låt oss nu titta på graferna till y = 3 sin x och y = sin x. Graferna skiljer sig åt genom att y-värdet är 3 gånger större för 3 · sin x. Se tabellen och graferna. x sin x 3 · sin x 0° 0 0 90° 1 3 180° 0 0 270° –1 –3 360° 0 0 Observera att y = 3 sin x betyder 3 · sin x y = 3 sin x har amplituden 3 och perioden 360°. y y = 3 sinx 3 2 1 y = sinx x 90° 180° 270° 360° –3 b) y = sin 3x Bilden visar graferna till y = sin 3x och y = sin x x 0° 30° 60° 90° 120° 1 y 3sin x 3 · sin 0° = 3 · 0 = 0 3 · sin 30° = 3 · 0,5 = 1,5 3 · sin 60° ≈ 3 · 0,87 ≈ 2,6 3 · sin 90° = 3 · 1 = 3 3 · sin 120° ≈ 3 · 0,87 ≈ 2,6 y = sinx y = sin3x x 90° –1 135° 180° 270° 360° 360°= 120° 3 y = sin 3x har amplituden 1 och perioden 120°. Perioden för sin 3x beräknas med divisionen 12 M4 sa rtryck.indb 12 360° = 120° 3 1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x 12-12-13 16.00.39 KApiTeL 1 c) y = sin x 3 x Bilden visar graferna till y = sin och y = sin x 3 y y = sin x 3 y = sinx 1 x –180° –90° 90° 180° 270° 360° 450° 540° -1 Funktionen y = sin x har amplituden 1 och perioden 1080°. 3 Perioden beräknas med divisionen ! 360° = 360° ⋅ 3 = 1080° 1 3 Funktionen y = A · sin kx har amplituden A och perioden 360° k EXEMPEL 2 Bilden visar grafen till funktionen y = 2 + sin x. Observera att grafen har ”lyfts upp” två enheter från x-axeln. 3 x 0° 30° 60° 90° 2 + sin x 2 + sin 0° = 2 + 0 = 0 2 + sin 30° = 2 + 0,5 = 2,5 2 + sin 60° ≈ 2 + 0,87 ≈ 2,87 2 + sin 90° = 2 + 1 = 3 y A y = 2 + sinx 2 1 x 90° 180° 270° 360° y = 2 + sin x har amplituden 1 och perioden 360°. Funktionens största värde är 3 och minsta värdet är 1. triGonometri M4 sa rtryck.indb 13 13 12-12-13 16.00.40 KApiTeL 1 EXEMPEL 3 Bilden visar graferna till y = sin (x + 30°) och y = sin x x sin (x + 3) 0° sin (0° + 30°) = sin 30° = 0,5 30° sin (30° + 30°) = sin 60° ≈ 0,8 60° sin (60° + 30°) = sin 90° = 1 y 1 y = sin(x + 30°) y = sinx –180° 180° x 360° Lägg märke till att grafen till y = sin (x + 30°) har förskjutits 30° åt vänster i förhållande till y = sin x. EXEMPEL 4 Bilden visar graferna till y = sin (x – 30°) och y = sin x Kurvan y = sin (x – 30°) har förskjutits 30° åt höger i förhållande till kurvan y = sin x. y 1 y = sinx y = sin(x – 30°) x –30° 30° 90° 150° 210° 270° 330° 390° EXEMPEL 5 Ange amplitud, period och förskjutning för funktionen y = 2 sin (3x + 60°). Funktionen kan skrivas y = 2sin 3(x + 20°) 360° = 120° 3 Kurvan är förskjuten 20° åt vänster jämfört med sin 3x. svar: Amplitud = 2 14 M4 sa rtryck.indb 14 Period = 1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x 12-12-13 16.00.42 KApiTeL 1 EXEMPEL 6 Bestäm grafens ekvation på formen y = Asin k(x + v) + C y ymax mittlinje A 1 x 90° 270° ymin Största värdet = 4 Minsta värdet = –2 Amplituden A är halva differensen mellan största och minsta värdet. A= y max − y min 4 − (−2) = =3 2 2 ”Mittlinjen” C ligger mitt emellan största och minsta värdet. C= y max + y min 4 + (−2) = =1 2 2 Period = 180° ger k = 2 Förskjutning 30° åt höger ger v = –30° svar: y = 3 sin 2(x – 30°) + 1 EXEMPEL 7 Rita med räknare graferna till f(x) = sin x och g(x) = –sin x. Jämför graferna. Vi ställer in grafritaren på grader (DEG) och ritar t ex i intervallet 2 y 0° < x < 360°. y = sinx Graferna ritas för –2 < y < 2 som bilden visar. svar: Grafen till g(x) = –sin x är ”spegelvänd” i x-axeln jämfört med grafen till f (x) = sin x x 60 360 y = sin(–x) –2 triGonometri M4 sa rtryck.indb 15 15 12-12-13 16.00.44 KAPITEL 1 Ange amplitud och period till följande funktioner. 1117 a) y = 5 sin 2x följande funktioner kan anta. a) y = 3 sin x b) y = 2 sin 4x b) y = sin 4x + 1 c) y = 1 + 3 sin 5x x 1118 a) y = 4sin 2 c) y = 2 – 3 sin x x b) y = sin 4 c) y = 1,5 + 0,5sin 1119 1125 Ange det största och minsta värde som 1126 Ange ekvationen för sinuskurvan i bilden. x 3 y 1 Rita graferna till följande funktioner. Använd gärna grafritare. a) y = 2 sin x x 90° b) y = 4 sin 2x 270° –1 c) y = 3 + sin x 1127 Ange ekvationen för följande sinus­ Ange hur följande grafer är förskjutna i förhållande till motsvarande grundfunktion. funktioner på formen y = A sin k(x + v) a) Amplitud = 1 Period = 180° Förskjutning = 0° 1120 a) y = sin (x + 20°) b) y = sin (x – 50°) b) Amplitud = 5 Period = 180 Förskjutning 30° åt höger 1121 a) y = 2 sin (x + 45°) b) y = sin (2x – 60°) c) Amplitud = 3 Period = 720° Förskjutning 40° åt vänster Ange amplitud, period och förskjutning. 1122 a) y = 3 sin (2x – 50°) b) y = 4sin (2x + 30°) 1128 Bestäm ekvationen för följande 1123 a) y = 2 + 1,5sin (5x – 60°) sinuskurvor. b) y = 2sin 3(x + 30°) a) y 1124 Funktionerna i bilden kan skrivas på 1 formen y = A sin kx. x Bestäm konstanterna A och k. y 1 45° 90° 180° 270° 360° –1 a b x 45° 90° 135° 180° –1 16 M4 sa rtryck.indb 16 1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x 12-12-13 16.00.45 KApiTeL 1 y b) 1133 1 5 4 3 2 1 x 60° –45° c) 1130 Rita graferna till f (x) = 3 – 2 sin 3x och g(x) = 3 + 2 sin 3x. Jämför graferna och beskriv skillnader och likheter. Förklara! 1131 Bestäm de positiva konstanterna b och k för y = b sin kx + 4 så att perioden blir 720° och minsta värdet blir –3. 1132 Skissa grafen till funktionen y = 3 sin (2x + 60°) + 1 på rutat papper. Rita sedan grafen med räknare som kontroll. 45° 90° 135° 180° 225° Bestäm den positiva konstanten A i funktionen f (x) = 5 + A sin 3x så att funktionens största värde blir dubbelt så stort som dess minsta värde. (Np Ma Vt 1999) 1136 Simon försöker i ord beskriva en trigonometrisk funktion y(x). ”Kurvans största värde är 5 och minsta värdet är –1. Kurvan hinner med 2 hela svängningar på 180°. Jag vet också att y(60°) = 2”. Ge exempel på en sinusfunktion enligt Simons beskrivning. TAnKenöT 2 Lös ekvationssyst emet x = 2y = 4z x 2 + y 2 + z 2 = 21 triGonometri M4 sa rtryck.indb 17 270° 1135 x En sinusfunktion har största värdet = 5 och minsta värdet = 1. Perioden är 90º. Ge exempel på ett funktionsuttryck som uppfyller dessa villkor. x Graferna till y = A sin kx och y = A sin (kx + v) har samma period, men ligger inte i fas. Förklara hur mycket y = A sin (kx + v) är förskjuten jämfört med y = A sin kx? y 360° y 1134 1 1129 Bestäm grafens ekvation på formen y = A sin (kx + v) + C 17 12-12-13 16.00.46 KAPITEL 1 DIGITALA RUTAN Trigonometriska funktioner Här ska du använda räknare och undersöka grafen till en trigonometrisk funktion av typen y = A sin k(x + v) + C. Du ska alltså ta reda på hur konstanterna A, k, v och C påverkar grafen. Kontrollera att räknaren är inställd på grader! Bilden visar grafen till y = sin x y1=sin(x) x x=148.93617 y=.51599267 Kurvan gör en hel svängning på 360°, vilket innebär att perioden är 360°. Kurvans y-värden varierar mellan –1 och 1, kurvans amplitud är 1. • Rita y = A sin x för några olika värden på konstanten A. Formulera en slutsats om hur konstanten A påverkar grafens form. • Rita y = sin x + C för olika värden på konstanten C. Formulera en slutsats om hur konstanten C påverkar grafen. • Rita y = sin kx för k = 1, k = 2, 3, 4 och 5. Gör en tabell där du fyller i dina värden enligt nedan. Hur påverkar konstanten k perioden? k period 1 360° 2 3 4 5 • Rita i samma koordinatsystem y = sin x och y = sin (x + 40°). Rita sedan y = sin x och y = sin (x – 40°). • Skissa grafen till y = 3 sin 2x + 1 på rutat papper. Kontrollera sedan med räknare. • Skissa grafen till y = 3 sin (2x – 60°) + 1 på rutat papper. Kontrollera med räknaren. • Rita och jämför graferna till y = sin x och y = cos x 18 M4 sa rtryck.indb 18 1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x 12-12-13 16.00.48 KApiTeL 1 Cosinuskurvor y 1 y = sinx x 90° –1 180° 270° 360° 450° 540° 630° 720° y = cosx I bilden finns graferna till y = sin x och y = cos x. Vi ser att graferna har samma form. Grafen till y = cos x får vi genom att förskjuta funktionsgrafen y = sin x åt vänster 90°. EXEMPEL 1 Bilden visar graferna till y = cos (x + 30°) och y = cos x x 0° cos (x + 30°) 30° cos (30° + 30°) = cos 60° = 0,5 60° cos (60° + 30°) = cos 90° = 0 cos (0° + 30°) = cos 30° ≈ 0,87 1 y y = cos(x + 30°) y = cosx 90° x 180° 270° 360° –1 Lägg märke till att kurvan y = cos (x + 30°) har förskjutits 30° åt vänster i förhållande till kurvan y = cos x. EXEMPEL 2 x Ange amplitud, period och förskjutning för y = 1 + 3cos( − 20°) . 2 Funktionen kan skrivas y = 1 + 3 cos 0,5 (x – 40°) Amplitud = 3 Observera att ”ettan” endast ”lyfter upp” grafen en enhet. 360° = 720° Period = 0,5 Kurvan är förskjuten 40° åt höger i förhållande till y = cos 0,5x triGonometri M4 sa rtryck.indb 19 19 12-12-13 16.00.50 KApiTeL 1 EXEMPEL 3 Bestäm ekvationen för grafen i bilden, både som en sinus-funktion och en cosinus-funktion. y 5 1 x 90° 180° 270° 360° Sinus-funktion Cosinus-funktion Amplitud = 2 Amplitud = 2 Period = 360° Period = 360° Förskjutning = 30° åt vänster Förskjutning = 60° åt höger Dessutom har kurvan ”lyfts upp” 3 enheter Kurvan har ”lyfts upp” 3 enheter svar: y = 3 + 2 sin (x + 30°) eller y = 3 + 2 cos (x – 60°) 1137 Rita i samma koordinatsystem graferna till y = cos x och y = 2 cos x 1138 Ange perioden till följande funktioner. a) y = cos 3x b) y = –cos x c) y = 3 cos 2x 1139 Ange det största och minsta värde som följande funktioner kan anta. a) y = 3 cos x b) y = 4 – cos 2x cos5 x c) y = 2 20 M4 sa rtryck.indb 20 1140 Ange ekvationerna för följande cosinusfunktioner. a) Amplitud = 1 Period = 360° Förskjutning 30° åt höger b) Amplitud = 3 Period = 180° Förskjutning 40° åt höger c) Amplitud = 4 Period = 720° Förskjutning 10° åt vänster 1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x 12-12-13 16.00.51 KApiTeL 1 1141 Skriv grafen både som sinusfunktion och cosinusfunktion. a) 1143 Visa hur du bestämmer konstanterna b och k i funktionen y = 2 + b cos kx så att perioden blir 90° och minsta värdet blir –1. 1144 Vilken funktion är ritad i bilden? y 1 x 180° 360° –1 5 b) 4 3 2 y 1 1 x 180° 4 3 2 –90° –1 1145 a b 1 90° 135° Teckna funktionsutttrycket både som y = A sin (kx + v) + B och som y = A cos (kx + v) + B Förklara hur du tänker. Teckna funktionsuttryck för de två graferna nedan. y x 45° 360° –1 1142 y Grafen till y = A cos x + B skär y-axeln i y = 2 och antar sitt största värde y = 6 för x = 180°. Bestäm funktionsvärdet då x = 240°. x 90° 180° 270° 360° 450° TAnKenöT 3 Två cyklister åker varandra till mötes. De star tar 12 km från va randra och kl ockan är då 12. En av cyklisterna hå ller farten 45 km/h medan den an dres hastighet är 36 km/h. Hur lång t ifrån varandra är cyklisterna 10 minuter in nan de möts? triGonometri M4 sa rtryck.indb 21 21 12-12-13 16.00.55 KApiTeL 1 1.2 grAfer oCH eKVATioner Trigonometriska ekvationer ekvationen sin x = a Att ekvationen sin x = 0,5 har två svar känner vi till sedan tidigare. Räknaren ger oss den första roten, nämligen vinkeln x1 = 30°. Med hjälp av enhetscirkeln, se bilden, får vi den andra roten x2. y x2 = 180° – 30° = 150° x2 x1 = 30° x Låt oss nu lösa ekvationen sin x = 0,5 grafiskt. Vi ritar därför kurvan y = sin x och linjen y = 0,5 i samma koordinatsystem. Därefter avläser vi skärningspunkternas x-koordinater. Från bilden nedan ser vi att graferna skär varandra i fler än två punkter! Kurvan och linjen skär faktiskt varandra i oändligt många punkter. Alla dessa punkters x-koordinater är rötter till ekvationen sin x = 0,5. y y = sinx 1 y = 0,5 x –360° –180° –330° 180° –210° 30° 150° 360° 390° 540° 510° På bilden ser vi att ekvationen har rötterna –330°, –210°, 30°, 150°, 390°, 510°… Hur kan vi beräkna alla dessa rötter? 22 M4 sa rtryck.indb 22 1.2 Grafer och ekvationer 12-12-13 16.00.56 KApiTeL 1 Åter till enhetscirkeln! Om vi vrider radien i enhetscirkeln ett helt varv, så återkommer vi till samma läge igen. Vinklarna är nu 30° + 360° = 390° eller 150° + 360° = 510°. Om vi vrider radien två hela varv, får vi vinklarna 30° + 2 · 360°= 750°eller 150° + 2 · 360° = 870° Om vi i stället vrider radien ett varv ”bakåt”, får vi 30° – 360° = –330° eller 150° – 360° = –210° Om vi vrider radien n hela varv, får vi vinklarna 30° + n · 360° eller 150° + n · 360° ! Ekvationen sin x = 0,5 har lösningar x = 30° + n · 360° eller x = 180° – 30° + n · 360° ! sATs: Lösningar till sin x = a Om ekvationen sin x = a har en lösning x = v kan samtliga lösningar skrivas x = v + n · 360° eller x = 180° – v + n · 360° Observera att n betyder alla heltal, både positiva och negativa, och att ekvationen har oändligt många lösningar. Termen n · 360° anger att perioden är 360°. triGonometri M4 sa rtryck.indb 23 23 12-12-13 16.00.57 KApiTeL 1 ekvationen cos x = a I bilden nedan har vi ritat graferna till y = cos x och y = 0,5. Vi ser att linjen skär kurvan i en mängd punkter. Alla dessa punkters x-koordinater ger oss lösningarna till ekvationen cos x = 0,5 Vi ser att lösningarna ligger symmetriskt i förhållande till y-axeln. Lösningarna är ±60°, ±300°, ±420° osv. y 1 –360° –420° –300° y = cosx –180° y = 0,5 180° –60° 60° x 360° 420° 300° Hur kan vi beräkna alla dessa lösningar? Vi betraktar ekvationen cos x = 0,5 igen. Räknaren ger oss vinkeln x1 = 60° Den andra vinkeln x2 = –60°. Se enhetscirkeln! Om radien i enhetscirkeln vrids n varv får vi vinklarna ±60° + n · 360° y x1 x x2 ! Ekvationen cos x = 0,5 har lösningarna x = ± 60° + n · 360° ! sATs: Lösningar till cos x = a Om ekvationen cos x = a har en lösning x = v kan samtliga lösningar skrivas x = ± v + n · 360° 24 M4 sa rtryck.indb 24 1.2 Grafer och ekvationer 12-12-13 16.00.58 KApiTeL 1 EXEMPEL 1 Lös ekvationen sin x = 0,8 Svara i hela grader. Räknaren ger närmevärdet 53,1301… x ≈ 53° + n · 360° eller x ≈ 180° – 53° + n · 360° x ≈ 127° + n · 360° svar: x ≈ 53° + n · 360° eller x ≈ 127° + n · 360° EXEMPEL 2 Lös ekvationen sin 3x = 0,5 Räknaren ger 30°. 3x = 30° + n · 360° eller 3x = 150° + n · 360° Nu divideras alla termer med 3. Glöm inte perioden! x = 10° + n · 120° eller x = 50° + n · 120° Bilden visar att skärningspunkterna återkommer med perioden 120°. y 1 y = sin3x y = 0,5 x 90° 180° 120° svar: x = 10° + n · 120° eller x = 50° + n · 120° triGonometri M4 sa rtryck.indb 25 25 12-12-13 16.00.59 KApiTeL 1 EXEMPEL 3 Lös ekvationen sin (x – 20°) = 0,5 Räknaren ger 30°. x – 20° = 30° + n · 360° x = 30° + 20° + n · 360° x = 50° + n · 360° Den andra lösningen är x – 20° = 180° – 30° + n · 360° x = 150° + 20° + n · 360° x = 170° + n · 360° svar: x = 50° + n · 360° eller x = 170° + n · 360° EXEMPEL 4 Lös ekvationen sin (2x + 10°) = 0,866. Svara i hela grader. Räknaren ger 60°. 1) 2x + 10° = 60° + n · 360° 2x = 50° + n · 360° Alla termer har dividerats med 2! x = 25° + n · 180° 2) 2x + 10° = 180° – 60° + n · 360° 2x = 110° + n · 360° x = 55° + n · 180° svar: x = 25° + n · 180° eller x = 55° + n · 180° EXEMPEL 5 y Lös ekvationen sin x = –0,5 Räknaren ger x = –30°. Observera att vinkeln –30° motsvaras av 360° – 30° = 330°. Se enhetscirkeln! x = 330° + n · 360° x –30° 210° 330° Den andra lösningen är x = 180° – (–30°) + n · 360° x = 210° + n · 360° Här väljer vi att ange svaret i positiva vinklar. svar: x = 330° + n · 360° eller x = 210° + n · 360° 26 M4 sa rtryck.indb 26 1.2 Grafer och ekvationer 12-12-13 16.01.01 KApiTeL 1 EXEMPEL 6 Lös ekvationen cos x = 0,707. Svara i hela grader. Räknaren ger vinkeln 45°. x ≈ ±45° + n · 360° y svar: x ≈ ±45° + n · 360° Lägg märke till att –45° motsvaras av 360° – 45° = 315° x 315° –45° Se enhetscirkeln. Om vi vill skriva svaret i positiva vinklar, får vi x ≈ 45° + n · 360° eller x ≈ 315° + n · 360° EXEMPEL 7 Lös ekvationen cos (x – 30°) = 0,94. Svara i hela grader. Räknaren ger vinkeln 20°. x – 30° ≈ ±20° + n · 360° Här måste vi dela upp lösningarna. x – 30° ≈ 20° + n · 360° x – 30° ≈ –20° + n · 360° x ≈ 50° + n · 360° x ≈ 10° + n · 360° svar: x ≈ 50° + n · 360° eller x ≈ 10° + n · 360° EXEMPEL 8 Lös ekvationen cos (2x + 20°) = 0,5 Räknaren ger vinkeln 60°. 2x + 20° = ±60° + n · 360° Här måste vi dela upp lösningarna. 2x + 20° = 60° + n · 360° 2x + 20° = – 60° + n · 360° 2x = 40° + n · 360° 2x = –80° + n · 360° x = 20° + n · 180° x = –40° + n · 180° x = –40° + 180° + n · 180° svar: x = 20° + n · 180° eller x = 140° + n · 180° triGonometri M4 sa rtryck.indb 27 27 12-12-13 16.01.02 KAPITEL 1 Lös ekvationerna. Ange vinklarna i hela grader. 1201 a) sin x = 0,174 b) sin x = 0,643 1202 a) sin 3x = 0,707 b) sin 2x = 0,643 1217 Här ska du lösa ekvationen 2 sin (4x – 30°) + 1 = 1,8 a) algebraiskt b) grafiskt genom att rita y = 2 sin (4x – 30°) + 1 och y = 1,8 med grafritare. 1203 a) sin (x – 30°) = 0,342 b) sin (x + 10°) = 0,985 1218 Ahmed löser en trigonometrisk 1204 a) sin (2x + 10°) = 0,342 ekvation enligt nedan. Han gör dock ett fel! Finn felet och rätta till det! b) sin (3x – 15°) = 0,707 cos (2x + 30°) = 0,61 1205 a) sin 0,25x = 0,174 b) sin x = 0,707 3 1206 a) sin x = –0,707 b) sin 2x = –0,9 1207 a) 3 sin x = 2,457 b) 2 sin x + 1 = 0 1208 a) cos x = 0,819 b) cos x = 0,342 1209 a) cos 2x = 0,94 b) cos 3x = 0,707 1210 a) cos (x + 40°) = 0,259 b) cos (x – 15°) = 0,707 1211 a) 2 cos x = 0,684 b) 3 cos 2x = 0,522 1212 a) cos (x – 10°) = –0,5 2x + 30° = ±52,4° + n · 360° 2x + 30° = 52,4° + + n · 360° 2x = 22,4° + + n · 360° x = 11,2° + n · 180° eller x = –11,2° + n · 180° 3 2 har en lösning x = 10° + n · 120°. 1219 Ekvationen sin(ax + b ) = Bestäm a och b samt ekvationens övriga lösningar. Visa hur du gör. 1220 Zara påstår att en viss ekvation har lösningen x = n · 120°, x = 180° + n · 360°. Max har fått svaret x = ±120° + n · 360°, x = n · 180° på samma ekvation. Kan de ha rätt båda två? b) cos 3x = –0,259 x = 0,985 3 sin x 1214 a) 2 + 3 sin x = 0,5 b) = 0,25 2 1213 a) cos 3x = 1,2 b) cos 1215 Bestäm samtliga lösningar till ekvationerna. Svara i grader med en decimal. a) 6 sin (2x – 10°) + 1 = 3 b) 6 cos (2x – 10°) + 1 = 3 1216 Lös ekvationen 24 sin (2x – 20°) + 1 = 13 utan att använda räknare. 28 M4 sa rtryck.indb 28 1.2 Grafer och ekvationer 12-12-13 16.01.05 KApiTeL 1 ekvationer och intervall EXEMPEL 1 Lös ekvationen sin x = 0,5 0° ≤ x ≤ 450° Den här ekvationen skiljer sig från de ekvationer som vi har löst tidigare eftersom vi ska finna de rötter som ligger i ett intervall. Vi börjar med att lösa ekvationen som vanligt: x = 30° + n · 360° eller x = 150° + n · 360° Vi prövar nu med olika värden på n för att se vilka rötter som finns i intervallet 0°≤ x ≤ 450°. 1. x = 30° + n · 360° ger n=0 n=1 n=2 n = –1 2. x = 30° x = 30° + 360° = 390° x = 30° + 2 · 360° = 750° x = 30° – 360° = –330° ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Utanför intervallet! Utanför intervallet! x = 150° + n · 360° ger n = 0 ⇒ x = 150° n = 1 ⇒ x = 150° + 360° = 510° n = –1 ⇒ x = 150° – 360° = –210° svar: x1 = 30° x2 = 150° Utanför intervallet! Utanför intervallet! x3 = 390° Vi kan visa lösningarna grafiskt. y y = sinx 1 y = 0,5 x 90° 30° 270° 150° 450° 390° 630° 510° De skärningspunkter som finns inom intervallet 0° ≤ x ≤ 450° är x1 = 30° x2 = 150° x3 = 390° triGonometri M4 sa rtryck.indb 29 29 12-12-13 16.01.06 KApiTeL 1 EXEMPEL 2 Lös ekvationen cos (2x + 10°) = 0,5 0° ≤ x ≤ 250° Räknaren ger vinkeln 60°. 2x + 10° = ±60° + n · 360° Vi delar upp lösningarna: 2x + 10° = 60° + n · 360° 2x = 50° + n · 360° x = 25° + n · 180° 2x + 10° = –60° + n · 360° 2x = –70° + n · 360° x = –35° + n · 180° Vi prövar nu med olika värden på n för att se vilka lösningar som finns i intervallet. n=0 n=1 (n = 2 x = 25° x = 25° + 180° = 205° x = 25° + 360° = 385°) (n = 0 n=1 (n = 2 x = –35°) x = –35° + 180° = 145° x = –35° + 360° = 325°) svar: x1 = 25° Lös ekvationerna. Ange vinklarna i hela grader. 1221 1222 1223 a) sin x = 0,174 0° ≤ x ≤ 390° b) sin x = 0,259 –180° ≤ x ≤ 180° a) sin 2x = 0,643 0° ≤ x ≤ 200° b) sin 5x = 0,866 –90° ≤ x ≤ 70° a) sin 0,5x = 0,259 –360°≤ x ≤ 360° b) sin x = –0,5 1224 200° ≤ x ≤ 500° a) sin (2x + 10°) = 0,342 0° ≤ x ≤ 360° b) sin (4x + 15°) = 0,966 180° ≤ x ≤ 270° 30 M4 sa rtryck.indb 30 x2 = 145° 1225 x3 = 205° a) 2 sin 3x = 0,518 90° ≤ x ≤ 270° b) 3 sin 5x = 2,457 –30° ≤ x ≤ 30° 1226 Visa hur du löser denna NP-uppgift. Bestäm alla lösningar till ekvationen sin x = 0,6 i intervallet 0° < x < 450°. (Np Ma D Vt 1999) Lös ekvationerna. Ange svaren i hela grader. 1227 a) sin 2x = 0,866 0° < x < 360° b) cos 4x = 1 0° < x < 360° c) 2 sin 5x = 1,97 0° < x < 90° d) 1 + cos x = 1 0° < x < 500° 1.2 Grafer och ekvationer 12-12-13 16.01.07 KAPITEL 1 1228 Lös olikheterna med en decimals noggrannhet i intervallet 0° < x < 360°. a) sin x > 0,35 b) 3 cos x ≤ –0,9 1229 Vilka lösningar har ekvationen 6 cos 3x = 1,8 i intervallet 360° < x < 720°? Svara i hela grader. 1230 Undersök grafiskt och visa med en enkel skiss om det finns några v så att 2 sin (v + 12°) = cos (v + 23°) för 0° < v < 180° 1231 Utgå från ekvationen a sin x = b där a och b är konstanter. Ge ett exempel på hur a och b kan väljas så att ekvationen a sin x = b i intervallet 0° ≤ x ≤ 180° får a) bara en lösning b) två lösningar. Motivera dina val. 1232 Bestäm a och b så att funktionen y = 2b – a sin (2x – 10) får minsta värdet 4 och största värdet 6. Ange i så fall detta/dessa värden. (Np Ma Ht 1997) Ordet sinus är latin och betyder bukt. Cosinus är en förkortning av ”complementi sinus”, kan tolkas som det som kompletterar sinus. Redan på 1500-talet började orden sinus och cosinus användas i matematiska sammanhang. trigonometri M4 sa rtryck.indb 31 31 12-12-13 16.01.10 KApiTeL 1 Tangenskurvor Tidigare har vi definierat tan v i en rätvinklig triangel som tan v = motstående katet närliggande katet y Med hjälp av enhetscirkeln får vi tan v = y sin v = x cos v y v (cos v ≠ 0) x x Observera att tan v inte är definierat då cos v = 0, dvs för v = ±90°, ±270° osv. Bilden nedan visar grafen till funktionen y = tan x. Lägg märke till att funktionen upprepar sitt förlopp efter 180°. Tangensfunktionen har alltså perioden 180° (till skillnad från sinus- och cosinusfunktionen som har period = 360°). De streckade linjerna x = ±90, x = ±270° osv anger de x-värden som tangensfunktionen ej är definierad för. Dessa linjer kallas asymptoter. x –90° –75° –60° –45° –30° –15° 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 32 M4 sa rtryck.indb 32 tan x ej def –3,73 –1,73 –1 –0,58 –0,27 0 0,27 0,58 1 1,73 3,73 ej def y y = tan x 1 x –270° –180° –90° 90° 180° 270° 1.2 Grafer och ekvationer 12-12-13 16.01.12 KApiTeL 1 ekvationen tan x = a I bilden nedan har vi ritat graferna till y = tan x och y = 1,5. Vi ser att linjen skär kurvan i en mängd punkter. Alla dessa punkters x-koordinater ger oss lösningarna till ekvationen tan x = 1,5. y 2 1 x –304° –124° 56° 236° 416° Vi löser ekvationen tan x = 1,5 med räknaren och får x ≈ 56° Eftersom perioden är 180° är den fullständiga lösningen x ≈ 56° + n · 180°, där n är ett heltal. n=0 n=1 n=2 x ≈ 56° x ≈ 56° + 1 · 180°≈ 236° x ≈ 56° + 2 · 180°≈ 416° n = –1 n = –2 x ≈ 56°– 1 · 180° ≈ –124° x ≈ 56°– 2 · 180° ≈ –304° ! Ekvationen tan x = 1,5 har lösningen x ≈ 56° + n · 180° ! sATs: Lösningar till tan x = a Om ekvationen tan x = a har en lösning x = v kan samtliga lösningar skrivas x = v + n · 180° triGonometri M4 sa rtryck.indb 33 33 12-12-13 16.01.13 KApiTeL 1 EXEMPEL 1 Lös ekvationen 3 tan x = 1,5. Svara med en decimal. 3 tan x = 1,5 tan x = 0,5 Vi har dividerat med 3 Räknaren ger vinkeln 26,6°. x ≈ 26,6° + n · 180° svar: x ≈ 26,6° + n · 180° EXEMPEL 2 Lös ekvationen 5 tan 2x = –6. Svara i hela grader. 5 tan 2x = –6 tan 2x = –1,2 Räknaren ger 2x ≈ –50° 2x ≈ –50° + n · 180° x ≈ –25° + n · 90° Alla termer har dividerats med 2 svar: x ≈ – 25° + n · 90° Om perioden 90° adderas kan svaret skrivas x ≈ 65° + n · 90° EXEMPEL 3 Lös ekvationen sin x = 3 cos x. Svara med en decimal. sin x = 3 cos x sin x =3 cos x Båda leden har dividerats med cos x tan x = 3 Enligt definitionen sin x cos x = tan x x ≈ 71,6° + n · 180° svar: x ≈ 71,6° + n · 180° 34 M4 sa rtryck.indb 34 1.2 Grafer och ekvationer 12-12-13 16.01.14 KApiTeL 1 Lös ekvationerna. Svara i hela grader. 1233 a) tan x = 0 1240 b) 2 sin (4x – 10°) = 1 b) 2 tan x = –3 c) tan (4x – 30°) = 2,2 c) 3 tan x + 9 = 2 1234 a) tan 3x = 0,87 b) 2 tan 6x = 1,8 c) 3 tan 4x = 5 1235 a) tan 2x = 5,67 0° < x < 360° b) tan x = –1,19 x c) tan = 4 2 0° < x < 360° d) 5 tan (2x + 60°) = 2 1241 lösning x = 22,5° + n · 90°. Bestäm konstanterna a och b. Förklara hur du tänker. 1243 0°< x < 200° a) 3 sin 2x = 2,5 b) cos (3x – 20°) = –1 90° < x < 400° c) tan (2x – 30°) = 5 190° < x < 280° a) y = tan x d) 2 cos x = 3 sin x 0° < x < 180° b) y = tan (x – 30°) 1244 Lös följande ekvationer. Svara med en decimal. a) sin x = 5 cos x b) 2 sin x = 3 cos x c) 5 sin x – cos x = 0 d) cos x = 0,1 sin x 1239 Lös följande ekvationer. Svara med en decimal. Skissa kurvorna på rutat papper. Använd sedan grafritare som kontroll. c) y = tan 2x 1238 b) 1 + sin x = 1,2 1242 Ekvationen a tan bx = 3 har en 1236 Förklara varför svaret 1237 a) 4 sin x = 3cos x c) 4 sin x – 7cos x = 0 d) tan 5x = 0,61 500° < x <800° x = –50° + n · 120° också kan skrivas x = 70° + n · 120° a) cos (3x + 50°) = 0,28 a) 4 sin x = cos x –180° < x < 180° b) sin x = cos x 100° < x < 250° Grafen till f ( x ) = ka + sin kx cos kx har perioden 45° och skär y axeln i punkten (0, 6). Lös ekvationen f (x) = 5,423 i intervallet 0° < x < 90°. TAnKenöT 4 Lägg 12 tändst ickor så att de bildar ett polygon som har omkretsen 12 le och arean 4 ae . triGonometri M4 sa rtryck.indb 35 35 12-12-13 16.01.17 KApiTeL 1 sin 2x = sin x och cos 2x = cos x Vi börjar med att lösa ekvationen sin x = sin 30°. En lösning är x = 30° som ger den allmänna lösningen x = 30° + n · 360° Ekvationen har också lösningen x = 180° – 30° = 150° Detta ger den allmänna lösningen x = 150° + n · 360° ! Ekvationen sin x = sin a har lösningarna x = a + n · 360° eller x = 180° – a + n · 360° Ekvationen cos x = cos a har lösningarna x = ± a + n · 360° EXEMPEL 1 Lös ekvationen sin 2x = sin x sin 2x = sin x 2x = x + n · 360° 2x – x = n · 360° x = n · 360° eller 2x = 180°– x + n · 360° 2x + x = 180° + n · 360° 3x = 180° + n · 360° x = 60° + n · 120° svar: x = n · 360° eller x = 60° + n · 120° Bilden visar graferna y = sin 2x och y = sin x. Grafernas skärningspunkter ger oss rötterna till ekvationen sin 2x = sin x 1 y y = sin2x x 90° -1 360° y = sinx Om vi sätter in några värden på n, t ex n = 0, n = 1 och n = 2 får vi följande rötter: n = 0 ger n = 1 ger n = 2 ger x = 0° eller x = 60° x = 360° eller x = 180° x = 720° eller x = 300° Jämför rötterna med skärningspunkternas x-koordinater! 36 M4 sa rtryck.indb 36 1.2 Grafer och ekvationer 12-12-13 16.01.17 KApiTeL 1 EXEMPEL 2 Lös ekvationen sin 5x = sin (x + 30°) sin 5x = sin (x + 30°) 5x = x + 30° + n · 360° 4x = 30° + n · 360° x = 7,5° + n · 90° Observera parentesen! eller 5x = 180°– (x + 30°) + n · 360° 5x = 180° – x – 30° + n · 360° 6x = 150° + n · 360° x = 25° + n · 60° svar: x = 7,5° + n · 90° eller x = 25° + n · 60° EXEMPEL 3 Lös ekvationen cos 3x = cos (x + 20°) 1) 3x = x + 20° + n · 360° 2x = 20° + n · 360° x = 10° + n · 180° 2) 3x = – (x + 20°) + n · 360° 3x = – x – 20° + n · 360° 4x = – 20° + n · 360° x = –5° + n · 90° svar: x1 = 10° + n · 180° x2 = – 5° + n · 90° EXEMPEL 4 Lös ekvationen cos (2x – 40°) = cos (20° – x) 1) 2x – 40° = 20° – x + n · 360° 3x = 60° + n · 360° x = 20° + n · 120° 2) 2x – 40° = – (20° – x) + n · 360° 2x – 40° = – 20° + x + n · 360° x = 20° + n · 360° y 140° 380° x 20° 260° Titta på den första lösningen, x = 20° + n · 120°. För n = 3 får vi x = 20° + 360°, dvs samma lösning som vi får med den andra lösningen för n = 1. Se enhetscirkeln! Svaret kan sammanfattas enligt nedan. svar: x = 20° + n · 120° triGonometri M4 sa rtryck.indb 37 37 12-12-13 16.01.19 KApiTeL 1 1253 Lös följande ekvationer. 1245 a) sin x = sin 60° 1246 a) sin 3x = sin 60° b) sin 2x = sin 30° 1247 a) sin 3x = sin x 1248 1256 1257 a) cos 4x = cos 5x b) cos (60° + 3x) = cos (3x + 30°) 1252 a) cos (3x – 70°) = cos 5x a) sin 3x = sin (x + 40°) b) cos 2x = cos 3x a) cos 2x = cos x a) cos (45°– x) = cos (2x + 15°) 0° < x < 180° b) sin 5x – sin 3x = 0 0°≤ x ≤ 360° 200°≤ x ≤ 600° a) sin (8x – 70°) = sin (30° – x) 190° ≤ x ≤ 270° b) cos (2x – 25°) = cos (5° – x) 0° ≤ x ≤ 90° b) cos (x – 20°) = cos 3x 1251 a) sin 3x = sin (x + 10°) b) sin (x + 30°) = sin (x – 10°) 90° < x < 300° a) sin (x + 30°) = sin (2x – 20°) b) cos 3x = cos (x + 30°) 1250 1254 1255 b) sin (40°– x) = sin (8x + 20°) 1249 b) sin (x + 10°) = sin x b) sin x = sin 20° b) sin 2x = sin (x + 30°) a) sin 4x = sin 6x 1258 Martin löser ekvationen sin 2x = cos x 0° < x < 180° enligt nedan. Har Martin gjort rätt? Om inte, skriv en korrekt lösning. a) sin 5x = sin (x + 60°) b) cos 4x = cos x Eftersom cos x = sin (90° – x) får jag sin 2x = sin (90° – x) 2x = 90° – x + n · 360° eller 2x = 180° – (90° – x) + n · 360° 3x = 90° + n · 360° 2x = 180° – 90° + x + n · 360° x = 30° + n · 120° x = 90° + n · 360° I intervallet 0° < x < 180° finns rötterna: x1 = 30° x2 = 30° + 120° = 150° x3 = 90° Svar: Vinklarna är 30°, 90° och 150°. 38 M4 sa rtryck.indb 38 1.2 Grafer och ekvationer 12-12-13 16.01.25 KApiTeL 1 ekvationen sin 3x = cos 2x En rätvinklig triangel har sidorna a, b och c. Vinklarna kallar vi x och (90° – x). Se bilden. x c a 90° – x Med hjälp av bilden kan vi nu teckna sinus och cosinus för vinklarna x och (90° – x). b sin x = b c cos(90° − x ) = b c Vi får samma svar! cos x = a c sin(90° − x ) = a c Även här får vi samma svar! Vi ser att värdet för sin x och cos (90° – x) är lika. Även värdet för cos x och sin (90° – x) är lika. ! sin x = cos (90° – x) cos x = sin (90° – x) EXEMPEL 1 Lös ekvationen sin 3x = cos 2x då 0° < x < 180° Eftersom cos 2x = sin (90° – 2x) får vi ekvationen sin 3x = sin (90° – 2x) 3x = 90° – 2x + n · 360° eller 5x = 90° + n · 360° x = 18° + n · 72° Observera parentesen! 3x = 180° – (90° – 2x) + n · 360° 3x = 180° – 90° + 2x + n · 360° x = 90° + n · 360° I intervallet 0° < x < 180° finner vi följande rötter: x1 = 18° x2 = 18° + 72° = 90° x3 = 18° + 2 · 72° = 162° svar: x1 = 18° x2 = 90° x3 = 162° triGonometri M4 sa rtryck.indb 39 39 12-12-13 16.01.26 KApiTeL 1 EXEMPEL 2 Lös ekvationen cos (60° – x) = sin 2x Eftersom sin 2x = cos (90° – 2x) får vi följande ekvation: cos (60° – x) = cos (90° – 2x) 1) 60° – x = 90° – 2x + n · 360° x = 30° + n · 360° Sätt ut parentesen! 2) 60° – x = –(90° – 2x) + n · 360° 60° – x = –90° + 2x + n · 360° –3x = –150° + n · 360° x = 50° + n · 120° Vi har dividerat med –3. Lägg märke till följande: Det korrekta svaret är x = 50° – n · 120°. Men, eftersom n kan vara både positivt och negativt, kan vi lika gärna skriva med plustecken, dvs x = 50° + n · 120°. svar: x = 30° + n · 360° Lös följande ekvationer. Svara i grader. 1259 1262 Ange de lösningar till ekvationen sin x = cos 4x som finns i intervallet 100° ≤ x ≤ 250°. 1263 Vilka av rötterna till ekvationen sin 0,5x = cos 2x finns i intervallet –180° ≤ x ≤ 90°? 1264 Lös ekvationen sin (4x + v) = cos 2x med avseende på x. a) cos 2x = sin 4x b) sin 5x = cos 4x 1260 eller x = 50° + n · 120° a) sin (x + 10°) = cos 3x b) sin (2x + 40°) = cos (x – 10°) 1261 a) cos (30° – 4x) = sin x b) cos (x – 50°) = sin (x – 50°) 40 M4 sa rtryck.indb 40 1.2 Grafer och ekvationer 12-12-13 16.01.27 KApiTeL 1 1.3 forMLer Additions- och subtraktionssatsen I följande härledning används två satser som du redan har tränat på i tidigare kurser, nämligen avståndsformeln och cosinussatsen. Avståndsformeln Avståndet d mellan två punkter (x1, y1) och (x2, y2) i ett koordinatsystem kan beräknas med avståndsformeln: y A (x1, y1) d d = ( x1 − x 2 )2 + ( y1 − y 2 )2 B Cosinussatsen (x2, y2) x c2 = a2 + b2 – 2ab · cos C B c a C A b Titta på enhetscirkeln nedan där punkterna O, P och Q är hörn i en triangel. Punkten O har koordinaterna (0, 0) medan P har koordinaterna (cos u, sin u) och Q har koordinaterna (cos v, sin v). Vinkeln POQ kan skrivas u – v. Två sidor i triangeln är 1 längdenhet vardera, eftersom de är radier i enhetscirkeln. Triangelns tredje sida kallas d. y Q (cos v, sin v) d P (cos u, sin u) 1 u–v 1 v u x O triGonometri M4 sa rtryck.indb 41 41 12-12-13 16.01.29 KApiTeL 1 y Q (cos v, sin v) d P (cos u, sin u) v 1. Cosinussatsen ger: d2 = 12 + 12 – 2 · 1 · 1 · cos (u – v) d 2 = 2 – 2 cos(u – v) 1 u–v 1 Nu använder vi cosinussatsen och avståndsformeln för att uttrycka sträckan d på två olika sätt. u x O 2. Avståndsformeln ger: d2 = (cos u – cos v)2 + (sin u – sin v)2 Vi utvecklar kvadraterna och får d 2 = cos2 u – 2cos u cos v + cos2 v + sin2 u – 2sin u sin v + sin2 v = = cos2 u + sin2 u + cos2 v + sin2 v – 2cos u cos v – 2 sin u sin v =1 =1 Detta ger d 2 = 2 – 2 cos u cos v – 2 sin u sin v Nu sätter vi våra uttryck för d2 lika och får då 2 – 2 cos (u –v) = 2 – 2cos u cos v – 2 sin u sin v Vi subtraherar 2 från båda leden och dividerar till sist båda leden med –2. Då får vi följande: cos (u –v) = cos u cos v + sin u sin v Formeln kallas subtraktionssatsen för cosinus. Formeln ska inte läras utantill, eftersom den finns i formelsamlingar tillsammans med tre liknande formler. ! sATs: Additions- och subtraktionssatser för sinus och cosinus cos (u + v) = cos u cos v – sin u sin v sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v cos (u – v) = cos u cos v + sin u sin v sin (u – v) = sin u cos v – cos u sin v EXEMPEL 1 I förra avsnittet såg vi att sin (90° – x) = cos x Nu använder vi subtraktionssatsen för att visa detta samband. sin (90° – x) = sin 90° · cos x – cos 90° · sin x = 1 · cos x – 0 · sin x = = cos x VSV 42 M4 sa rtryck.indb 42 1.3 formler 12-12-13 16.01.30 KApiTeL 1 EXEMPEL 2 Förenkla cos 100° · cos 40° + sin 100° · sin 40° Beräkna sedan det exakta värdet. Uttrycket ovan motsvarar cos x · cos y + sin x · sin y där x = 100° och y = 40°. Den formel som ska användas blir då cos (x – y) = cos (100° – 40°) = cos 60° = 0,5 svar: 0,5 EXEMPEL 3 Visa att sin( x + 45°) − sin( x − 45°) = 2 cos x tabell med exakta trigonometriska värden finns på sidan 85. VL = sin (x + 45°) – sin (x – 45°) = = sin x · cos 45° + cos x · sin 45° – (sin x · cos 45° – cos x · sin 45°) = 1 = 2cos x sin45° = 2cos x = 2 cos x VSV 2 Tabellen ger sin 45° = Utveckla och förenkla 1301 1 2 2 2 1305 a) cos (180° + x) 1303 2⋅ 2 = 2 Förenkla följande uttryck och beräkna sedan det exakta värdet. b) cos 70° cos 50° – sin 70° sin 50° a) sin (x – 180°) c) sin 50° cos 40° + cos 50° sin 40° b) cos (270° + 2x) d) sin 75° cos 45° – cos 75° sin 45° a) cos (2x – 90°) b) sin (90° – 3x) 1304 2⋅ 2 a) cos 85° cos 25° + sin 85° sin 25° b) sin (90° + x) 1302 = a) sin (180° – x) b) cos (180° – x) 1306 Bestäm A och B i likheterna nedan. a) sin (A – B) = = sin 30° · cos 40° – cos 30° · sin 40° b) sin 60° = Bsin 30° · cos 30° c) cos (43° + A) = = cos 43° · cos 23° – sin B · sin 23° triGonometri M4 sa rtryck.indb 43 43 12-12-13 16.01.31 KApiTeL 1 1307 Utveckla och förenkla cos (60° + x) + cos (60° – x). 1308 Visa med hjälp av additions- och subtraktionssatserna. 1312 a) 2sin( x + 60°) = sin x + 3 cos x b) cos (v + 180°) = –cos v b) cos(60° + x ) − cos(60° − x ) = − 3 sin x d) sin (360° – v) = –sin v 1313 b) cos 75° 1314 Visa med additionssatsen att sin 2x = 2sin x · cos x. 1315 Från den rätvinkliga triangeln vet vi att sin x = cos (90° – x) b) cos (–x) = cos x 1310 Förklara med hjälp av enhets- cirkeln varför sin (360° – x) = = –sin x. Visa också sambandet med subtraktionsformeln. För en vinkel gäller att sin v = 0,8. Bestäm, utan att beräkna v, ett närmevärde med två decimaler till Bestäm exakt värde. a) sin 105° Använd subtraktionssatserna och visa att a) sin (–x) = – sin x ledning: sin (–x) = sin (0° – x) 1311 Visa att a) cos (180° – v) = –cos v c) cos v = –sin (v + 270°) 1309 I uppgifterna 1312 och 1313 ska du utgå från att du vet exakta trigonometriska värden för vinklarna 30°, 45° och 60°. Visa att sambandet gäller för alla värden på x. 1316 Visa att sin 4a = 4 sin a cos3 a – 4 sin3 a cos a a) sin (v + 30°) b) cos (120° – v). Visa hur du gör. formler för ”dubbla vinkeln” Om vi i additionssatserna sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y sätter y = x får vi följande: sin 2x = sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos2 x – sin2 x cos 2x kan skrivas på ytterligare två sätt: Då formeln för cos 2x kombineras med trigonometriska ettan får vi: cos 2x = cos2 x – (1 – cos2 x) = 2 cos2 x – 1 Eller så här: cos 2x = (1 – sin2 x ) – sin2 x = 1 – 2 sin2 x 44 M4 sa rtryck.indb 44 1.3 formler 12-12-13 16.01.32 KApiTeL 1 ! sATs: formler för ”dubbla vinkeln” sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x – sin2 x cos 2x = 2cos2 x – 1 cos 2x = 1 – 2sin2 x EXEMPEL 1 Beräkna utan räknare värdet av cos 2x då du vet att sin x = 0,6. Enligt formeln cos 2x = 1 – 2 · sin2 x får vi följande: cos 2x = 1 – 2 · 0,62 = 1 – 2 · 0,36 = 1 – 0,72 = 0,28 svar: cos 2x = 0,28 EXEMPEL 2 Utgå från tan x = 3 och att 0° < x < 90°. Beräkna exakta värdet på sin 2x. Vi ritar en rätvinklig triangel som har kateterna 3 och 1 3 eftersom tan xtan = 3x == = 3 1 3 a x 1 Hypotenusan a beräknas med Pythagoras sats. a2 = 12 + 32 a>0 Detta ger a = 10 Figuren ger att: sin x = 3 1 och cos x = 10 10 Formeln sin 2x = 2 · sin x · cos x ger: sin2 x = 2 ⋅ 3 1 6 6 ⋅ = = = 0,6 10 10 100 10 10 3 x 1 svar: sin 2x = 0,6 triGonometri M4 sa rtryck.indb 45 45 12-12-13 16.01.34 KApiTeL 1 1317 För en vinkel x gäller att cos x = 0,8 och sin x = 0,6. Beräkna, utan att bestämma värdet på x. a) sin 2x 1322 b) cos 2x c) tan 2x 1318 1319 1320 1321 Beräkna cos 2x exakt då du vet att 3 1 b) sin x = − a) cos x = 4 2 5 c) cos x = − 6 c) sin 2x d) cos 2x b) cos x c) sin 2x d) cos 2x Antag att tan x = 2 och att 0° < x < 90°. Bestäm exakt värde på följande uttryck. a) sin x b) cos x c) sin 2x d) cos 2x c) tan x d) sin 2x Hon löser uppgiften så här: 2 16 3 sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − − = ⇒ 5 25 4 sin x = 5 4 3 24 sin2 x = 2sin x cos x = 2 ⋅ ⋅ − = − 5 5 25 Har Lisa gjort rätt? Om inte, förklara vad hon har gjort för fel. Rita en rätvinklig triangel med kateterna 2 cm och 4 cm. Låt x vara triangelns minsta vinkel. Beräkna exakt a) sin x b) sin x det exakta värdet av sin 2x 3 om cos x = − 5 4 och att 0° < x < 90°. 5 Bestäm exakt värde på följande uttryck. b) tan x a) cos x 1323 Lisa får följande uppgift: Bestäm Antag att sin x = a) cos x Antag att cos 2x = 0,28 och att 0° < x < 90°. Bestäm exakt värde på följande uttryck. 1324 Visa att sin 3x = 3sin x – 4 sin3 x. 1325 a) Använd tabellen på sidan 85 och bestäm ett exakt värde på sin 75° b) Här får du använda dig av sambandet 0,5 = sin 30° = sin (2 · 15°), när du ska visa hur du kan bestämma sin 15° med tre värdesiffror. ekvationer och formler EXEMPEL 1 Lös ekvationen cos2 x – sin2 x = 0,5 Vi ersätter cos2 x – sin2 x med cos 2x (dubbla vinkeln) cos 2x = 0,5 2x = ± 60° + n · 360° x = ± 30° + n · 180° svar: x = ± 30° + n · 180° 46 M4 sa rtryck.indb 46 1.3 formler 12-12-13 16.01.36 KApiTeL 1 EXEMPEL 2 Lös ekvationen sin x cos x + 0,2 = 0. Svara i grader med en decimal. sin x cos x = –0,2 2 sin x cos x = –0,4 sin 2x = –0,4 Vi multiplicerar med 2 och använder formeln för dubbla vinkeln. 2x = –23,6° + n · 360° x = –11,8° + n · 180° x = 168,2° + n · 180° 2x = 180° – (–23,6°) + n · 360° 2x = 203,6° + n · 360° x = 101,8° + n · 180° eller svar: x = 168,2° + n · 180° eller x = 101,8° + n · 180° EXEMPEL 3 Lös ekvationen sin 2x + cos x = 0 sin 2x + cos x = 0 2 · sin x · cos x + cos x = 0 cos x · (2 sin x + 1) = 0 Faktorn cos x har brutits ut Eftersom en produkt är noll, om minst en av faktorerna är noll, gäller att cos x = 0 eller 2 sin x + 1 = 0 y 1. Vi börjar med att lösa ekvationen cos x = 0 och får då x x = ± 90° + n · 360° Titta på enhetscirkeln där vinklarna har markerats. Svaret kan enklare skrivas x = 90° + n · 180° 2. Ekvationen 2 sin x + 1 = 0 ger oss 2 sin x = –1 sin x = –0,5 x = – 30° + n · 360° x = 330° + n · 360° eller x = 180° + 30° + n · 360° x = 210° + n · 360° svar: x = 90° + n · 180°, x = 330° + n · 360°, x = 210° + n · 360° triGonometri M4 sa rtryck.indb 47 47 12-12-13 16.01.38 KApiTeL 1 EXEMPEL 4 Lös ekvationen 3cos2 x + 2sin x + 2 = 0 3(1 – sin2 x) + 2sin x + 2 = 0 Trigonometriska ettan 3 – 3 sin2 x + 2sin x + 2 = 0 3 sin2 x – 2sin x – 5 = 0 3t2 – 2t – 5 = 0 Sätt sin x = t t1 = −1 2 5 t2 − t − = 0 ⇒ 3 3 t 2 = 5 / 3 Vi ”byter” nu tillbaka sin x = t. sin x = –1 ⇒ x = 270° + n · 360° (sin x = 5 / 3 saknar lösning) svar: x = 270° + n · 360° Lös följande ekvationer. Svara i hela grader. 1326 a) sin2 x = 0,36 b) 2 sin x cos x = 0,5 1327 a) 2 cos2 x = 1,9 b) cos x sin x = 0 1328 cos2 x – sin2 x = 0 0° < x < 180° 1329 2 sin x · cos x = 0 100° < x < 400° 1330 2 sin x(2cos x –1) = 0 1331 Lös ekvationerna. Avrunda till en decimal när svaret inte blir exakt. a) 2 cos2 x – 4 cos x = 0 b) cos 2x = sin 2x 1332 Förklara varför man inte kan ”dividera bort” sin x i ekvationen sin x + 2sin x cos x = 0. 48 M4 sa rtryck.indb 48 Lös följande ekvationer. Avrunda till en decimal när svaret inte blir exakt. 1333 a) sin2 x + 3sin x – 4 = 0 ledning: Sätt sin x = t. sin2 x b) =1 cos x 1334 a) 1 – sin2 x = 2cos x + cos 2x b) cos 2x = –cos x – 1 1335 Felicia har löst en ekvation och kommit fram till lösningarna x = ±180° · n, x = 15° + n · 180° och x = 75° + n · 180°. Felicias lillebror har dessvärre ritat i hennes matteblock så man inte längre ser vilken ekvation som Felica har löst. Ge exempel på en ekvation som har dessa lösningar. 1.3 formler 12-12-13 16.01.39 KApiTeL 1 funktionen y = asin x + bcos x y Bilden visar graferna till y = sin x + cos x och y = sin x (röd kurva). y = sinx + cosx 1 Vi ser att kurvorna har samma period men olika amplituder. Dessutom är y = sin x + cos x förskjuten 45° åt vänster i förhållande till y = sin x. y = sinx x 90° Det verkar rimligt att y = sin x + cos x kan skrivas som en sinusfunktion på formen y = m · sin (x + v) där m ≈ 1,4 och v ≈ 45°. Här ska vi nu visa detta. Vi ska alltså visa sambandet i regelrutan: ! a sin x + b cos x = m · sin (x + v) där a > 0 och b > 0 Vänster led: a sin x + b cos x = b = a sin x + cos x a Höger led: m sin (x + v) = = m (sin x cos v + cos x sin v) Vi bryter ut a Enligt additionssatsen för sinus sin v = m cos v sin x + cos x cos v Vi bryter ut cos v = m cos v (sin x + tan v cos x) sin v = tan v cos v Nu kan sambandet i regelrutan skrivas: b a sin x + cos x = m cos v (sin x + tan v cos x) a De båda leden är lika för alla x om följande gäller: • a = m cos v • b = tan v a (eftersom både a och b är positiva tal, så gäller att 0° < v < 90°) triGonometri M4 sa rtryck.indb 49 49 12-12-13 16.01.41 KApiTeL 1 v b a Titta nu på den rätvinkliga triangeln med kateterna a och b. a2 + b2 Enligt Pythagoras sats är hypotenusan = Från triangeln ser vi också att cos v = a a + b2 2 Då uttrycket för cos v sätts in i a = m cos v får vi m = a 2 + b 2 Alltså kan funktionen skrivas y = a 2 + b 2 ⋅ sin( x + v ) där tan v = b a Vi har alltså visat den första satsen i rutan nedanför. För båda satserna gäller att a > 0 och b > 0. ! sATs y = asinx + bcosx = a2 + b2 · sin(x + v) 2 2 y = asinx – bcosx = a + b · sin(x – v) där tanv = där tanv = b a b a EXEMPEL 1 a) Skriv y = sin x + cos x på formen y = msin (x + v). 1. y = 1 sin x + 1 cos x ger att a = 1 och b = 1 a + b = 1 + 1 = 2 ≈ 1,41 b 1 3. tan v = ger tan v = = 1 dvs v = 45° a 1 svar: y = 1,41sin (x + 45°) Se grafen på förra sidan. 2. 2 2 b) Skriv y = 3 sin x – cos x på formen y = m sin (x – v). 1. y = 3 sin x – 1 cos x ger att a = 3 och b = 1 a + b = 9 + 1 = 10 ≈ 3,16 b 1 3. tan v = ger tan v = dvs v ≈ 18,4° a 3 svar: y = 3,16 sin (x – 18,4°) 2. 50 M4 sa rtryck.indb 50 2 2 1.3 formler 12-12-13 16.01.44 KAPITEL 1 1336 Skriv på formen y = m sin (x + v). 1342 Bilden visar grafen till en funktion y = m sin (x – v). Skriv funktionen på formen y = a sin x – b cos x . a) y = 3 sin x + 4 cos x b) y = 12 sin x – 5 cos x 2 1337 Är det sant att man får funktionen i föregående uppgift genom att y 1 a) y = 5 sin x förskjuts 53,1° åt vänster x 90° 180° 270° b) y = 13 sin x förskjuts 22,6° åt höger? –1 1338 Bestäm ett exakt värde på följande funktioners amplitud. a) y = 3 sin x + cos x b) y = 5 sin x – 4 sin x 1343 Lös följande ekvationer då 0 ≤ x ≤ 300°. Avrunda svaren till hela grader. 1339 Beskriv följande funktionskurvor genom a) 3 sin x + cos x = 2 2 c) 2tan x − =1 cos x att ange amplitud och förskjutning. a) y = sin x + 3 cos x b) y = 2 sin x – 2 cos x 1344 Funktionen y = a sin x – 8 cos x har amplituden 10. Hur mycket är kurvan förskjuten i x-led? 1340 Jon påstår att om a = b i sambandet y = a sin x + b cos x så är kurvan alltid förskjuten 45° åt vänster. Har Jon rätt? Förklara. b) sin x – cos x = 1 1345 Vi har funktionen y = sin x + cos 2x. Bestäm funktionens a) period 1341 Skriv y = 20 sin (x + 26,6°) på formen b) största värde. y = a sin x + b cos x Para ihop uttryck I tabellen ser du en mängd olika uttryck. Här ska du utveckla/förenkla uttrycken så att du kan para ihop varje uttryck i kolumn A med ett uttryck i kolumn B. A B 1 1 (cos x + sin x)2 + (cos x – sin x)2 2 1 – (sin x – cos x)2 1 + tan2 x cos2 x 5 cos (x + 270°) tan 2x cos x 6 tan x · cos x + sin (–x) 3 4 7 8 9 10 cos2 x(tan2 x + 1) 1 – sin2 x cos2 x 0 2 tan x sin 2x 1 sin 2x 2 tan x 1 + cos 2x 1 − tan2 x sin (x – 270°) sin x trigonometri M4 sa rtryck.indb 51 51 12-12-13 16.01.45 KApiTeL 1 1.4 rAdiAner Vinkelmåttet radianer Tidigare har vi mätt vinklar i grader, där 1 varv motsvarar 360°. Nu ska vi istället mäta vinklar i radianer. Vinkelmåttet radian används speciellt i praktiska sammanhang, t ex om man beskriver hur spänningen i en väggkontakt varierar. ! definiTion: radian r r En vinkel är 1 radian, om den i en cirkel ger en båge 1 rad som är lika stor som radien. r Vinkeln 1 rad betyder att bågens längd = radien. Vinkeln 2 rad ger alltså en båge som är 2 · radien. Vinkeln 2π rad ger en båge som är 2π · radien. Eftersom ”bågen” 2π · radien betyder cirkelns omkrets, får vi att 2π rad =360° ! Ett varv = 2π radianer = 360° 1 radian = 1º = 2π 360 360° 2π rad = = 180° π 180 π ≈ 57,3° rad ≈ 0,01745 rad Observera att det är vanligt att man utelämnar radianbeteckningen och endast skriver t ex 2π = 360° 52 M4 sa rtryck.indb 52 π = 180° 1.4 radianer 12-12-13 16.01.46 KApiTeL 1 Då medelpunktsvinkeln i en cirkelsektor anges i radianer, blir formlerna för bågen och arean mycket enkla. ! sATs: båglängd och area av cirkelsektor Bågen Arean b=v·r A= v ⋅r b 2 v 2 r Bilden nedan visar y = sin x, där x ges i radianer. Observera att vi har samma skala på axlarna. 1 y y = sinx x –π 1 π 2π –1 I Exempel 1 visar vi hur man omvandlar från grader till radianer och tvärtom. Många räknare ger direkt dessa omvandlingar. Se också tabellen på sidan 85. EXEMPEL 1 a) Omvandla 44° till radianer. π 44 ⋅ π 44° = 44 ⋅ = ≈ 0,768 rad 180 180 b) Omvandla 45° till radianer. Svara exakt. 45 ⋅ π π = rad 45° = 180 4 c) Omvandla 1,7 rad till grader. 180° 1,7 ⋅ 180° = ≈ 97,4° 1,7 rad = 1,7 ⋅ π π π till grader. 3 π 180° = 60° Eftersom π = 180° får vi att = 3 3 d) Omvandla triGonometri M4 sa rtryck.indb 53 53 12-12-13 16.01.48 KApiTeL 1 EXEMPEL 2 Lös ekvationen cos 2x = 0,1. Svara i radianer med tre värdesiffror. Räknaren ger ca 1,4706 rad. Räknaren ska vara ställd på radianer. 2x ≈ ± 1,4706 + n · 2π Nu ska alla termer divideras med 2! x ≈ ± 0,735 + n · π svar: x ≈ ± 0,735 + n · π EXEMPEL 3 Lös ekvationen 4 sin x + 3,2 = 0. Svara i radianer med tre värdesiffror. 4 sin x = –3,2 3,2 sin x = − 4 Räknaren ger –0,927 rad sin x = –0,8 x ≈ –0,927 + n · 2π x ≈ 5,36 + n · 2π (2π – 0,927 ≈ 5,36) x ≈ π – (–0,927) + n · 2π x ≈ 4,07 + n · 2π eller svar: x ≈ 5,36 + n · 2π eller x ≈ 4,07 + n · 2π EXEMPEL 4 Grafen visar en sinusfunktion. Vilket är funktionsuttrycket? y 1 x –π π –1 Amplituden = 2 Perioden = 2π Kurvan är förskjuten 1,5 ruta till höger. π 1,5 ruta motsvarar 4 π svar: y = 2sin x − 4 54 M4 sa rtryck.indb 54 1.4 radianer 12-12-13 16.01.50 KAPITEL 1 1410 Den astronomiintresserade Lisa tittar Omvandla följande vinklar till radianer. Svara exakt. 1401 a) 90° b) 60° c) 45° 1402 a) 30° b) 360° c) 120° d) 270° på månen genom sitt teleskop. Hon ser månen under en vinkel som är ungefär 0,5°. Hur stor är månens diameter om avståndet till jorden är ungefär 380 000 km? d) 300° Vinklarna nedan är angivna i radianer. Omvandla till grader. 1403 a) 2π b) π 2 c) π 1404 a) 1,5π b) 5π c) π 10 0,5° Månen d) π 3 d) 4π 3 1405 Enhetscirkeln i bilden har delats i 12 lika stora delar. Ange i radianer (uttryckt i π) de vinklar som motsvarar radierna a–g. c d b Lös följande ekvationer. Svara i radianer med tre värdesiffror. 1411 a) sin x = 0,65 b) cos x = 0,83 1412 a) 2sin x = 1 b) 4cos x = 1 1413 a) tan x = 2 a x e Jorden g b) 5tan x = 4 1414 Ange en ekvation y = f (x) till följande sinusfunktioner. a) f 1 y x 1406 Omvandla till radianer. Svara med tre värdesiffror. a) 50° b) 110° c) 28° d) 212° −π π b) 3 2 1407 Omvandla till grader. Svara med tre 1 värdesiffror. a) 1,2 rad b) 0,75 rad c) 10 rad d) 1 rad y x π −π 1408 I en cirkelsektor är radien 3 cm och medelpunktsvinkeln 2 radianer. Beräkna cirkelsektorns a) båge b) area c) omkrets. c) 1409 Eric skär en tårtbit och har bestämt sig för att skära en bit som har medelpunkts­vinkeln 2 radianer. Hur stor del av tårtan får han? 1 –π –1 y x π trigonometri M4 sa rtryck.indb 55 55 12-12-13 16.01.51 KAPITEL 1 1415 Ange en ekvation y = f (x) till följande 1420 Nedan ser du grafen till cosinusfunktioner. a) 1 y = 2 cos 3x. y Visa hur du löser olikheten 2 cos 3x < 0 i intervallet 0 < x < 2π. x –π π –1 b) 1 –π 1416 1417 y = 2cos3x 1 y x x –1 –1 π –1 y 2 1 2π π 3π –2 Titta igen på grafen i 1415 a). Avläs grafiskt två rötter till ekvationen f (x) = 0,5. 1421 Figuren visar grafen till funktionen y = a + b sin 2x. Bestäm konstanterna a och b. (Np Ma D 2005 ) Lös ekvationen. Svara i radianer med tre värdesiffror y a) 4 + 3 cos 2x = 5 2 b) 0 = 4 + 5 sin 0,2x 1 1418 Ange en ekvation y = f (x) till följande –π 2 sinusfunktioner. a) x π 2 π 3π 2 1422 Använd räknare och rita graferna till y 1 x –π π y = cos x och y = sin x. Lös sedan ekvationen sin x = cos x i intervallet 0 < x < 2π. a) grafiskt och svara med en decimal b) algebraiskt och svara exakt. b) 1423 Härled formeln för en cirkel- y sektors area då vinkeln mäts i radianer. 1 x –π π 1424 Arean A av ett cirkelsegment kan beräknas med sambandet r 2 ( v − sin v ) . A= 2 1419 56 M4 sa rtryck.indb 56 Titta på grafen i 1418 b). Avläs grafiskt två rötter till ekvationen f(x) = –0,5. Uttryck svaret i π. v A Visa att detta samband alltid gäller då v mäts i radianer. 1.4 Radianer 12-12-13 16.01.52 KApiTeL 1 exakta värden och radianer I kurs 3 bestämde vi exakta värden för vissa vinklar, nämligen vinklarna i ”den halva liksidiga triangeln” och ”halva kvadraten”. Nu anger vi vinklarna i radianer. ! Bra att komma ihåg: 30° = π 6 60° = π 3 45° = π 4 90° = 2 π 4 π 6 2 π 2 3 π 3 1 π 4 1 1 EXEMPEL 1 Beräkna cos 9π utan räknare. Vinkeln 9π innehåller fyra ”hela varv”. Vi ”drar bort” dessa fyra varv och får då ett uttryck som vi klarar utan räknare. cos 9π = cos (π + 8π) = cos π = –1 svar: cos 9π = –1 EXEMPEL 2 Använd trianglarna ovan och bestäm i exakt form. a) cos π 3 = 6 2 b) sin π 1 = 4 2 triGonometri M4 sa rtryck.indb 57 57 12-12-13 16.01.53 KApiTeL 1 EXEMPEL 3 Lös ekvationen sin2 x = 1 . Svara i radianer på exakt form. 2 I de flesta formelsamlingar finns det en tabell med ”exakta värden på några trigonometriska funktioner”. På sidan 85 finns en tabell för vinklarna 0°, 30°, 60° osv. I tabellen ser vi att svaret till ekvationen är π 3π 2 x = eller 2 x = 4 4 Den senare lösningen fås även ur 2 x = π − Vi får lösningarna x = svar: x = π 3π = 4 4 π 3π och x = . Perioden är π. 8 8 π + n ⋅π 8 eller x= 3π +n⋅π 8 EXEMPEL 4 Lös ekvationen tan x = 3 . Ange svaret i radianer på exakt form. Tabellen ger oss vinkeln svar: x = π + n ⋅π 3 Använd trianglarna på sidan 61 och bestäm i exakt form. π 1425 a) sin 6 c) cos 1426 58 M4 sa rtryck.indb 58 π b) cos 3 π 4 π 3 π c) cos 6 a) tan b) tan π 4 π 3 Skriv som ett bråk. π 6 2π c) π − 3 b) π − π 4 b) π − 5π 6 1427 a) π − 1428 a) π − 1429 Beräkna sinus för följande vinklar. a) 20π b) 17π c) 12,5π π 12 3π c) π − 5 1.4 radianer 12-12-13 16.01.58 KAPITEL 1 1430 Beräkna tangens för följande vinklar. a) 4π b) 4,5π 1431 Beräkna exakt. a) cos 10,25π 95π c) sin 6 c) 13,25π 1439 För trefas växelström i ellära används uttrycket sin x + sin (x + 2π / 3) + sin (x + 4π / 3). Förenkla uttrycket. 40π b) tan 3 1440 Nedan ser du grafen till funktionen f (x) = 2 sin 2x + 3. 4 Lös följande ekvationer. Ange svaret i radianer, om möjligt exakt. 1432 a) sin x = 0,5 b) sin x = − c) sin x = 0,456 1433 a) cos x = 0,5 c) cos x = − 1434 a) tan x = 1 2 1 3 3 2 3 b) cos3x = 2 b) tan x = 1,5 c) tan x = –0,504 π = 0,5 3 π b) cos 2 x − = 1 4 1435 a) sin x + 1436 Lös ekvationen 2 cos (3x – π / 2) + 1 = 2 a) algebraiskt b) grafiskt genom att rita y = 2 cos (3x – π / 2) + 1 och y = 2 med grafritare. Svara både exakt och med närmevärde. 1437 Bestäm antalet lösningar till ekvationen x2 − 1 , där x mäts i radianer. 10 (Np Ma D Vt 2005 ) sin2 x = 1438 Förenkla följande uttryck: a) sin (x + π / 3) + sin (x – π / 3) y 3 2 1 –1 x 1 π 2π 3π a) Lös ekvationen 2 sin 2x + 3 = 4 då 0 < x < 2π. b) Vad måste gälla för talet a för att ekvationen 2 sin 2x + 3 = a ska ha fyra olika lösningar i intervallet 0 < x < 2π? c) Vad måste gälla för talet a för att ekvationen 2 sin 2x + 3 = a ska ha två lösningar i intervallet 0 < x < 2π? d) Samma graf som bilden visar, kan fås med funktionen g(x) = A cos (kx + v) + B. Bestäm funktionen. 1441 Lös ekvationen 2 cos2 x – cos x – 1 = 0 1442 En trigonometrisk ekvation har π lösningarna x1 = + n ⋅ π och 8 3π x2 = + n ⋅π 8 Vilken är ekvationen? 1443 Lös ekvationen sin 2x = cos (0,5π – x) för 0 < x < 2π a) grafiskt b) algebraiskt och svara exakt. b) cos (x – π / 6) – cos (x + π / 6) trigonometri M4 sa rtryck.indb 59 59 12-12-13 16.02.00 KApiTeL 1 Tillämpningar Med hjälp av trigonometriska funktioner kan vi beskriva periodiska förlopp, t ex hur tidvatten höjs och sänks. I dessa ”praktiska sammanhang” används alltid vinkelmåttet radianer. EXEMPEL 1 Vid ett experiment ändras temperaturen y °C enligt y = 25 + 35 sin 0,8t där t är tiden i timmar efter experimentets början. a) Bestäm temperaturen vid experimentets start. t = 0 ger y = 25 + 35 sin 0 = 25 + 0 = 25 svar: 25 °C b) Vilken är den lägsta temperaturen? Eftersom sin 0,8t varierar mellan + 1 och –1 blir den lägsta temperaturen y = 25 + 35 · (–1) = 25 – 35 = –10 Om t ex t = tiden i timmar så gäller svar: –10 °C att 0,8t har enheten radianer. c) Bestäm temperaturen då t = 5. y(5) = 25 + 35 sin (0,8 · 5) y(5) ≈ 25 + 35 · (– 0,7568) ≈ –1,5 svar: –1,5 °C d) Hur många minuter efter experimentets start är temperaturen för första gången 40 °C? Vi ska lösa ekvationen 40 = 25 + 35 sin 0,8t 15 = 35 sin 0,8t 15 sin0,8t = 35 0,8t ≈ 0,4429 + n · 2π eller 0,8t ≈ π – 0,4429 + n · 2π t ≈ 0,5536 + n · 7,85 t ≈ 3,37 + n · 7,85 Den minsta positiva roten är t ≈ 0,5536 0,5536 h = 0,5536 · 60 minuter ≈ 33 minuter svar: Efter ca 33 minuter 60 M4 sa rtryck.indb 60 1.4 radianer 12-12-13 16.02.02 KApiTeL 1 EXEMPEL 2 På senare tid har astronomer upptäckt många nya planeter. När planeten går runt en stjärna kan det orsaka små variationer i den fart som stjärnan har bort från oss eller mot oss. Grafen visar sådana variationer för stjärnan 51 Pegasi som ligger på 45 ljusårs avstånd. (1,1; 53) km/s y 40 20 x 1 2 3 4 5 6 dygn Ställ upp en matematisk modell som visar planetens hastighetsförändring y (km/s) som en funktion av tiden x (dygn). Använd modellen y = A sin kx. Från grafen ser vi att amplituden är 53 km/s. Vi ser också att en fjärdedels period är 1,1 dygn, vilket ger perioden = 4,4 dygn. I tillämpningar mäts vinkeln i radianer! Nu ska konstanten k bestämmas. 2π 2π ≈ 1,43 = 4,4 ⇒ k = 4,4 k Detta ger oss y = 53 sin 1,43x svar: y = 53 sin 1,43x Att funktionen har 4,4 dygn som period betyder att omloppstiden för planeten är 4,4 dygn. Observera att vi inte vet något om stjärnans egentliga fart, utan y beskriver förändringen av farten som alltså ökar eller minskar med som mest 53 km/s! triGonometri M4 sa rtryck.indb 61 61 12-12-13 16.02.06 KAPITEL 1 1444 Kalle har antecknat hur många ”timmar dag” det är på den ort där han bor. Uppgifterna om ”solens uppoch nedgång” har Kalle tagit från en dagstidning. Med hjälp av dessa värden har han sedan ritat en graf. Avläs från grafen och bestäm a) perioden a) Beräkna temperaturen vid experimentets start. b) Är det sant att temperaturen är 36 grader en timma efter start? d) Hur lång tid från försökets start är temperaturen för första gången 0 grader? c) amplituden. Antal ”timmar dag” e) Hur lång tid är det minusgrader under experimentets 10 första timmar? 20 1448 En forskare har gjort en matematisk 12 4 tid 21/6 21/9 21/12 datum 1445 Temperaturen i en ugn kan beräknas med formeln f (t) = 150 + 50 sin 0,52t där f (t) är temperaturen i grader och t = tiden i timmar. a) Bestäm den högsta temperaturen. b) Bestäm den lägsta temperaturen. c) Vilken är temperaturen då t = 6? d) Lös ekvationen f (t) = 175 för 0 < t < 10. 1446 Den elektriska spänningen i ett vägguttag kan beskrivas med formeln u(t) = 311 sin 314t där u = spänningen i volt och t = tiden i sekunder. Beräkna a) u(0) b) u(0,008) c) u(0,5) d) När blir spänningen för första gången 220 V? M4 sa rtryck.indb 62 i grader enligt f(x) = 20 + 25 sin 0,85x där x är antal timmar efter experimentets början. c) Med hur många grader ökade temperaturen under experimentets 2:a timma? b) antal ”timmar dag” den kortaste dagen 62 1447 Vid ett experiment ändras temperaturen f(x) modell för beräkning av antalet fåglar i ett område. Modellen anger att antalet fåglar f (t) varierar enligt f (t) = 250 + 180 · sin 0,12(t – 13) är t = antal veckor efter 1 januari. a) Bestäm f(0), dvs antalet fåglar vid årets början. b) Hur många fåglar finns det då t = 15? c) Hur många fåglar finns det som mest i området? d) Lös ekvationen f(t) = 320 för 0 < t < 52. 1449 Funktionen h(t) är en modell av hur vatten- djupet i en hamn varierar pga tidvatten. h(t) = 3 + 2 sin 0,5236t h = vattendjup i meter t = antal timmar efter klockan 07.00 a) Vilket är vattendjupet klockan 07.00? b) Vilket är vattendjupet klockan 08.00? c) Vilket är det största vattendjupet i hamnen? d) Vid vilka tidpunkter är vattendjupet 1 m? e) Ett visst fartyg kan gå in i hamnen om vattendjupet är mer än 4,5 m. Hur lång tid kan detta fartyg besöka hamnen? 1.4 Radianer 12-12-13 16.02.06 KAPITEL 1 1450 Lisas blodtryck y varierar enligt sambandet y = A sin kt + B där tiden t mäts i sekunder. Perioden, alltså tiden mellan två hjärtslag, är 1,5 s. Lisas högsta blodtryck är 97 mm Hg och det lägsta är 63 mm Hg. Teckna funktionen. 1451 I Varberg varierar solstrålningens intensitet y mätt i W/m2 enligt π y = 13 − 50cos x då 6 ≤ x ≤ 18 12 där x = 6 motsvarar klockan 06.00 och x = 18 motsvarar 18.00. a) Bestäm intensiteten klockan 06.00 och 10.30. b) Vilken är den största respektive minsta intensiteten? c) När är intensiteten 60 W/m2? π d) Lös olikheten 13 − 50cos x > 50 och 12 tolka resultatet. 1452 Tyngdaccelerationen på breddgrad x kan approximativt bestämmas med g(x) = a cos 2x + b då 0 < x < 90°. Som du kanske vet är breddgraden vid ekvatorn 0° och på nordpolen är den 90°. a) Bestäm a och b om tyngdaccelerationen vid ekvatorn är 9,780 m/s2 och tyngdaccelerationen på nordpolen är 9,832 m/s2. b) Vid vilken breddgrad är tyngdaccelerationen 9,810 m/s2? 1453 En svängningsrörelse kan beskrivas av f (x) = a · cos (bx + π) + d där det är givet att perioden är π och att f(0) = 2 samt f (π / 4) = 5. 1454 Lille Ole åker karusell. Han sitter på en häst 5 meter från karusellens centrum. Mamma står 10 meter från karusellens centrum och vinkar. Karusellen börjar snurra med farten 2 varv i minuten. a) Ställ upp en formel för Oles x-koordinat och en annan formel för hans y-koordinat vid tiden t, där t är tiden i minuter sedan karusellen satt igång. Tänk dig att origo motsvarar karusellens centrum, och att Oles koordinater vid tiden t = 0 var (5, 0). b) Använd resultatet i a-uppgiften och bestäm avståndet s mellan mamma och Ole. Utgå från att mamma står i punkten (10, 0). a) Visa hur du bestämmer konstanterna a, b och d. b) Lös ekvationen f (x) = 2. trigonometri M4 sa rtryck.indb 63 63 12-12-13 16.02.08 KApiTeL 1 AKTiViTeT rätt eller fel? Här ska du avgöra vilka av följande påståenden som är rätt respektive fel. Arbeta utan räknare, gärna två och två. Tänk på att motivera svaren! 1 sin 30° = sin 750° 2 Funktionen f(x) = 3 – 6 cos (2x – 60°) har största värdet 9 och minsta värdet –3. 3 sin 60° = sin 30° + sin 30° 4 Funktionen f(x) = 6 cos (3x – 60°) är förskjuten 60° åt höger. 5 Ekvationen 3 + A cos 3x = 7 saknar lösning då A > 4 6 Funktionen f (t ) = 3sin π t har perioden 24 12 7 Om vinkeln v ligger i andra kvadranten så är sin v < cos v 8 sin 210° = sin 330° 9 Om sin v = –1 så är v = 270° 10 På ett varv går det π radianer 2x har perioden π · k k 12 Enhetscirkeln har omkretsen 2π 11 Ekvationen 3sin 13 Om radien i en cirkel är 3 dm och medelpunktsvinkeln är 2 radianer är bågens längd 5 cm. n x = 0,5 har lösningen x = ±120° + k k π 15 Ekvationen sin 2x = 0,6 saknar lösning i intervallet < x <π 2 16 Då sin x = 0 är tan x ej definierad. 14 Ekvationen cos 17 Funktionen f ( x ) = 3sin 18 cos2 x(2 tan2 x + 2) = 2 x + 1 har perioden 2π · k k π = 3 6 19 Om f(x) = 2 sin 2x så är f 20 Ekvationen A sin 2x = 7 har två lösningar i intervallet 0 < x < 360° om A = 7. 64 M4 sa rtryck.indb 64 1.4 radianer 12-12-13 16.02.15 KApiTeL 1 Trigonometriska bevis I det här avsnittet får du träna på att visa/bevisa några trigonometriska samband. Använd faktarutans formler för dessa bevis. ! sin2 x + cos2 x = 1 Trigonometriska ettan sin 2x = 2 · sin x · cos x Sinus för dubbla vinkeln cos 2x = cos2 x – sin2 x = 1 – 2 sin2 x Cosinus för dubbla vinkeln sin x cos x = tan x Definition av tangens Ett ”tillåtet” sätt att genomföra bevisen, är att förenkla det ena ledet så att det blir lika med det andra ledet. Ofta är det bra att börja med det led som ser mest komplicerat ut. Den här typen av bevis kallas direkta bevis. EXEMPEL 1 a) Visa att cos 2x = 1 – sin 2x · tan x Vi väljer att förenkla HL (högra ledet) och utnyttjar då att sin x sin 2x = 2 sin x cos x och tan x = cos x sin x HL = 1 – sin 2x · tan x = 1 − 2sin x cos x ⋅ = cos x = 1 – 2 sin2 x = cos 2x = VL VSV b) Visa att (cos x + sin x)2 + (cos x – sin x)2 = 2 VL = (cos x + sin x)2 + (cos x – sin x)2 = = cos2 x + 2 sin x cos x + sin2 x + cos2 x – 2 sin x cos x + sin2 x = = 2 cos2 x + 2 sin2 x = 2 (sin2 x + cos2 x) = 2 = HL VSV triGonometri M4 sa rtryck.indb 65 65 12-12-13 16.02.17 KApiTeL 1 EXEMPEL 2 1 cos 2 x a) Visa att 1 + tan 2 x = VL = 1 + tan 2 x = 1 + 1 + tan 2 x = 1 + sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x + sin 2 x 1 = + = = = HL VSV 2 2 2 2 cos x cos x cos x cos x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x + sin 2 x 1 = + = = = HL VSV 2 2 2 2 cos x cos x cos x cos x cos 2 x Lägg märke till hur vi gör liknämnigt. b) Visa att HL = = 1455 1456 Förenkla a) 2 cos2 x – cos 2x 2 1 1 = + 2 cos x 1 + sin x 1 − sin x 1 ⋅ (1 − sin x ) 1 ⋅ (1 + sin x ) 1 1 + = + = 1 + sin x 1 − sin x (1 + sin x ) ⋅ (1 − sin x ) (1 − sin x ) ⋅ (1 + sin x ) 1 − sin x 1 + sin x 2 2 + = = = VL VSV 1 − sin 2 x 1 − sin 2 x 1 − sin 2 x cos 2 x sin2x b) sinx cosx Visa att sin x · cos2 x + sin3 x = sin x 1457 Förenkla uttrycket sin x – cos x · tan x 1458 4sin x cosx = 2sin2 x Visa att sin 2 x + cos 2 x 1459 1460 1461 66 M4 sa rtryck.indb 66 Visa att (cos x + sin x)(cos x – sin x) = cos 2x Visa att (sin x + cos x)2 = 1 + sin 2x 2 Visa att tan x · sin x + cos 2x = 1 1462 a) Visa att 1 − tan 2 x = 1 cos 2 x b) För vilka x gäller inte sambandet i a-uppgiften? 1463 Visa hur du löser följande NP-uppgift. Vilket av följande uttryck A–F kan förenklas till 1? A (sin x + cos x)2 B (sin x – cos x)2 C (sin x + cos x)(sin x – cos x) D cos x(tan x · sin x + cos x) E sin x cos x + cos x sin x F 2(sin x + cos x) (Np Ma D Vt 2005 ) 1.4 radianer 12-12-13 16.02.19 KApiTeL 1 1468 Visa att 2 cos2 2x = 1 + cos 4x 1469 a) Visa att b) Lös ekvationen tan x = 1,25 fullständigt. sin2 x 1 + cos2 x 1465 Visa att tan x = 1466 Är förenklingen korrekt utförd? Motivera steg för steg. 2sin2 x = 5 kan omformas 1 − sin 2 x till tan x = 1,25 (Np Ma D Vt 1999) 1470 sin v cos x cos x (1 − sin x ) (1 − sin x ) 1 = = = − tan x 2 1 + sin x 1 − sin x cos x cos x cos x (1 − sin x ) (1 − sin x ) 1 = = = − tan x 2 1 − sin x cos x cos x Med hjälp av figuren kan formlerna för dubbla vinkeln ”plockas fram”. Visa hur man gör. 1 v sin 2v Visa att sin2 x cos2 x 1 − = a) sin x cos x cos x 1 sin x 1 + = b) 2 1 + sin x cos x cos 2 x d 1464 1467 Filip förenklar uttrycket 1 1 + = 1 − sin x 1 + sin x cos v v c 1 1 + enligt nedan. 1 − sin x 1 + sin x v cos 2v a b (1 − sin x ) (1 + sin x ) + = (1 − sin x )(1 − sin x ) (1 + sin x )(1 + sin x ) 1471 Utgå från en vinkel A, där 0° < A < 90°, (1 − sin x ) (1 + sin x ) = + = (1 − sin x )(1 − sin x ) (1 + sin x )(1 + sin x ) 1 1 = 1 − sin x 1 + sin x = + = 1 − sin 2 x 1 − sin 2 x 1 − sin x + 1 + sin x 2 = = 1 − sin 2 x cos 2 x och visa att 2 + 1 + >7 sin A cos A Han påstår sedan: ”Jag har fått rätt svar, då måste jag ha gjort rätt” Stämmer detta? TAnKenöT 5 Bestäm förhål landet mellan sidorn a i en likbent triang el, där höjden mot de n ”tredje sidan” är 1/5 av omkretsen. triGonometri M4 sa rtryck.indb 67 67 12-12-13 16.02.22 KApiTeL 1 SammanfattninG enhetscirkeln sin v = y 1 y (x, y) cos v = x sin v tan v = cos v v –1 x 1 –1 samband mellan vinklar sin x = cos (90° – x) cos x = sin (90° – x) Trigonometriska ettan sin2 x + cos2 x = 1 Trigonometriska ekvationer sin x = 0,5 har lösningen x = 30° + n · 360° eller x = 180° – 30° + n · 360° cos x = 0,5 har lösningen x = ± 60° + n · 360° tan x = 2 har lösningen x ≈ 63° + n · 180° grafer Bilden visar grafen till y = sin x (röd) och y = cos x (svart). Båda dessa funktioner har perioden 360°. y y = sinx 1 y = cosx x 90° 180° 270° 360° –1 Bilden visar grafen till y = tan x. Här gäller att perioden är 180°. y y = tanx 1 x 180° 360° 540° Observera att y = tan x inte är definierad för x = 90° + n · 180° 68 M4 sa rtryck.indb 68 triGonometri 12-12-13 16.02.32 KApiTeL 1 grafer forts. Bilden visar grafen till y = 1 + 3 · sin 2(x – 45°) y 1 x 90° 180° 270° 360° –1 Amplitud = 3 Period = 180° Förskjutning = 45° åt höger Kurvan har ”lyfts upp” 1 enhet. Additions- och subtraktionssatser för sinus och cosinus cos (u + v) = cos u cos v – sin u sin v sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v cos (u – v) = cos u cos v + sin u sin v sin (u – v) = sin u cos v – cos u sin v formler för dubbla vinkeln sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x – sin2 x cos 2x = 2 cos2 x – 1 cos 2x = 1 – 2 sin2 x radian 2π rad = 360° 1 rad = 1° = 180° ≈ 57,3° π π ≈ 0,01745 rad 180 360° = 2π 180° = π π 90° = 2 exakta värden sin π 3 = 3 2 tan π 1 = 6 3 Tabell med exakta värden finns på sidan 85. π 6 2 π 3 3 1 triGonometri M4 sa rtryck.indb 69 69 12-12-13 16.02.42 KApiTeL 1 teSt 1 Tabell med exakta värden får användas. 1 2 7 Du vet att sin x = 0,8. Bestäm cos x. 1 –1 Antag att du vet att sin 35° ≈ 0,57 och cos 35° ≈ 0,82. 4 5 a) sin 145° b) cos 145° c) sin 215° d) cos 325° 8 Funktionen y = A sin 3x – 1 har minsta värdet –5. Bestäm värdet på A samt funktionens största värde. 9 Förenkla följande uttryck: b) cos (x – π / 6) – cos (x + π / 6) c) sin x + sin (x + 2π / 3) + sin (x + 4π / 3) 10 x 1 π 2π Bestäm värdet av konstanten k så att 11 Bestäm cos 2x då du vet följande. a) sin x = 1 / 3 b) cos x = 1 / 4 12 Visa hur du kan bestämma sin 2x då du vet att sin x = 5 / 13. 13 Lös ekvationerna. Svara exakt och i radianer. 1 3 a) cos x = b) sin x = − 2 2 14 För f (x) = a sin (bx) + c gäller följande villkor: Perioden är π, f(0) = 1 och f (π / 4) = 1,5. Bestäm konstanterna a, b och c. 3π –3 –4 Bestäm period i grader och det minsta värdet för följande funktioner. a) y = 2 sin 4x + 1 b) y = 2 cos 2x – 1 c) y = 2 sin (x – 30°) M4 sa rtryck.indb 70 3π cos (3x + 90°) – cos (3x + 270°) = ksin 3x. –2 70 2π a) sin (x + π / 3) + sin (x – π / 3) y 1 6 π b) Beskriv grafen till funktionen g(x) = –A cos x + B Bestäm funktionsuttryck för de två kurvorna. Låt den röda vara en sinusfunktion och den blå en cosinusfunktion. –1 1 a) Bestäm konstanterna A och B. Förklara varför x = –58° + n · 120° kan skrivas x = 62° + n · 120° –1 x –3 Förenkla cos (x – 30°) – cos (x + 30°) 2 –1 y –2 Visa hur du bestämmer följande. 3 Bilden visar grafen till funktionen f (x) = A cos x + B. triGonometri 12-12-13 16.02.52 KApiTeL 1 15 Visa att ( 16 17 2 − cos v )( 22 Bestäm den lösning till tan 0,5x = 1 som ligger i intervallet 200° < x < 600°. 23 Nedan ser du grafen till funktionen f (x) = 2 sin 2x + 3. ) 2 + cos v = 1 + sin 2 v 1 + sin v 1 = + tan v Visa att 1 − sin v cos v 2 4 sin2v + sin v = sin v för alla v där 2cos v + 1 uttrycken i båda led är definierade. Visa att 3 2 1 (Np Ma D Vt 2011) 18 19 –1 d) Bildens graf kan också fås med funktionen g(x) = A cos (kx + v) + B. Bestäm g(x). 24 Beräkna värdet av uttrycken med räknare. a) cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20° b) sin 20° cos 25° + cos 20° sin 25° Lös ekvationerna. Svara i grader. a) sin x(2cos x – 1) = 0 b) cos (2x – 16°) + 1,5 = 2 21 3π c) Vad måste gälla för talet a för att ekvationen 2 sin 2x + 3 = a ska ha två lösningar i intervallet 0 < x < 2π? b) skriva funktionen på formen y = m sin (x + v). Vilket värde får m? a) 0 = 2 + 4 sin 3x 2π π b) Bestäm a så att ekvationen 2 sin 2x + 3 = a får fyra olika lösningar i intervallet 0 < x < 2π? Bestäm det största värdet för funktionen y = 24 sin x + 7cos x genom att Bestäm samtliga lösningar till ekvationerna. x 1 a) Lös ekvationen 2 sin 2x + 3 = 4 då 0 < x < 2π. Beräkna arean av en cirkelsektor som har medelpunktsvinkel 83° och radie 2,3 cm. a) använda grafräknare 20 y b) cos 2x(2 – sin x) = 0 25 Visa hur du löser ekvationen 2 cos2 x – cos x – 1 = 0. Svara exakt och i radianer. c) Visa hur du kan beräkna a- och b-uppgiften med huvudräkning. triGonometri M4 sa rtryck.indb 71 71 12-12-13 16.03.02 KApiTeL 1 26 Visa hur du löser denna NP-uppgift. y x Figuren visar en kvadrat och grafen till en funktion. Välj en trigonometrisk funktion vars graf liknar den i figuren och bestäm kvadratens area för den funktion du valt. (Np Ma D Vt 1999) 27 Använd din grafräknare och rita kurvorna y = sin x och y = sin 2x a) Lös ekvationen sin 2x = sin x grafiskt för π < x < 3π b) Lös nu ekvationen i a-uppgiften algebraiskt. Svara exakt. 28 72 M4 sa rtryck.indb 72 29 En kula hänger i en fjäder och gungar upp och ned. Kulans höjd över marken h meter vid tiden x sekunder kan beskrivas med sambandet h(x) = a sin (bx + c) + d där a = 0,5, b = 2, c = 0 och d = 1 a) Bestäm perioden. b) Sambandet kan också beskrivas med en funktion av typen f (x) = A cos (Bx + C) + D. Bestäm konstanterna A, B, C och D. c) I verkligheten minskar amplituden på grund av friktion. I kurs 5 får du lära dig lösa differentialekvationer, och med deras hjälp kan man analysera hur friktionen påverkar formeln. Man finner då att sambandet ändras med ytterligare en faktor f (x) = e–kx · a sin (bx + c) + d. Rita grafen då k = 0,05. De övriga konstanterna hämtar du från uppgift a. Beskriv grafen! En växelspänning varierar enligt u = 311 sin 100πt där u = spänningen i volt (V) och t = tiden i sekunder. Hur lång tid tar det för spänningen att öka från 250 volt till 311 volt? triGonometri 12-12-13 16.03.07 KAPITEL 1 Blandade uppgifter Lös följande ekvationer för 0° < x < 180°. Om svaren inte blir exakta, är det lämpligt att avrunda till en decimal. 1 a) sin x = 0,289 2 a) cos 3x = 0,891 b) cos x = 1,5 3 a) tan x = –1,5 b) sin 2x = –0,5 b) sin (x – 15°) = 0,866 Lös följande ekvationer. Svara i grader. x 4 a) tan 2x = 1 b) 4cos = 1 2 5 a) 2 cos (x + 40°) = 1 b) 2 + 3 sin 5x = 5 Lös följande ekvationer för 0 < x < 2π. Svara i radianer med två decimaler. 6 a) 40 sin 0,25x = 12 b) 6,8 cos 2x = –4 7 a) 3 + tan x = 12 b) tan 0,04x = 7 8 Omvandla följande vinklar till radianer. Svara exakt. 9 a) 90 b) 150° c) 45° d) 10° Ange största och minsta värde till funktionerna. a) y = 5 + 2 sin 3x b) y = 1 – sin (x – 20°) 10 Lös ekvationerna. Svara i radianer med två decimaler. a) sin x = 0,78 b) cos 2x = –0,82 c) 5,1 + tan 3x = 0 d) sin (2x + 0,3π) = 0,5 11 Ange amplitud, period och förskjutning. a) y = 2,5 sin (x – 30°) b) y = sin (2x + 50°) 12 Ange ekvationen för följande cosinus­ funktioner på formen y = A cos k(x + v) a) Amplitud = 3 Period = 180° Förskjutning 30° åt vänster b) Amplitud = 1 Period = 720° Förskjutning 20° åt höger Bestäm utan att använda räknare. π 2 13 a) tan π b) tan 14 a) sin 2,5π b) cos 17,5π 15 Skriv en funktion på formen y = A sin k(x + v) då a) amplituden är 5, perioden är 90° och förskjutningen är 20° åt höger b) perioden är π, amplituden är 3 och π förskjutningen är åt vänster. 3 16 Bestäm exakta värden för a) tan π 6 b) sin π 3 c) cos 17 Använd additionssatserna och förenkla a) cos (3x + 180°) b) sin (270° + 2x) 18 Beräkna det exakta värdet av cos 2x då man vet att sin x = 0,3. 19 Visa att cos2 x · (tan2 x + 1) = 1 20 Använd triangeln och bestäm exakta värden. 2 a) sin 60° 3 2 b) (tan 60°) c) (sin 30°)2 + (cos 30°)2 60° 1 trigonometri M4 sa rtryck.indb 73 π 4 73 12-12-13 16.03.11 KAPITEL 1 21 Grafen visar hur vattendjupet i en hamn varierar pga tidvattnet. Lös följande uppgifter med hjälp av grafen. m vattendjup Svara i radianer på exakt form. 27 Lös ekvationen f (x) = g(x) då f (x) = sin x och g(x) = cos x. Svara i radianer på exakt form. 2 28 Lös ekvationen 5 sin2 x – 9 sin x – 2 = 0 då 1 tid 5 10 0° < x < 360°. h a) Vilket är det största vattendjupet i hamnen? b) Ange perioden uttryckt i timmar. c) Med hur många meter varierar vattendjupet? d) Ange amplituden uttryckt i meter. 22 Vilket eller vilka av följande alternativ 29 a) Bestäm de x för vilka h(x) = 6 då h(x) = 5 + 2 sin (3x + 60°) och 0° < x < 180°. b) För vilka x-värden i intervallet 0° < x < 180° gäller att h(x) > 6? 30 Lös ekvationen 2 sin x + 4 sin x = 3. Svara exakt och i radianer. 31 Temperaturen y °C varierade under ett dygn beskriver grafen nedan? enligt y = 10 + 20 sin 0,2618t där t = antal timmar efter klockan 07.00. a) y = sin x b) y = sin (x – 90°) a) Vilken var den högsta temperaturen? c) y = cos x d) y = cos (x – 90°) b) Bestäm den lägsta temperaturen. e) y = –sin x Bestäm temperaturen klockan c) 07.00 y 1 π y = 1 – 2 (sin x – cos x)2 har perioden 180°. 24 Bestäm ekvationen för grafen i bilden. h) Bestäm perioden. i) Hur lång tid under dygnet var det minusgrader? 32 Ludde och Lina har löst samma y 1 x 2π 4π 25 Funktionen g(x) = 3 + 4 sin (x + π) gäller för 0 < x < 0,5π. a) Beräkna g(1) b) Lös ekvationen g(x) = 1 74 e) 22.00 g) Vid vilka tider under dygnet var temperaturen noll grader? 23 Visa, utan att rita, att funktionen –2π d) 13.00 f) Lös ekvationen 10 + 20 sin 0,2618t = 30 för 0 < t < 24 x M4 sa rtryck.indb 74 26 Lös ekvationen h(x) = 2 då h(x) = 4cos 3x. ekvation, men kommit fram till olika svar: Luddes svar: x = 45° + n · 180° eller x = 315° + n · 180° Linas svar: x = 45° + n · 90° Visa med en enhetscirkel att båda svaren betyder ”samma sak”, dvs att svaren innehåller samma vinklar. 1.4 Radianer 12-12-13 16.03.12 KAPITEL 1 33 Lös grafiskt ekvationen 4 sin (2x + 30°) = 11 cos (2x + 30°) i intervallet –90° < x < 90°. 34 Lös ekvationen 5 sin2 x – 9 sin x – 2 = 0 för 0° < x < 360°. 44 Använd grafräknare och rita kurvorna y = sin x + cos x samt y = 2 sin( x + 45°) . a) Formulera en slutsats. 35 Beräkna det exakta värdet av tan 100π 3 36 Lös ekvationerna. a) sin 2x = 0,75 sin x cos x 1 = 2 4 Svara exakt och i radianer. 43 Lös ekvationen b) Visa att din slutsats stämmer. 45 Lös ekvationen cos2 3x = sin2 3x 0° < x < 90°. 1 b) sin x cos x = 2 37 Visa att (sin x – cos x)2 = 1 – sin 2x 38 Visa att 1 – sin 2x · tan x = cos 2x 39 Vinkeln v är spetsig och tan v = 2 2 . Beräkna det exakta värdet av cos v. 40 Vilka av följande samband är korrekta? a) sin2 x – cos2 x = 1 b) cos x · tan x = sin x c) sin 2x = 2sin x d) sin 4x = 2 sin 2x cos 2x x 180° − x e) sin = cos 2 2 f) cos 3x = cos x + cos 2x 41 Vattendjupet h (meter) i en hamnbassäng varierar enligt h = 4 + 1,5 sin 0,5236t där t är tiden i timmar efter klockan 06.00. Vilka tider på dygnet är vattendjupet i bassängen mer än 4,8 m? 42 Dagens längd i Anchorage, Alaska, kan 46 Vilken formel för cos 2x får man genom att tillämpa cosinussatsen på bildens likbenta triangel? x x 1 sin x sin x 47 I en cirkel med radie r finns en cirkelsektor vars omkrets är 5r. Hur stor är cirkelsektorns medelpunktsvinkel? Svara i radianer. 48 För funktionen g(x) = A + B cos 3x gäller att g(π) = 2 och g(10π) = 1. Bestäm konstanterna A och B. 49 Bestäm ett närmevärde på konstanten p så att grafen till f(x) = p + 4 sin 3x går genom punkten (1, 3p). Svara med tre värdesiffror. 50 Lös ekvationen grader. 2 − 2sin x = 3 . Svara i sin x 51 Lös algebraiskt ekvationen 2 sin x = tan x. Ange svaret i radianer. 52 Visa att cos 3x = 4 cos 3x – 3cos x bestämmas med följande modell: f (t) = 6,61 · sin (0,0167t – 1,303) + 12,2 53 Lös ekvationen (sin x)3 = 0,25 sin x där f (t) är dagens längd mätt i timmar och t är tiden i dygn efter 1 januari. Använd modellen för att bestämma när den längsta dagen inträffar på året. 54 Bestäm samtliga rötter till ekvationen i intervallet 0° < x < 360°. 3 = 4sin x i intervallet 0 < x < 2π. sin x Svara exakt. trigonometri M4 sa rtryck.indb 75 1 75 12-12-13 16.03.14 FACIT OCH LÖSNINGAR facit och lösningar KApiTeL 1 1101 a) 0 d) 0 1112 b) 1 e) 0 c) –1 f) –1 1102 a) 150° b) 300° (som också kan skrivas –60°) 1103 a) 0,37 b) 0,93 d) –0,37 f) –0,93 c) –0,37 e) 0,93 1104 a) 0,5 1113 b) 0,36 c) –0,34 1105 cos v = 1106 a) 1 12 (≈ 0,92) 13 b) 0,75 1107 b och d är rätt 1108 3 3 sin v = , tan v = 5 4 1114 1109 a) sin v = ± 91 / 10 b) tan v = 12 / 5 = 2,4 1110 y v 180° – v x v –1 1 Punkternas x-koordinater byter tecken ⇒ cosinusvärdet byter tecken. Punkternas y-koordinater är samma ⇒ sinusvärdet är oförändrat. 1111 a) b c) a b) b d) a b, c, a c = sin 165° = = sin (180° – 165°) = sin 15° som är mindre än sin 24° b = cos 100° är negativt, dvs det minsta värdet cos 100° < sin 15° < sin 24° cos x2: Man ska kvadrera x , och sedan bestämma cosinus för x2. (cos x)2: Här ska cosinusvärdet kvadreras. Detta skrivs ofta cos2 x. cos cos x: Man börjar ”inifrån”, t ex cos 60° = 0,5 cos 0,5 ≈ 0,88. Man bestämmer alltså värdet av cos x, och sedan cosinus av svaret. a) T = (–b, a) R = (–a, –b) S = (b, –a) b) Om v motsvarar P, gäller att v + 270° motsvarar S. Från bilden ser vi att sin v = b = cos (v + 270°) och att cos v = a = = –sin (v + 270°). 1115 a) 0,6 1116 v = 90° och v = 270° 1117 a) A = 5 b) A = 2 c) A = 3 1118 1119 a) A = 4 p = 720° b) A = 1 p = 1440° c) A = 0,5 p = 1080° y y = 2sinx 1 y = 4sin2 x y b) 1 x 90° 180° c) x 360° 180° y 360° y = 3 + sinx 3 x 180° 360° 1120 a) 20° åt vänster b) 50° åt höger 1121 a) 45° åt vänster b) 30° åt höger 1122 a) A = 3 p = 180° f = 25° åt höger b) A = 4 p = 180° f = 15° åt vänster 1123 a) A = 1,5 p = 72° f = 12° åt höger b) A = 2 p = 120° f = 30° åt vänster b) –0,8 p = 180° p = 90° p = 72° a) 1124 a) A = 1,5 k = 2 b) A = 1 1125 k=2 a) 3 och –3 b) 2 och 0 c) 5 och –1 1126 y = 1,5 sin 2 · (x – 30°) 76 M4 sa rtryck.indb 76 12-12-13 16.03.18 FACIT 1127 a) y = sin 2x 1138 a) 120° b) 360° c) 180° b) y = 5 sin 2 · (x – 30°) c) y = 3 sin 0,5 · (x + 40°) 1139 a) 3 och –3 c) 0,5 och –0,5 1128 a) y = 2 sin (x – 45°) b) y = 2,5 sin 3 · (x – 45°) c) y = 2 sin 0,25 · (x + 120°) 1129 T ex f(x) = 2 sin 4x + 3 y = 3 och amplituden 2. f(x) = 3 – 2 sin 3x börjar med att ”gå nedåt”, eftersom det är minus framför sin x. g(x) = 3 + 2 sin 3x börjar med att ”gå upp” pga plustecknet. y = 3 – 2sin3x 60 x 360 1131 k = 0,5 och b = 7 1132 y y = 3 sin( 2x + 60°) +1 4 x 60 1142 t ex a) f (x) = 2 sin x + 3 b) f(x) = 3 cos x + 1 1143 Grafens mittlinje är 2. För att nå ner till –1 måste b = 3 eller b = –3. Period = 90° är en fjärdedel mot ”normalt”, ger k = 4. 1144 Period = 180° = 360° / 2. y = 3 + 2sin3x 1 b) y = 3 cos 2 (x – 40°) c) y = 4 cos 0,5(x + 10°) y = cos 2(x – 45°) b) y = 2 sin (x – 90°) och y = –2 cos x 1130 Båda har ”mittlinjen” 5 1140 a) y = cos (x – 30°) 1141 a) y = sin 2x och Amplitud= 2 Kurvans ”mittlinje” = 3 360° / 90° = 4 y b) 5 och 3 360 Amplitud = 2. Grafens mittlinje = 3. Första topp vid 75°. 2 sin 2x + 3 har sin första topp vid 45° (som är 30° tidigare) . Alltså bör 2 sin 2(x – 30°) + 3 = = 2 sin (2x – 60°) + 3 stämma. 2 cos 2x + 3 har sin första topp vid 0° (75° tidigare). Alltså bör 2 cos 2(x – 75°) + 3 = = 2 cos (2x – 150°) + 3 stämma bra. 1145 Funktionsvärdet är 5. 1133 y = 2 sin (2x – 60°) + 3 1134 Asin(kx + v) = Asin k(x + v / k) Detta betyder v / k enheters förskjutning (åt vänster om v / k > 0). 1135 A = 5 / 3 1136 y = 3 sin 4(x – 15°) + 2 1137 y 1 y = cosx 180° x 360° y = 2cosx Ledning: Ekvationerna 2 = A + B och 6 = –A + B ger A = –2 och B = 4. 1201 a) x = 10° + n · 360° x = 170° + n · 360° b) x = 40° + n · 360° x = 140° + n · 360° 1202 a) x = 15° + n · 120° x = 45° + n · 120° b) x = 20° + n · 180° x = 70° + n · 180° 1203 a) x = 50° + n · 360° x = 190° + n · 360° b) x = 70° + n · 360° x = 90° + n · 360° 1204 a) x = 5° + n · 180° x = 75° + n · 180° b) x = 20° + n · 120° x = 50° + n · 120° 1205 a) x = 40° + n · 1440° x = 680° + n · 1440° b) x = 135° + n · 1080° x = 405° + n · 1080° 1206 a) x = 315° + n · 360° x = 225° + n · 360° b) x = 148° + n · 180° x = 122° + n · 180° 1207 a) x = 55° + n · 360° x = 125° + n · 360° b) x = 330° + n · 360° x = 210° + n · 360° 1208 a) x = ± 35° + n · 360° b) x = ± 70° + n · 360° 1209 a) x = ± 10° + n · 180° b) x = ± 15° + n · 120° 1210 a) x = 35° + n · 360° eller x = –115° + n · 360° Kan också skrivas x = 245° + n · 360° b) x = 60° + n · 360° eller x = 330° + n · 360° 1211 a) x = ± 70° + n · 360° b) x = ± 40° + n · 180° 1212 a) x = 130° + n · 360° eller x = 250° + n · 360° b) x = ± 35° + n · 120° 1213 a) Lösning saknas b) x = ± 30° + n · 1080° 1214 a) x = 330° + n · 360° eller x = 210° + n · 360° b) x = 30° + n · 360° eller x = 150° + n · 360° 1215 a) x ≈ 14,7° + n · 180° eller x ≈ 85,3° + n · 180° b) x ≈ 40,3° + n · 180° eller x ≈ 149,7° + n · 180° 1216 x = 25° + n · 180° eller x = 85° + n · 180° 1217 a) x ≈ 13,4° + n · 90° eller x ≈ 46,6° + n · 90° b) Stämmer med svaret i a) 77 M4 sa rtryck.indb 77 12-12-13 16.03.19 FACIT 1218 Det positiva svaret är korrekt. Det andra svaret: 2x = –52,4° – 30° + n · 360° 2x = –82,4° + n · 360° ⇒ x = –41,2° + n · 180°. 1219 120° = 360° / 3 ⇒ a = 3 3x + b = 60° + n · 360° ⇒ 60° − b x= + n ⋅ 120° 3 60° − b = 10° ⇒ b = 30° 3 De övriga lösningarna blir x = 30° + n · 120° 1220 Ja. Om du ritar en tallinje och prickar in deras lösningar, ser du att deras olika ”lösningsuttryck” ger samma svar. Ett annat alternativ är att båda har räknat fel. 1221 a) x = 10° x = 170° x = 370° b) x = 15° x = 165° 1222 a) x = 20° x = 70° x = 200° b) x = –60° x = –48° x = 12° x = 24° 1223 a) x = 30° x = 330° b) x = 210° x = 330° 1224 a) x = 5° x = 75° x = 185° x = 255° b) x = 195° x = 203° 1225 a) x = 125° x = 175° x = 245° b) x = 11° x = 25° 1226 x ≈ 36,9° + n · 360° n = 1 ⇒ x ≈ 396,9° x ≈ 180° – 36,9° + n · 360° n = 0 ⇒ x ≈ 143,1° 1227 a) 30° 60° 210° 240° b) 90° 180° 270° c) 16° 20° 88° d) 90° 270° 450° 1228 a) 20,5° < x < 159,5° b) 107,5° < x < 252,5° 1229 384°, 456°, 504°, 576°, 624° och 696° 1230 1241 a) x = 36,9° + n · 180° y x Intersection x=12.135532 y=.81779297 Eftersom kurvorna skär varandra exakt en gång i intervallet, finns det endast en lösning. Räknaren ger svaret v ≈ 12° 1231 a) Kurvan y = a sin x har bara en topp i intervallet. Om a = b har ekvationen en enda lösning, dubbel­ rot, nämligen x-värdet för toppen. b) Om 0 < b < a skär linjen y = b kurvan på två ställen. 1232 a = 1 och b = 2,5 1233 a) x = n · 180° b) x = 124° + n · 180° c) x = 113° + n · 180° 1234 a) x = 14° + n · 60° b) x = 7° + n · 30° c) x = 15° + n · 45° 1235 a) x = 40° x = 130° x = 220° x = 310° b) x = 130° x = 310° c) x = 512° 1236 Då man adderar en period, dvs 120° till –50°, får man –50° + 120° = 70°. Kom ihåg att n = alla heltal. 1237 – 1238 a) x = 78,7° + n · 180° b) x = 56,3° + n · 180° c) x = 11,3° + n · 180° d) x = 84,3° + n · 180° 1239 a) x = –166° x = 14° b) x = 225° 1240 a) x = 7,9° + n · 120° eller x = 78,8° + n · 120° b) x = 10° + n · 90° eller x = 40° + n · 90° c) x = 23,9° + n · 45° d) x = 70,9° + n · 90° b) x = 11,5° + n · 360° eller x = 168,5° + n · 360° c) x = 60,3° + n · 180° d) x = 6,3° + n · 36° 1242 Perioden = 90° betyder att b = 2. Eftersom tan (2 · 22,5°) = 1 3 måste = 1 ⇔ a = 3. a 1243 a) x = 28,2° eller x = 61,8° b) x = 186,7° eller x = 306,7° c) x = 234,3° d) x = 33,7° 1244 x ≈ 37,5° eller x ≈ 82,5° (k = 4 och a = 1,5) 1245 a) x = 60° + n · 360° eller x = 120° + n · 360° b) x = 20° + n · 360° eller x = 160° + n · 360° 1246 a) x = 20° + n · 120° eller x = 40° + n · 120° b) x = 15° + n · 180° eller x = 75° + n · 180° 1247 a) x = n · 180° eller x = 45° + n · 90° b) x = 30° + n · 360° eller x = 50° + n · 120° 1248 a) x = 50° + n · 360° eller x = 56,7° + n · 120° b) x = 2,2° + n · 40° eller x = 17,1° + n · 51,4° 1249 a) x = n · 120° (x = n · 360° ryms i denna lösning) b) x = 15° + n · 180° eller x = 82,5° + n · 90° 1250 a) x = n · 40° (x = n · 360° ryms i denna lösning) b) x = 170° + n · 180° eller x = 5° + n · 90° 1251 a) x = 10° + n · 120° eller x = 300° + n · 360° b) x = 45° + n · 60° 1252 a) x = 15° + n · 90° eller x = 20° + n · 60° b) x = n · 120° eller x = n · 72° 78 M4 sa rtryck.indb 78 12-12-13 16.03.20 FACIT 1253 a) x = n · 180° eller 1306 a) A = 30°, B = 40° 1254 a) x = 5° 1307 cos x x = 18° + n · 36° b) x = 85° + n · 180° b) B = 2 c) A = 23°, B = 43°. x = 42,5° x = 132,5° b) x = 260° 1308 a) cos (180° – v) = sin180° sin v = = cos180° cos v + 1255 a) x = 145° + n · 180° eller –1 x = 8,75° + n · 45° b) x = n · 180° eller x = 22,5° + n · 45° 0 0 –1 = –cos v °) + cos v sin(270°))= = −(sin v cos(270 0 d) sin (360° – v) = 1 0 = sin x cos x + cos x sin x = = sin x cos x 1309 a) sin (0 – x) = = sin 0 · cos x – cos 0 · sin x = = 0 – 1 · sin x = – sin x b) cos (0 – x) = = cos 0 · cos x + sin 0 · sin x = = 1 · cos x + 0 = cos x 1310 1261 a) x = 100° + n · 120° (a, b) 360° – x x x (a, –b) 1263 x = –108° x = 36° x = –60° 1302 a) –sin x b) sin 2x 1303 a) sin 2x b) cos 3x 1304 a) sin x b) –cos x 1305 a) cos (85° – 25°) = = cos 60° = 0,5 b) cos 120° = –0,5 c) sin 90° = 1 d) sin 30° = 0,5 1315 cos (90° – x) = = cos 90° · cos x + + sin 90° · sin x = 0 + sin x = = sin x VSV = 4 sin a · cos a(cos2 a – sin2 a) = = 2 · sin 2a · cos 2a = sin 4a VSV 1317 a) 0,96 b) 0,28 c) 3,43 1262 x = 162° x = 234° x = 210° b) cos x = 2 sin x cos x = HL VSV 1316 HL = y x = 24° + n · 72° b) x = 95° + n · 180° 3 +1 3 −1 b) 2 2 2 2 1314 VL = sin 2x = sin(x + x) = 1 1260 a) x = 20° + n · 90° 1301 a) –cos x = − 3 sin x 1313 a) 90° x°3cos = 150° x1 = 30° x=2 =s v − cos360 in360 ° sin v = –sin v v + n ⋅ 60° 6 x2 = 45° – 0,5v + n · 180° 3 /2 –1 = s in360° cos v − cos360 ° sin v = –sin v 1258 Martin har räknat rätt. 1264 x1 = 15° − sin60° sin x ) = − ( cos60° cos x + = –(–cos v) = cos v b) x = 10° eller x = 20° x = 140° + n · 180° b) x = 20° + n · 120° x = 40° + n · 360° b) VL = ( cos60° cos x − sin60° sin x ) 3 /2 c) –sin (v + 270°) = 1257 a) x = 211°, x = 251°, x = 237° x = 45° + n · 180° b) x = 10° + n · 40° x = 90° + n · 360° = 2 (sin x cos 60° + + cos x sin 60°) = = sin x + 3 cos x = cos v cos180 sin180° = ° − sin v x = 125° x = 200° x = 215° x = 305° b) x = 216° x = 288° x = 360° x = 432° x = 504° x = 576° 1259 a) x = 15° + n · 60° 1312 a) 2 sin(x + 60°) = = –cos v b) cos (v + 180°) = 1256 a) x = 20° x = 35° 0 0,99 ≈ 0,8 ⋅ 0,87 ± 0,6 ⋅ 0,5 = 0,39 b) cos(120° – v) = = cos(180° – (v + 30°)) = = sin(v + 30°). Samma svar som i a-uppgiften! Bilden visar att sin x = b och att sin (360° – x) = –b alltså gäller att sin (360° – x) = –sin x Subtraktionsformeln: sin (360° – x) = sin360° ⋅ cos x − = cos360° ⋅ sin x = =0 =1 = –sin x 1311 cos v = 1 − 0,82 = ±0,6 a) sin(v + 30°) = = sin v cos 30° + + cos v sin 30° ≈ 1 1 7 b) c) 8 2 18 3 4 1319 a) b) 5 3 24 7 c) d) − 25 25 2 4 1320 a) b) 20 20 1318 a) 4 5 2 1321 a) 5 c) c) 4 5 3 5 1 b) 5 d) d) – 3 5 79 M4 sa rtryck.indb 79 12-12-13 16.03.25 FACIT 1322 a) 0,8 c) 0,75 b) 0,6 d) 0,96 1323 Lisa har missat den negativa 4 roten sin x = − . 5 Det rätta svaret är 24 sin 2 x = ± 25 1325 a) sin 75° = sin (45° + 30°) = = sin 45° cos 30° + + cos 45° + sin 30° = = 2 3 2 1 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 = 6+ 2 4 1332 Om man dividerar med sin x, tappar man alla lösningar där sin x = 0. 1333 a) t = 1 ger x = 90° + n · 360° b) x = 30° + n · 360°, x = 150° + n · 360° ledning: Använd att VL = 2 sin x cos x / cos x = 2sin x Observera att cos x ≠ 0. 1334 a) x ≈ ±65,5 + n · 360° ledning: Ekvationen kan skrivas cos2 x = 2cos x + 2cos2 x – 1 b) x = 90° + n · 180° eller x = ±120° + n · 360° 1335 Första svaret ”passar” till b) sin 30° = sin(2 · 15°) = 2 sin 15° cos 15° = = 2sin15° 1 − sin 2 15° Sätt sin 15° = x ⇒ 0,5 = 2 x 1 − x Kvadrering ger ekvationen 0,25 = 4x2(1 – x2) Sätt x2 = t och lös ekva­ tionen. Det ena svaret kan förkastas, eftersom svaret ska vara mindre än 0,5. Svaret blir 0,259. 2 1326 a) Svaret sammanfattas: x = 37° + n · 180° eller x = 143° + n · 180° b) x = 15° + n · 180° eller x = 75° + n · 180° 1327 a) x = ± 13° + n · 180° b) x = n · 90° 1328 x = 45° eller x = 135° b) x = 90° eller x = 180° c) x = 143° (x = 90° är en falsk rot) x = ±60° + n · 360° (cos x – 2 = 0 är olöslig) b) x = 22,5° + n · 90° (skriv om till tan 2x = 1) = sin 2x cos x + + cos 2x sin x = = 2 sin x cos x cos x + + (2 cos2 x – 1)sin x = = 2 sin x cos2 x + + 2 sin x cos2 x – sin x = = sin x(4cos2 x – 1) = = sin x(4(1 – sin2 x) – 1) = = sin x(4 – 4sin2 x – 1) = = 3 sin x – 4 sin3 x = HL 1343 a) x = 60° 1330 x = n · 180° eller 1331 a) x = 90° + n · 180° 1324 VL = sin 3x = sin (2x + x) = 1329 x = 180° , x = 270°, x = 360° ekvationen sin x = 0. Andra och tredje svaret kan skrivas 2x = 30° + n · 360° och 2x = 150° + n · 360°. Dessa båda svar ”passar” till ekvationen sin 2x = 0,5. Ekvationen kan ha varit sin x · (sin 2x – 0,5) = 0. 1336 a) y = 5 sin (x + 53,1°) b) y = 13 sin (x – 22,6°) 1337 a) ja b) ja 1338 a) b) 10 41 1339 a) Amplitud = 2 1344 53° åt höger 1345 Grafisk lösning ger a) 360° b) 1,125 π 2 π c) 4 π 1402 a) 6 2π c) 3 π 3 5π d) 3 1401 a) b) b) 2π d) 3π 2 1403 a) 360° b) 90° d) 60° 1404 a) 270° b) 900° d) 240° c) 180° c) 18° 1405 a) π 6 b) π 3 c) π 2 5π 4π e) π f) 6 3 11π g) 6 1406 a) 0,873 b) 1,92 c) 0,489 d) 3,70 d) 1407 a) 68,8° b) 43,0° d) 57,3° 1408 a) 6 cm b) 9 cm2 c) 573° c) 12 cm 1409 ca 32 % 1410 Diametern motsvarar ungefär båglängden i den avbildade cirkelsektorn. D = π · 0,5 · 3,8 · 108 / 180 ⇒ d ≈ 3,3 · 106 m f = 60° till vänster b) Amplitud ≈ 2,8 f = 45° till vänster 1411 a) x ≈ 0,707 + n · 2π eller 1340 Ja, om a = b så blir tan v = 1 1412 a) x ≈ 0,524 + n · 2π eller vilket ger v = 45°. 1341 y = 4 sin x + 2 cos x 1342 y = 2 sin x – 2 cos x x ≈ 2,43 + n · 2π b) x ≈ ± 0,592 + n · 2π x ≈ 2,62 + n · 2π b) x ≈ ± 1,32 + n · 2π 1413 a) x ≈ 1,11 + n · π b) x ≈ 0,675 + n · π 80 M4 sa rtryck.indb 80 12-12-13 16.03.29 FACIT 1414 a) y = sin 3x c) y = sin 0,5x b) y = 3sin 2x 1415 a) y = cos 2x b) y = cos π π 1416 t ex x = — och x = – — 6 6 x 3 1417 a) x ≈ ± 0,615 + n · π b) x ≈ 20,3 + n · 10π eller x ≈ 26,8 + n · 10π π 12 π b) y = 2sin0,5 x + 3 1418 a) y = 2,5sin3 x + 1419 x = –0,5π och x = 11 π 6 1420 2 cos 3x = 0 ⇔ x = π / 6 + + nπ / 3 (≈ 0,52 + n · 1,05). Det finns 6 rötter i intervallet. x = π / 6, x = π / 2, x = 5π / 6, x = 7π / 6, x = 9π / 6 = 3π / 2 och x = 11π / 2. Mellan 1:a och 2:a roten är y-värdena negativa, dvs mindre än noll, mellan 3:e och 4:e roten, samt mellan 5:e och 6:e. Svaret blir följande tre intervall: π/6<x<π/2 5π / 6 < x < 7π / 6 3π / 2 < x < 11π / 2 1421 a = 2, b = –1 1422 a) x ≈ 0,8 eller x ≈ 3,9 b) x = π / 4 eller x = 5π / 4 1423 Vinkeln v motsvarar v / 2π av hela cirkelns omkrets. Hela arean = πr2. En cirkelsektor med medelpunktsvinkel v har v vr 2 arean ⋅πr2 = VSV 2π 2 1424 Cirkelsektorn har arean r2 v / 2. Triangeln har arean (r · r · sin v) / 2. Segmentets area = r 2 v r 2 sin v r 2 (v − sin v ) − = 2 2 2 VSV 1425 a) 1 2 1426 a) b) 1 2 3 b) 1 c) 1 2 c) 3 2 1427 a) 5π 3π π b) c) 3 6 4 1428 a) 11π π b) 6 12 c) 2π 5 1429 a) 0 b) 0 1430 a) 0 b) ej definierat c) 1 c) 1 1 1431 a) b) 3 c) –0,5 2 π 1432 a) x = + n ⋅ 2π 6 5π x= + n ⋅ 2π 6 π b) x = − + n ⋅ 2π 3 4π x= + n ⋅ 2π 3 c) x ≈ 0,47 + n · 2π x ≈ 2,67 + n · 2π π + n ⋅ 2π 3 π b) x = ± + n ⋅ 2π 18 3π c) x = ± + n ⋅ 2π 4 π 1434 a) x = + n ⋅ π 6 b) x ≈ 0,98 + n · π c) x ≈ –0,47 + n · π 1433 a) x = ± π + n ⋅ 2π 6 π x = + n ⋅ 2π 2 π b) x = + n ⋅ π 8 1436 x = 5π / 18 + n · 2π / 3 ≈ ≈ 0,87 + n · 2,09 eller x = π / 18 + n · 2π / 3 ≈ ≈ 0,17 + n · 2,09 1435 a) x = − 1437 Det finns det 6 lösningar (6 skärningspunkter) 1438 a) sin x b) sin x 1439 0 1440 a) Fyra svar: x = π / 12 ≈ 0,26 x = 5π / 12 ≈ 1,31 x = 13π / 12 ≈ 3,40 x = 17π / 12 ≈ 4,45 b) 1 < a < 5 c) a = 1 eller a = 5 d) g(x) = 2 cos (2x – π / 2) + 3 1441 x = n · 2π eller x = ±2π / 3 + n · 2 π 1442 t ex sin 2 x = 2/2 1443 a) x ≈ 1 eller x ≈ 3,1 eller x ≈ 5,2 b) x = π / 3, x = π eller x = 5π / 3 1444 a) 1 år b) 4 timmar c) 8 timmar 1445 a) 200 grader b) 100 grader c) 151 grader d) t1 ≈ 1 t2 ≈ 5 1446 a) 0 volt b) 183 volt c) –24,7 volt d) efter 0,0025 s 1447 a) 20 °C b) nej (39) c) 6 grader d) 4,8 h e) 1,5 h 1448 a) 70 st b) 290 st (293) c) 430 st d) t ≈ 16 eller t ≈ 36 1449 a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) kl 16 och kl 04 e) 2,76 h 4π t + 80 3 1450 y = 17 sin 1451 a) y(6) = 13 W/m2, y(10,5) ≈ 59 W/m2 b) Störst: 63 W/m2 (kl 12.00) Minst: 13 W/m2 (kl 06.00 och 18.00) c) kl 10.40 och kl 13.20 d) 09.11 < x < 14.49. Mellan klockan 09.11 och 14.49 är ljusintensiteten större än 50 W/m2. 81 M4 sa rtryck.indb 81 12-12-13 16.03.37 FACIT 1452 a) a = –0,026, b = 9,806. b) x ≈ 49,4° ’ Detta mot­svarar ungefär i höjd med Luxemburg. 1453 a) Perioden (hälften av normala 2π) ger b = 2. f(π / 4) = –a · 0 + d ger d = 5. f(0) = a · cos (2 · 0 + π) + + 5 = –a + 5 ger a = 3 a = 3, b = 2, d = 5 b) x = nπ sin x ⋅ sin x + cos x = D: cos x cos x = sin2 x + cos2 x = 1 F: 2 sin x + 2 cos x Endast D kan förenklas till 1. 1:a termen, dvs sin 2x 2sin x cos x VL = = = sin x sin x = 2 cos x Då blir 1 cos2 x HL = + = cos x cos x 1 + cos2 x 1 + 2cos 2 x − 1 = = = cos x cos x = 2 cos x = VL y(t) = 5 sin 4πt 1455 a) 2 cos2 x – (cos2 x – sin2 x) = = cos2 x + sin2 x = 1 cos x ⋅ sin x 1457 sin x − =0 cos x 2 ⋅ 2sin x cos x = 2sin2 x 1458 1 1459 cos2 x – sin2 x = cos 2x 1460 sin2 x + cos2 x + + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x 1461 sin x ⋅ 2sin x cos x + 1 − 2sin 2 x = 1 cos x = 1 + (2cos2 2x –1) = = 2 cos2 2x 2sin 2 x = 1 − sin 2 x 2 ⋅ 2sin x cos x 4 sin x = = = 4 tan x cos 2 x cos x Vi får 4 tan x = 5 ⇔ tan x = 5 / 4 = 1,25 b) x ≈ 51,3° + n · 180° 1469 a) VL = 1470 De sträckor som är märkta cos 2v och sin 2v är kateter i en triangel med hypotenusan 1 och vinkel 2v. Den lutande triangeln har hypotenusa 1 och vinkel v ⇒ kateterna har längderna sin v och cos v. Den nedre triangeln har hypotenusa cos v och spetsvinkel v. Kateterna är b = cos v · cos v = cos2 v och c = cos v · sin v. Den lilla triangeln i övre hörnet har hypotenusa sin v och spetsvinkel v. Detta ger kateterna a = sin v · sin v = = sin2 v och d = sin v · cos v b) Vi förlänger 1:a termen med konjugatet (1 – sin x). 2sin x cos x =2 sin x cos x 1456 sin x (cos2 x + sin2 x) = sin x 1468 HL = 1 + cos (2 · 2x) = 1464 a) Låt VL bestå av bara s(t ) = (5cos4π t − 10)2 − (5sin 4π t )2 b) som ”tar ut varandra”. Titta på nämnarna. (1 – sin x)(1 – sin x) ≠ ≠ 1 – sin2 x ≠ ≠ (1 + sin x)(1 + sin x). sin 2 x + cos 2 x 1 = sin x cos x sin x cos x E: 1454 a) x(t) = 5 cos 4πt och b) 1467 Nej. Filip har gjort 2 fel VL = 1 − sin x sin x + = (1 + sin x )(1 − sin x ) cos 2 x 1 − sin x sin x + = 1 − sin 2 x cos 2 x 1 − sin x sin x 1 = + = = HL 2 2 cos x cos x cos 2 x sin 2 x 1465 HL = = 1 + cos2 x 2sin x cos x = = 1 + (2cos 2 x − 1) = 2sin x cos x = 2cos 2 x 2 2 2 1 sin x 1 − sin x cos sin x x 1462 a) VL = − = = = 2 = 1==tan HLx = VL 2 2 2 cos cos x cos x cos x cos x x 1466 Ja, den är korrekt. 1 sin 2 x 1 − sin 2 x cos 2 x VL = − = = = 1 = HL 2 1. Förlängning med cos x cos 2 x cos 2 x cos 2 x (1 – sin x) och sedan b) Gäller inte då x = n · π konjugatregeln i eftersom cos x ≠ 0 ⇒ nämnaren. x≠n·π 2. Trigonometriska ettan i nämnaren, följt av förkort1463 A:sin2 x + 2 sin x cos x + ning med faktorn cos x. 2 + cos x = 1 + sin 2x 3. Uppdelning i två bråk B: sin2 x – 2 sin x cos x + med täljare 1 respek­tive + cos2 x = 1 – sin 2x sin x, följt av omskriv­ 2 2 C:sin x – cos x = –cos 2x ning till tangens. cos 2v = b – a = cos2 v – sin2 v sin 2v = c + d = cos v · sin v + + sin v · cos v = 2 sin v cos v = 1 1 VL = 2 + = 1 + sin A cos A 2 1 1 = 2+ + + = cos A sin A sin A ⋅ cos A 1471 = 2+ 2 1 2 + + = cos A sin A 2 ⋅ sin A ⋅ cos A = 2+ 2 1 2 + + cos A sin A sin 2 A >2 >1 >2 Vi ser att hela uttrycket måste vara större än 7. VSV 82 M4 sa rtryck.indb 82 12-12-13 16.03.42 + HL = = cos v cos v 1 + sin v (1 + sin v ) = = = cos v cos 2 v 2 2 = (1 + sin v ) = 1 − sin v 2 (1 + sin v ) = = (1 − sin v ) ⋅ (1 + sin v ) Test 1 1 cos x = ±0,6 2 a) sin 145° = sin (180° – 145°) = = sin 35° ≈ 0,57 b) cos 145° = cos (180° – 35°) = = –cos 35° ≈ –0,82 c) sin 215° = sin (180° + 35°) = = –sin 35° ≈ –0,57 d) cos 325° = cos (325° – 360°) = = cos (–35°) = cos 35° ≈ 0,82 sin 2v + sin v 17 VL = = 2cos v + 1 2sin v cos v + sin v = = 2cos v + 1 sin v ( 2cos v + 1) = sin v = HL = 2cos v + 1 3 sin x 4 Vi har adderat en period, dvs 120°, till den negativa vinkeln –58°. Talet n betyder fortfarande alla heltal. 18 3,8 cm Den röda: y = 3 sin x – 1 Den blå: y = 2 cos (x / 2) 6 a) 90° och –1 b) 180° och –3 c) 360° och –2 7 a) A = 2, B = –1. b) Grafen är en spegelbild till a-grafen i linjen y = –1 8 A = ±4. Största värde = 4 – 1 = 3 9 a) sin x c) 0 b) sin x = 120 / 169 13 a) x = ±π / 6 + n · 2π b) x = –π / 4 + n · 2π eller x = 5π / 4 + n · 2π 14 a = 0,5 b = 2 och c = 1 ( 2 − cos v )( 21 a) 0,5 24 a) x = n · 180°, ) 2 + cos v = = 2 – cos v = 2 – (1 – sin2 v) = = 1 + sin2 v = HL 2 2 1 sin v + HL = = cos v cos v 1 + sin v (1 + sin v ) = = = cos v cos 2 v 2 (1 + sin v ) 2 = 1 − sin 2 v 2 (1 + sin v ) = = (1 − sin v ) ⋅ (1 + sin v ) M4 sa rtryck.indb 83 b) A = a, B = b, D = d (dessa ger period, amplitud och medelnivå). Men en cosinus-kurva ligger en kvarts period förskjuten till vänster jämfört med sinuskurvan. sin 2(x – π / 4) = = sin (2x – π / 2). Ger C = –π / 2. c) Perioden är konstant men amplituden blir mindre och mindre. x = 70° + n · 120° b) x = 38° + n · 180° eller x = –22° + n · 180° x = 5π / 12 ≈ 1,31 x = 13π / 12 ≈ 3,40 x = 17π / 12 ≈ 4,45 b) 1 < a < 5 c) a = 1 eller a = 5 d) g(x) = 2 cos (2x – π / 2) + 3 b) –7 / 8 12 2 · (5 / 13) · (±12 / 13) = = 29 a) π sekunder 20 a) x = –10° + n · 120°, b) 0,707 c) Subtraktionssatsen ger att uttrycket = cos (80° – 20°) = cos 60° = 0,5. På motsvarande sätt med additionssatsen som ger sin(20° + 25°) = sin 45° = = 1/ 2 1 + sin v = VL 1 − sin v 2 x = ±60° + n · 360° b) x = 45° + n · 90° 25 Sätt cos x = t. Ekvationen 2t2 – t – 1 = 0 har rötterna t = 1 eller t = –1 / 2 t = 1 ger x = n · 2π; t = –1 / 2 ger x = ±2π / 3 + n · 2π 26 Grafen liknar f (x) = cos x. Kvadratens hörn ligger där linjen y = x skär grafen. Ekvationen cos x = x löses med grafritaren. x ≈ 0,74 ger arean 0,55 a.e eller x ≈ 7,3 5π b) x = —— eller x = 2 π 3 7π eller x = —— 3 28 3 ms b) m = 25, största värde = 25 23 a) x = π / 12 ≈ 0,26 11 a) 8 / 9 = 19 a) 25 (amplitud = 25) 22 x = 450° 10 k = –2 16 1 + sin v = = VL 1 − sin v 27 a) x ≈ 5,2 eller x ≈ 6,3 2 5 15 VL = FACIT 2 2 Blandade uppgifter 1 a) x = 16,8° eller x = 163,2° b) x = 105° eller x = 165° 2 a) x = 9,0° x = 111,0° x = 129,0° b) Saknar lösning 3 a) x = 123,7° b) x = 75° eller x = 135° 4 a) x = 22,5° + n · 90° b) x = ± 151° + n · 720° 5 a) x = 20° + n · 360° eller x = 260° + n · 360° b) x = 18° + n · 72° 6 a) x ≈ 1,22 b) x1 ≈ 1,10 x2 ≈ 2,04 x3 ≈ 4,24 x 4 ≈ 5,18 7 a) x1 ≈ 1,46 x2 ≈ 4,60 b) Saknar lösning π 5π a) b) 2 6 π π c) d) 4 18 8 83 12-12-13 16.03.45 FACIT 9 a) Största värde = 7 minsta värde = 3 b) Största värde = 2 minsta värde = 0 10 a) x ≈ 0,89 + n · 2π x ≈ 2,25 + n · 2π b) x ≈ ±1,27 + n · π c) x ≈ –0,46 + n · 3π d) x ≈ –0,21 + n · π x ≈ 0,84 + n · π 11 a) A = 2,5 p = 360° f = 30° åt höger b) A = 1 p = 180° f = 25° åt vänster 12 a) y = 3 cos 2(x + 30°) b) y = cos 0,5(x – 20°) 13 a) 0 b) ej definierat 14 a) 1 b) 0 15 a) y = 5 sin 4(x – 20°) π b) y = 3sin2 x − 3 1 3 1 16 a) b) c) 2 3 2 17 a) –cos 3x b) –cos 2x 4π eller 3 5π y = 2cos0,5 x + 3 24 y = 2sin0,5 x − 25 a) –0,366 b) x ≈ 0,52 π 2π 26 x = ± + n ⋅ 9 3 π 27 x = + n ⋅ π 4 28 x = 191,5° eller x = 348,5° 29 a) x = 30° x = 110° x = 150° b) 0° < x < 30° eller 110° < x < 150° π 30 x = + n ⋅ 2π eller 6 5π x= + n ⋅ 2π 6 b) –10° c) 10° d) 30° e) –4,1° f) t = 6 g) ca kl 21 och kl 05 h) ca 24 timmar i) ca 8 timmar 21 a) 2,5 m c) 2 m b) 3 22 Endast alternativ c) y = cos x 23 y = 1 – 2(sin x – cos x)2 = = 1 – 2(sin2 x – 2sin x cos x + + cos2 x) = 1 – 2(1 – sin 2x) = = 2 sin 2x – 1 Eftersom sin 2x är perioden = 360° / 2 = 180° VSV samt mellan 19.04 och 22.56 42 t = 172 (motsvarar 21 juni) π + n ⋅π 4 44 a) Kurvorna sammanfaller ⇒ cos xx = 2 sin( x + 45°) sinsin x x ++cos b) 2 sin( x + 45°) = = 2(sin x cos45 sin45°) = ° + cos x 43 x = 1/ 2 = sin x + cos x 45 x1 = 15° x2 = 45° x3 = 75° 46 cos 2x = 1 – 2 sin 2x 47 3 rad 48 A = 1,5 och B = –0,5 x = 150° + n · 360° x c) 1 b) 12 h d) 1 m 41 Mellan kl 07.04 och 10.56 50 x = 30° + n · 360° eller sin 2 x 19 VL = cos x +1 = cos 2 x = sin2 x + cos2 x = 1 2 3 2 = 1 − 2sin x cos x ⋅ 49 p ≈ 0,282 y 18 0,82 20 a) sin x = cos x 2 = 1 – 2 sin x = cos 2x 1 39 3 40 b, d och e 1/ 2 31 a) 30° 32 38 1 – sin 2x · tan x = 33 x1 ≈ –70° x2 ≈ 20° 34 x1 ≈ 191,5° x2 ≈ 348,5° 4π = 3 3 36 a) x = ± 60° + n · 180° b) x = 45° + n · 180° 35 tan 37 sin2x + cos2x – 2 sin cos x = = 1 – sin 2x π + n ⋅ 2π 3 52 VL = cos 3x = cos (2x + x) = = cos 2x cos x – sin 2x sin x = = (2cos2 x –1) · cos x – – 2 sin x cos x · sin x = = 2 cos3 x – cos x – – 2 cos x(1 – cos2 x) = = 4 cos3 x – 3 cos x 51 x = n · π eller x = ± 53 x1 = 30° x2 = 150° x 4 = 210° 54 x1 = π / 3 x2 = 2π / 3 x 4 = 5π / 3 x3 = 180° x5 = 330° x3 = 4π / 3 84 M4 sa rtryck.indb 84 12-12-13 16.03.49 FACIT EXAKTA TRIGONOMETRISKA VÄRDEN Vinkel Grader Radianer 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° sin v cos v tan v 0 0 1 0 π 1 3 1 6 2 2 π 1 1 4 2 2 π 3 1 3 π 2 2 2 1 0 2π 3 3 2 3π 1 4 2 5π 1 6 2 π 0 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π − 1 2 3 2 –1 3 − – − ej def. 1 2 2 3 2 − 3 –1 − –1 2 − 1 3 1 − − 1 − − 3 1 3 2 1 − 1 2 − 1 3 2 0 1 2 2 1 1 2 2 1 3 2 2 0 1 3 0 3 − 1 ej def. − 3 –1 − 1 3 0 85 M4 sa rtryck.indb 85 12-12-13 16.03.54 M 4 den här boken omfattar gymnasieskolans kurs matematik 4. den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen. Boken passar också för vuxenutbildning och basår. • Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken. • nivåindelade uppgifter och fördjupningar gör det lätt att individualisera. • laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, digitala rutan samt kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor. • varje kapitel avslutas med Sammanfattning, test och Blandade övningar. m är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram. Tryck.nr 47-08593-4 M4 Best.nr 47-10909-8 M4 sa rtryck.indb 86 r1140-090 Best.nr 47-08593-4 12-12-13 16.03.57