UMEÅ UNIVERSITET
Tillämpad fysik och elektronik
2010-08-24
Osama Hassan
Projektuppgift i inledande ingenjörskurs
-för byggstudenter-
Brobygge med hjälp av omvänd kedjebåge
(CATENARY ARCH)
1. Kedjekurvan
En kedja eller lina är ett strukturelement som endast kan ta dragkrafter, se Figur 1. Vid
belastning formar sig linan på ett sådant sätt att endast dragkraft finns i linan. Vid belastning
med jämnt utbredd last (tex egentyngd) fås en form enligt cosinus hyperbolicus, även kallad
kedjekurvan:
Figur 1: Vid belastning på en material med en last fås en form enligt cosinus
hyperbolicus, även kallad kedjekurvan eller catenaria (av latin: catena, "kedja")
En kedjekurva är därför den form en böjlig kedja eller kabel får av tyngdkraften då den
hänger fritt mellan två stöd. Vid stöden uppbär kedjan den största tyngden och lutar där
kraftigast. Mot kedjans mitt avtar lutningen allt mer eftersom kedjan bär mindre och mindre
av sin egen vikt, se Figur 1.
Kedjekurvan ekvation
En kedjekurva med bärande dragkrafter visas i Figur 2. Som kan visas är kurvan symmetrisk
mht x-led. Kedjekurvans ekvation är en differential ekvation:
dy s
,
dx c
(1)
där c är kedjekurvans parameter (se Figur 2) som bestämmer hur mycket kedjekurvan vidgas;
ju större värden på c (i y-koordinat) desto större blir avstånd mellan kurvans ändar, och s är
kuvans längd. Paramtern c kan skrivas som:
c
H
w
(2)
där H är den horisontella dragkraften och w är kedjans vikt per längdenhet.
2
a
b
Figur 2: a. en kedjekurva med bärande krafter; b. inverkan av parametern c på
kedjekurvand form
Integrering av Ek. (1) ger de följande uttrycken:
x
y c cosh
c
(3)
x
s c sinh
c
(4)
Man behöver inte vara Nobelpristagare för att veta att Ek. (1) beskriver lutningen
och därmed vinkeln, . Det medföljer att:
tan
dy s
s
dy
tan 1 tan 1
dx c
c
dx
(5)
där tan-1 betecknas ibland ”arctan”
Om man till exempel rullar en parabel längs med en rät linje bildar dess fokus en
rullningskurva som följer kedjekurvans form. På en vägbana som består av en serie omvända
kedjekurvor skulle ett fordon med kvadratiska hjul köra helt jämnt.
2. Omvänd kedjebåge
En hängande lina kan, som tidigare sagt, endast uppta dragkrafter. Om man, å andra sidan,
vänder på kedjekurvan och lasten fås en struktur eller en båge med endast tryckkrafter.
Optimal form om material/knutpunkter bara tål tryckkrafter. Exempel är trycklinje.
3
Upplagen till en båge måste kunna ta horisontalkraft
Alternativt utformas bågen med dragband
Kedjekurvan är alltså den ideala formen för en båge som bara ska bära sin egen vikt.
Om en sådan båge byggs upp av konstruktionselement vars snittytor är rätvinkliga mot kurvan
sammanfaller båglinjen och trycklinjen och, i teorin, uppstår ingen skjuvning och tyngden
fortplantar sig ned i marken längs med kedjekurvans förlängning. Det är därför att sådana
strukturer har blivit vanliga i byggnader innan betong kommat att användas, i stor skala, som
konstruktionsmaterial.
4
Den katalanske arkitekten Antoni Gaudí använde sig av kedjekurvan i flera av sina projekt. I
katedralen Sagrada Familia finns flera kupolvalv med denna form. För att hitta den optimala
formen byggde Gaudí modeller med linor. Dragkrafterna på linorna använde han för att
analysera tryckkrafterna på stenarna i kyrkan; se också http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary.
Hur bestäms omvända kedjebågens utseende?
De ekvationerna som beskriver kedjekurvan kan användas för att beskriva den omvända
kedjebågen, dock den nya uppställningen på kurvan måste tas hänsyn till i detta fall, t ex med
avseende på y-led. Generellt sätt kan det följande uttrycket skrivas för omvända kedjebågen
(se Ek.(3)):
x
(6)
y c cosh K ,
c
där K är en konstant. Lutningen (på centrum linjen för ett element i kedjebågen) kan fås, som
förut, via derivationen av Ek.(6):
dy
x
y sinh
dx
c
(7)
Och vinkeln på elementet kan fås ut Ek. (5).
Som et exempel på hur kan Ekvation (6) utnyttjas i design kan man nämna konstruktionen
”The gateway Arch i Saint Louis, Missouri, USA” som ritades av arkitekten Eero Saarinen.
Här används de följande konstanterna: c = −127.7 ft och K = 757.7 ft.
Som visas av Ekvation (6), bestäms kurvans utseende genom att välja konstanten c och K.
T ex. Om man väljer c = −2 och K så att y = 0 och x = −5 (basens längd =10 dm), blir K =
12.2648.
Tips: cosh(−2) = cosh(2), dvs. kurvan är symmetrisk på båda sidorna i x-led.
3. Uppgift
Varje grupp ska beräkna och tillverka en omvänd kedjebåge av träklossar (se exemplet i Figur
3). Grupperna får fritt välja konstanten c i kedjekurvans ekvation. Bågen bör dock inte bli
större än att den ryms på ett bord. Lämplig bredd mellan stöden kan vara variera mellan 80
cm och 40 cm.
Förslag på arbetsgång
1. Bestäm kurvans utseende genom att välja lämplig konstant c.
2. Dela in kurvan i ett antal dellängder i x-led.
Tips: välj en lämplig bas längd och beräkna då kurvans höjd eller vice versa!
3. Beräkna y i vid skärningarna i x-led.
4. Beräkna längd och lutning på klossens centrumlinje.
5. Derivera kurvan i skärningspunkterna för att få fram lutningen i skärningspunkterna.
5
Bestäm vinkeln på kapsnittet på träklossen vinkelrätt mot kurvans lutning.
Rita ut kapsnittet på träklossvinen, se ex i Fig. 4 nedan.
Kapa till klossarna mht en geringssåg.
Stödklossarnas vinklar mot underlaget tas lättast fram genom att lägga ut bågen på ett
jämnt underlag och med hjälp av en rak list eller liknande markera dessa.
10. Då bågen inte görs tillräckligt hög för att tvärkrafterna ska försvinna kan stöden fästas
i underlaget med hjälp av dubbelhäftande tejp, om så behövs!
6.
7.
8.
9.
OBS! Väljer man att beräkna med radianer istället för grader så kan en använda följande
konvertering formel: Radianer = × grader/180.
Figur 3: Ett exempel på hur en båge kan konstrueras.
(längdskillnad, diff. hög)
60 mm
Figur 4: Ett exempel på kappsnitt. OBS! glöm inte att mäta klossens verkliga bredd!
6
4. Redovisning
Redovisningen sker genom att varje grupp visar upp sin båge för projekthandledaren vid en
given tidpunkt. Förutom att bågen ska kunna stå för sig själv ska gruppen även redovisa en
tabell och arbetsgång som visar hur längden och vinklarna på varje träbit har räknats fram.
Denna tabell förenklar även tillverkningen av träklossarna. Nedan ses ett exempel på hur en
sådan tabell kan vara utformad, se även figur 3 och 4.
Exempel på tabell för tillverkningsmått
Kloss nr
Skarv
X
Skarv
Y
Längd Lutning Vinkel
dy/dx
Diff
Vä
Diff
Hö
Diff Vä
(mm)
Diff Hö
(mm)
2,94
3,57
V
1
2
0,14
0,36
3
0,12
0,22
0,46
1,66
1,34
1,06
58,92
53,33
46,54
5,60
6,78
4
5
6
7
8
9
10
11
H
7
5. Verktyg, Hjälpmedel och Material
Nedan finns en lista på material, verktyg och hjälpmedel som behövs för att konstruera bågen.
De verktyg som är markerade med * finns att tidsboka i maskinhallen.
Trälist
Penna
Linjal
Gradskiva
Vinkelhake*
Geringssåg* (finns också i rum
A210)
Miniräknare
Dubbelhäftande tejp*
Rak trälist (markering av
stödvinklarna)*
Observera att träbrädor finns att hämta i maskinhallen!
6. Betyg och bedömning
Projektuppgiften syftar till att stimulera och motivera studenterna. Upplevelsen at få se
kedjebågen ta form och gå från ritning och räknande till färdig konstruktion är med stor
sannolikhet både givande och rolig. Dessutom syftar projektet, som helhet, till att skapa och
underbygga kreativiteten för att komma med åtskilliga lösningar til problem. Utvärdering
syftar till att få studenter att analysera och reflektera över för och nackdelar med
konstruktionen, vilket leder till kunskapskvaliteter som krävs för betyget Godkänd.
Arbeten bedöms enligt kriterier nedan som antingen ”Godkänd” eller ”Icke-Godkänd. Vid
bedömning tas hänsyn till konstruktionsarbete, redovisning och utvärdering.
För betyget Godkänd skall gruppen:
-
Redogöra, kortfattigt, för de viktigaste komponenternas funktion i det tekniska
systemet samt förklara samspelet dem emellan
Konstruera en omvänd kedjebåge utifrån egen ritning och beräkning samt beskriva hur
konstruktionen är uppbyggd och fungerar.
8
Formelsamling
Omvända kedjebågens ekvation:
x
y c cosh K
c
Ekvationen kan också skrivas i en enkel form som:
y
c ( x c) ( x c)
e
e
K
2
Konstanten K fås genom att välja c, y =0 och x får definieras i för väg. Om man t ex väljer
basen längd 8 dm så blir det x = -4 dm. Bågens höjd fås genom att sätta x = 0 i omvända
kedjebågens ekvation.
Lutningen på centrumlinjen för varje kloss:
dy
x
y sinh
dx
c
Alternativt skrivas som:
dy 1 ( x c ) ( x c )
e
e
dx 2
Vinkeln för varje punkt fås som:
dy
dy
arctan
dx
dx
tan 1
Längden för varje kloss fås genom Pythagoras:
L ( x1 x2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2
9
