401

Begrepp och samband
Bo Sjöström
[email protected]
Dagens datum: 3.14
• Pi-dagen
• 14 mars
• 03.14
• www.smal-matte.com
• SMaL
Medelvärde
Betyg
1
2
3
4
5
Antal
1
2
10
6
1
felaktiga lösningar i stil med:
1 + 2 + 10 + 6 + 1 = 20. 20/5 = 4.
Svar: Medelbetyget är 4.
(Ur Äp9 Ma 1998)
Eleverna i en klass svarade på frågan ”Hur många syskon har du?”
Svaren sammanställdes i följande tabell:
Antal syskon
Avprickning Frekvens
0
//
2
1
/////
5
2
///// /////
10
3
//
2
4
/
1
a) Hur många elever har 3 syskon?
b) Så här gjorde en elev när hon skulle beräkna medelvärdet
av antalet syskon.
2 + 5 + 10 + 2 + 1 = 20
medelvärde = 20/5 = 4
Hur kan man direkt se att svaret är fel?
c) Gör en riktig beräkning.
Hur många syskon har du?
A.
Anna
1
Karl
2
Bosse 0
Lina
0
Carlos 2
Marcus 2
David
2
Natalia 2
Edvard 2
Oskar 2
Frida
2
Pelle
3
Gustav 1
Rodan 2
Henrik 3
Staffan 1
Ivan
4
Tove
2
Jacob 1
Ulrika 2
------------------------------------------------------------------------------------------
B. Frekvenstabell
Antal syskon Avprickning Frekvens
0
||
2
1
||||
4
2
||||| ||||| |
11
3
||
2
4
|
1
Utprövning: Medelåldern i en familj är 20 år …
(Äp9 Ma06 C:9)
Maria är med i ett hockeylag.
Först bestod spelartruppen av 20 spelare och hade en
medelålder på 20 år.
Två av spelarna slutade och då sjönk medelåldern
till 19 år.
Hur gamla kan de två spelarna som slutade ha varit?
(1/2)
(20x20=400)
(18x19=342)
”Nationella provuppgifter i matematik kan avslöja elevers
förståelse … .”
(Äp9 Ma09 C7)
David tränar pilkastning. Varje pil kan ge högst 10 poäng
och minst 0 poäng.
Hans mål är att han ska bli så säker att hans medelvärde
kommer över 7 poäng på fem kastade pilar.
a) I första omgången får han följande resultat:
8, 8, 3, 6, 0. Vilket är då hans medelvärde? (1/0)
b) Den andra omgången börjar med att de tre första
pilarna hamnar på 8, 9 och 6.
När David kastat även den fjärde och femte pilen är
hans medelvärde precis 7.
Vilka poäng kan David ha haft på pil 4 och 5 för att
detta ska stämma?
(1/2)
b) Kombinationerna 6, 6 ; 5, 7 ; 4, 8 ; 3, 9 och 2, 10
Ger minst ett korrekt förslag på pilarnas poäng
+1g
Redovisar att totalsumman är 35 eller att summan
av de två pilarnas poäng måste vara 12
+1vg
Klar och tydlig redovisning med alla kombinationer
i svaret
+1vg
Göra tabell:
0
1
2
(12) (11) 10
3
9
4
8
5
7
6
6
7
…
Detta är dagstemperaturerna i Söderort i vecka 3 på
skoldagarna.
Dag:
Antal grader:
må
5
ti
4
on
4
to
1
fr
0
Beräkna medelvärdet.
(Svar 3,5 eller 2,8?)
”Nationella provuppgifter i matematik kan avslöja
elevers förståelse … .”
Detta är dagstemperaturerna i Söderort i vecka 3 på
skoldagarna.
Dag:
Antal grader:
må
5
ti
4
on
4
to
1
fr
0
Förklara varför lösningen nedan är fel.
5  4  4 1
4
14

 3,5
4
(Äp9 Ma09 C7) igen… . Hur förbättra uppgift a?
David tränar pilkastning. Varje pil kan ge högst 10 poäng
och minst 0 poäng.
a) I första omgången får han följande resultat:
8, 8, 3, 6, 0. Vilket är då hans medelvärde? (1/0)
12
71
Beräkna medelvärdet av talen
a)
8 7 6 5 4
b)
5 5 2 2 1
c)
4 4 3 1 0
d)
4 4 4 0
e)
4 4 0 0
f)
4 0 0 0
81
a) 5 2 0 (-1) (-1)
b) …
Vanliga uppgifter?
Avslöjande eller självreglerande?
Progression…
En familj består av två vuxna och två barn. …
Medelåldern i familjen är 20 år.
Familjens vuxna är båda 32 år.
a) Ge minst två exempel på hur gamla barnen kan vara.
(Hur gamla kan barnen vara? Visa … )
Vad en
Tabell
8 8
9 7
10 6
…
15 1
16
0
kan visa:
b) Om en vecka räknar mamman med att föda sitt
tredje barn. Vilken medelålder får familjen då?
c) … föda … tvillingar …
Svar:
b 80/5 = 16
c 80/6 ≈ 13,3
d 80/7 ≈ 11,4
e 80/8 = 10
f 80/9 ≈ 8,9
g 80/10= 8
(tvillingar)
(sexlingar)
… föda … åttlingar …
80
 6,7
48
Vill föda n-lingar så
att medelåldern blir 5
80
5
4n
(Äp9 Ma13 B14)
Du vet hur stor medelåldern är för tre vuxna personer.
Vilka två av följande frågor kan man då besvara
korrekt? Ringa in de två korrekta svarsalternativen.
(0/1/1)
1) Hur gammal är var och en av personerna?
2) Hur stor var medelåldern för dessa personer för
exakt två år sedan?
3) Hur stor är medelåldern för två av dessa
personer?
4) Hur stor är personernas sammanlagda ålder?
Gruppledtrådar
Hur gammal är Maria?
Ledtråd …
1) I Marias familj finns 2 vuxna och 2 barn.
Medelåldern i Marias familj är 26 år.
2) Marias bror heter Niclas och är10 år.
3) Niclas pappa är 4 gånger så gammal som Niclas.
4) Marias mamma är 26 år äldre än Maria.
5) Elin löser uppgiften med ekvation:
M + 10 + 40 + (M + 26) = 4 ∙ 26.
6) För ett år sedan var medelåldern för de två barnen 11 år.
Aktivitet
Två tärningar. Summan.
Gör ”Frekvenstabell”. Hur tror …
Summa: 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Jag satsar på att följande summor ska vinna:
5, 6, 7 eller 8
Ni får ta resten av summorna:
2, 3, 4, 9, 10, 11 och 12
6
5
5
4 20




36 36 36 36 36
Aktivitet. Frekvenstabell
Du ska kasta en tärning 25 gånger.
a) Vilket medelvärde tror du det blir?
b) Gör försöket, anteckna resultatet i en
frekvenstabell och beräkna ditt medelvärde.
c) Vilket medelvärde bör det bli efter … kast
Summan. Tre tärningar …
Produkten. Två tärningar…
Differensen. Två tärningar …
…
+
0
2
4
6
1
3
5
7
7
7
3. Hjulen snurras 8 000 gånger.
Ungefär hur många gånger blir
summan
a7
b9
7
7
3 Hjulen snurras 8000 gånger.
Ungefär hur många gånger blir summan
a7
(1/)
b9
(1/1/1)
Formativ själv- och kamratbedömning
Mål: Visa att du kan
•förklara samband mellan bråk och procent
•se samband bråk-decimaltal-procent-sannolikhet
•addera enkla bråk
•använda strategier vid problemlösning
3 b 1500 ggr
Du redovisar lösning med rätt svar
Du kan förklara hur du kom fram till svaret
Du redovisar tydligt att du utgår från 3/16
och hur t.ex. 1/16 av 8000 = 500
Du kan förklara för någon hur du tänkt och
på vilket sätt du skrivit ner din lösning
Du redovisar en tydlig lösning som är lätt att
följa och använder matematiskt språk.
Du kan förklara hur din lösning är korrekt
och tydlig att följa
E
(M)
(K)
C
(M)
(R,K)
A
(M,B)
(P,R)
Ur Lgr11: …utveckla
sin förmåga att
P (problem) – formulera och lösa problem med hjälp
av matematik samt värdera valda strategier och
metoder
B (begrepp) – använda och analysera matematiska
begrepp och samband mellan begrepp
M (metoder) – välja och använda lämpliga
matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa
rutinuppgifter
R (resonemang) – föra och följa matematiska
resonemang, och …
K (kommunikation) – använda matematikens
uttrycksformer för att samtala om, argumentera och
redogöra för frågeställningar, beräkningar och
slutsatser.
Tänk efter
T1 Du singlar slant.
a) I ditt första kast kommer H upp. Hur stor är
sannolikheten att H kommer upp i ditt andra
kast?
b) Du gör två nya kast. Vilken är sannolikheten
att H kommer upp i båda de kasten?
c) Förklara varför det blir olika svar i a och b.
P BMR K
T2 Pia påstår att sannolikheten för att få ”olika” när
man kastar ett mynt två gånger är 1/3, eftersom där
finns tre utfall: krona-krona, klave-klave eller ”olika”.
Förklara varför Pia har fel.
P BMR K
T4 Charlie och Sanna kastar en tärning 200 gånger.
Charlie satsar på alla udda tal och Sanna på de jämna.
a Vem tror du har störst summa när de kastat klart?
Motivera.
b Sanna tror att hennes summa kommer att vara
ungefär 400.
Hur kommer hon fram till detta?
c Ungefär vilken summa tror du Charlie får?
PBMRK
P6
Alva, Bella, Cissi, Diba, Ebba och Fia ska ställa sig i kö
till en toalett. På hur många olika sätt kan de stå i kön?
Strategi?
”Strategier för matematisk problemlösning …”
P7
I en skål ligger dessa sex bokstäver:
EFLMOR
Sanna tar upp en bokstav i taget och lägger ut i en rad.
Hur stor är sannolikheten att ordet på raden blir:
FORMEL
(6! = 720)
(1/720 = 0,00138888)
Rektanglarna ska alla ha samma omkrets, 24 cm, och
längden på sidorna ska vara heltal.
Gör en tabell.
Slutsatser?
Längd(cm) Bredd(cm) Omkrets(cm)
11
1
24
10
2
24
3
24
4
24
5
24
6
24
Area (cm2)
11
…
Längd(cm)
11
10
9
8
7
6
Bredd(cm)
1
2
3
4
5
6
Omkrets(cm)
24
24
24
24
24
24
Göra tabell, Upptäcka mönster,
Area(cm2)
11
20
27
32
35
36
Diff
Tabell eller mönster
9 · 9 = 81
10 · 8 = 80
11 · 7 = 77
12 · 6 = 72
a · a = a2
(a+1)(a–1) = a2–1
(a+2)(a–2) = a2–4
(a+3)(a–3) = a2–9
Kvadrater och Rektanglar,
med samma omkrets.
(Äp9 Ma07B2)
Välj tre heltal som kommer direkt efter varandra,
t ex 6, 7, 8
Multiplicera det största och det minsta talet med
varandra: 6 · 8 = 48
Multiplicera det mellersta talet med sig själv: 7 · 7 = 49
Gör motsvarande beräkningar för några olika talföljder med tre
andra tal som kommer direkt efter varandra. Beskriv resultatet
av din undersökning. Vilken slutsats kan du dra?
Undersök på samma sätt några andra talföljder med tre tal.
Differensen ska vara densamma mellan två tal som följer på
varandra, t ex två som i talföljderna 1, 3, 5 och 6, 8, 10 eller tre
som i talföljderna 1, 4, 7 och 6, 9, 12. Beskriv resultatet av
denna undersökning. Vilka samband hittar du?
Visa att sambanden gäller för alla talföljder som är
uppbyggda på detta sätt.
(4/6) ¤
Sista del av en elevlösning:
tal 1
x
tal 2
x+y
tal 1 · tal 3 =
(tal 2)2 =
Göra tabell ?
Döpa mittalet till x ?
tal 3
x + 2y
x( x+2y)= x2 + 2xy
(x+y)2= x2 +2xy + y2
41
fler
På varandra följande tal
Vilka är talen om
A. 3 på varandra följande tal har summan
B. 5
…
C. 4
D. 6
…
E 5
10
F 5
5
…
Udda tal …
Samband med medelvärde?
30
30
14
21
( 0, 1, 2, 3, 4 )
( -1, 0, 1, 2, 3 )
Samband mellan ovan och nedan?
(1)
1+2+3+4+ …+98+99 =
1+3+5+ …
(2)
(Ur Uppgift 2, delprov C, NP1999 Samlingssalar.)
I den nya skolan ska det byggas en samlingssal där
första raden har 10 platser och andra raden har 13
platser. Rad 3 har 16 platser och så … ända till sista
raden som har 31 platser.
a) Hur många rader…
2
I en annan samlingssal … formeln 12 + 5n.
Beskriv hur denna sal är uppbyggd.
3
Kalle påstår att man alltid kan beräkna totala antalet
platser i en samlingssal, som är byggd på motsvarande
sätt, genom att multiplicera antalet platser på den
mittersta raden med antalet rader.
Undersök om Kalle har rätt.
( a  b) h
 A
2
P4 En teatersalong med 11 rader har 20 stolar på
första raden.
Rad 2 har 22 stolar, rad 3 har 24. Antalet stolar ökar
med två för varje rad.
Antalet stolar (S) på rad nummer n beskriver Fia och
Gustav med formel.
Fia: S = 20 + 2(n – 1)
Gustav: S = 2n + 18
a Visa att båda har rätt.
b Hur många stolar finns det på rad 11?
c Hur många stolar finns det totalt i salongen?
P5 När Pia löste uppgift 4c
ritade hon en parallelltrapets och satte ut mått
på parallella sidor och höjd.
40
11
20
Visa vilken formel hon använde och hur hon fick
fram sitt svar.
P5 En annan teatersalong med 11 rader har också 20
stolar på första raden.
Rad 2 har 24 stolar, rad 3 har 28. Antalet stolar ökar lika
mycket för varje rad.
Hur många stolar finns totalt i denna salong?
Robben Island är en känd fängelseö utanför Kapstaden.
Formen på ön kan liknas vid en parallelltrapets.
Mät på kartan och beräkna ungefär hur stor area Robben Island
har i verkligheten. (1/2/1) (Äp9Ma13)
Bildens area
(cm2)
=
7(14  8)
 77
2
Areaskala 1: (25 000)2 = 1: 625 ∙ 106
Area i verkligheten: 625 ∙ 106 ∙ 77 cm2 =
= 48125 ∙ 106 cm2 = 4812500 m2 =
=4,8125 km2 ≈ 4,8 km2.
Äp9Ma09
B1: 17 (sista uppgiften)
17) Beräkna …
Svar:__________
102  102  102  102  102
102  102
xxx
x
xxx
3
xxx
3x
x  2 x  3x
x
37  37  37
37  37  37
37  2  37  3  37
37
3
37
(Äp9 Ma09 C10)
I en fruktodling har man planterat mangoträd ( ) omgivna av apelsinträd ( ) på det sätt som figurerna visar.
a) Hur många mangoträd och hur många
apelsinträd finns det i figur 5?
(2/0)
b) … i figur n? Motivera ditt svar.
(0/2) ¤
c) I figur 2 finns det dubbelt så många apelsinträd
som mangoträd. Undersök i vilken figur som det
finns dubbelt så många mangoträd som apelsinträd.
(1/1) ¤
Figur nr:
1
2
3
4…
Gula (apelsin)
4
8
12
16
Blå (mango)
1
4
9
16
Differens 1
Differens 2
3
5
2
7
2
n…
Figur
nr
1
2
3
…
n
10
Mönster
A
B
4
4
8
7
12 10
__
x
__
y
Figur nr:
1
Antal stickor: 3
2
6
3
9
4 …
Pricka in talparen i ett koordinatsystem.
Dra en linje mellan punkterna …
Samband med proportionalitet? , med skala???
Figur nr:
1
Antal stickor: 3
2
5
3
7
4 …
Pricka in talparen i ett koordinatsystem.
Dra en linje mellan punkterna …
Varför inte proportionalitet?
Räta linjens ekvation…
Vilka begrepp har vi arbetat med?
Vilka samband mellan begrepp?
Vilka nya samband har du upptäckt?
Begrepp och samband kan eleverna upptäcka
och utveckla i arbete med … .
[email protected]