Linjära differentialekvationer
av högre ordning
Sats 10.5
Varje linjär homogen differentialekvation
av ordning n har n st. linjärt oberoende
lösningar.
Om y1, y2,. . . , yn är n st. linjärt oberoende lösningar så kan varje lösning till
ekvationen skrivas som
y = A1 y1 + A2 y2 + · · · + An yn.
där A1, A2,. . . , An är konstanter.
Differentialekvationer: Homogena,
linjära, med konstanta koefficienter
Differentialekvation
y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0
har karakteristiska ekvation
r n + an−1 r n−1 + · · · + a1 r + a0 = 0.
Låt r0 vara en rot.
• r0 reell med multiplicitet 1 ger
lösningen: er0 x
• r0 reell med multiplicitet m0 ger
er0 x, x er0 x, x2 er0 x,. . . , xm0−1er0 x
• r0 = α ± i β med multiplicitet 1 ger
eαx cos βx, eαx sin βx
• r0 = α ± i β med multiplicitet m0 ger
eαx cos βx, x eαx cos βx,..., xm0−1eαx cos βx
eαx sin βx, x eαx sin βx,..., xm0−1eαx sin βx
Sammantaget får vi n st. linj. ober. lösningar
som sätts samman enligt Sats 10.5.
