Induktion
Induktion
Antag att p1, p2, p3, . . . är en följd
av utsagor som är sådana att
Den andra induktionsprincipen. Antag att p1, p2, p3, . . .
är en följd av utsagor som är sådana att
1. p1 är sann,
2. för alla positiva heltal n gäller att pn ⇒ pn+1,
då är alla utsagorna sanna.
1. p1 är sann,
2. för alla positiva heltal n ≥ 2 gäller att
p1 ⋀ p2 ⋀ ... ⋀ pn-1 ⇒ pn,
då är alla utsagorna sanna.
Rekursion
Rekursion
Induktionsprincipen.
Ordet ”rekursion” betyder ungefär ”återkoppling”.
Rekursion påminner om induktion, som ju är ett slags
återkoppling:
• I induktionssituationen visar man att utsagor är sanna
med hjälp av ett antagande om att föregående utsagor
är sanna.
• Vid rekursion handlar det om att definiera en följd av
tal på ett sådant sätt att värdet av tal nummer n bestäms
av värdena på tal nummer 1, ....., n-1.
Definition.
Vi säger att talföljden f(1), f(2), f(3), .... är
om det för något heltal a ≥ 1 gäller att
rekursivt definierad
1. talen f(1), f(2), ..., f(a) är givna (startvärdena),
2. för varje heltal n ≥ a + 1 gäller att f(n) är en funktion
av f(1), f(2), ..., f(n-1) (rekursionen).
Rekursion
Rekursion
. Sätt
1. f(1) = 1,
2. f(n) = n f(n-1) för n ≥ 2.
Då är följden f(1), f(2), .... rekursivt definierad. Vi får att
f(1) = 1,
f(2) = 2 f(1) = 2 1 = 2,
f(3) = 3 f(2) = 3 2 = 6,
f(4) = 4 f(3) = 4 6 = 24,
etc. Talet f(n) brukar skrivas n!
. Sätt
1. f(1) = 1,
2. f(n) = 2 f(n-1) för n ≥ 2.
Då är följden f(1), f(2), .... rekursivt definierad. Vi får att
f(1) = 1,
f(2) = 2 f(1) = 2 1 = 2,
f(3) = 2 f(2) = 2 2 = 4,
f(4) = 2 f(3) = 2 4 = 8,
etc. Vi får att f(n) = 2n-1.
Exempel
Exempel
1
Rekursion
Exempel. Låt a1, a2, ... vara en följd av reella tal. Sätt
1. f(1) = a1,
2. f(n) = f(n-1) + an för n ≥ 2.
Då är följden f(1), f(2), .... rekursivt definierad. Vi får att
f(n) = ∑ni=1 ai.
Induktion och rekursion
Induktion är ett viktigt verktyg för att bestämma egenskaper hos rekursivt definierade följder.
. Sätt
1. f(1) = f(2) = 1,
2. f(n) = f(n-1) + f(n-2) för n ≥ 3.
Denna rekursivt definierade följd är känd som Fibonacciföljden och börjar: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
. Låt f(1), f(2), ... vara Fibonacciföljden. Visa att
f(n) < 2n för alla n.
Lösning med induktion.
1. f(1) = 1 < 21,
2. f(2) = 1 < 22,
3. Låt nu n ≥ 3. Antag att f(k) < 2k för alla k = 1, 2, ..., n-1.
Då gäller det att f(n) = f(n-1)+ f(n-2) < 2n-1 + 2n-2 <
2n-1 + 2n-1 = 2n. Det följer alltså att f(n) < 2n för alla n
enligt (den andra) induktionsprincipen.
Lisp
Aritmetiska och geometriska summor
Man kan definiera egna funktioner i Common Lisp.
Exempelvis blir funktionen kvadrat(x) = x2
. Låt a0, a1, a2, ... vara en följd av reella tal.
Betrakta summan
n
S(n) = ∑i=0 ai.
• Om det finns ett reellt tal d sådant att för alla i = 1, 2, 3, ...
gäller att a – a = d, så sägs summan S(n) utgöra en
Exempel
(defun kvadrat (x) (* x x))
i Common Lisp. Man kan även definiera rekursiva funktioner.
Exempelvis blir fakultetsfunktionen
(defun f (n)
(cond
( (= n 1)
1)
( (>= n 2) (* n (f (- n 1))) )
)
)
1, n = 1
f(n) = {n f(n-1), n≥2
Aritmetiska och geometriska summor
Exempel. Ett exempel på en aritmetisk summa är
n
S(n) = ∑i=0 (1 + 3i),
ty här gäller att a =1+3i så att a –a =(1+3i)–(1+3(i-1))=3.
Alltså har vi en aritmetisk summa med d = 3. Ett exempel
på en geometrisk summa är
i
i
i-1
S(n) = ∑ 5 2 ,
n
Ty a = 5 2 så att a /a = (5 2 )/(5 2 ) = 2. Alltså är
summan geometrisk med d = 2.
i
i
i
i-1
Definition
i
i-1
i-1
aritmetisk summa.
• Om det finns ett reellt tal d sådant att för alla i = 1, 2, 3, ...
gäller att a /a = d, så sägs summan S(n) utgöra en
i
i-1
geometrisk summa.
Aritmetiska och geometriska summor
En summa ∑ni=0 ai är aritmetisk om och endast om det finns
reella tal A och B sådana att ai = A + Bi för alla i. Summan är
geometrisk om och endast om det finns reella tal A och B så
att ai = ABi för alla i.
Aritmetisk summa:
∑ ai = ∑(A + Bi) = A∑1 + B∑i = A(n+1) + Bn(n+1)
2
n
i=0
i
i=0
i
Exempel
n
n
i=0
i=0
n
i=0
Geometrisk summa (B≠1):
∑ ai = ∑ABi = A∑Bi = A 1 – B
n
n
n
i=0
i=0
i=0
n+1
1-B
2
