8. Pell-talen Pn definieras rekursivt av :
Övningar på induktion
1. Visa att vinkelsumman i en triangel är p, och ge sedan ett induktionsbevis
för att vinkelsumman i en n-hörning är lika med Hn - 2L p då n ¥ 3.
2. Fibonaccitalen Fn definieras rekursivt av :
Visa för n > 1 att
F0 = 0 , F1 = 1
Fn+2 = Fn+1 + Fn
j n-2 § Fn § j n , där j =
1+
5
2
Hgyllene snittetL.
3. Visa någon eller några av likheterna
‚ Fk = Fn+2 - 1, n œ !
n
(1)
(2)
(3)
k=0
n
‚ F2 k = F2 n+1 - 1, n œ !
k=0
n
‚ F2 k+1 = F2 n+2 , n œ !
k=0
(4)
F2 n = Fn2 + 2 Fn Fn-1 , n œ !+
(5)
2 + F 2, n œ !
F2 n+1 = Fn+1
n
(6)
Fn-1 Fn+1 = Fn2 + H-1Ln , n œ !+ HCassinis likhetL
4. Tillverka en snabb rekursionsformel för Fibonaccitalen med hjälp av (4)
och (5).
5. Bestäm en sluten formel för gHnL definierad rekursivt av
gH0L = 1
:
.
gHnL = gHn - 1L + 2 gHn - 2L + … + n gH0L
6. Hur många bitsträngar finns det av längd n som saknar två nollor i följd?
7. Hur många sätt finns det att kakla en rektangel av storlek 2 µ n med
dominobrickor av storlek 1 µ 2 eller 2 µ 1?
P0 = 0, P1 = 1,
8. Pell-talen Pn definieras rekursivt av :
Pn+2 = 2 Pn+1 + Pn
P + Pn+1
Kvoten n
har följande egenskap för stora värden på n. Den
Pn+1
Kvoten
2
P0 = 0, P1 = 1,
Pn+2 = 2 Pn+1 + Pn
Pn + Pn+1
har följande egenskap för stora värden på n. Den
Pn+1
approximerar 2 och den är rationell. Här är några inledande värdena på
dessa kvoter: 1, 3 , 7 , 17 , 41 , 99 , 239 , 577 , 1393 , 3363 . Redan tre eller fyra
2 5 12 29 70 169 408 985 2378
hundra år f.K. var kvoten 577 känd som approximation till
408
2 , och de
gamla grekerna lär ha känt till flera element i följden. Egenskapen att
approximera 2 följer av att
x = Pn + Pn+1 , y = Pn+1 satisfierar en av de s.k. Pell-ekvationerna
x 2 - 2 y2 = 1, x 2 - 2 y2 = -1
(1)
Visa att (1) satisfieras av Pell-talen på nämnda sätt.
9. Bestäm en sluten formel för maximala antalet delar som kan fås av en
tårta om man gör n snitt med en vass tårtspade
"rakt igenom tårtan". Ge ett induktionsbevis för att
den slutna formeln stämmer.
10. Kakling av ett kvadratiskt schackbräde med 2n rader.
Visa, för varje schackbräde med 2n µ 2n rutor varav
en godtycklig ruta är markerad, att de återstående
rutorna kan täckas med disjunkta vinklade s.k. triomino|
brickor Hse figurenL. Hur många brickor behöver man?
ANM En följd av resultatet är att 22 n - 1 är delbart med 3 för varje n œ !.
11. Ett fullt binärt träd är ett binärt träd där varje nod, som inte är ett löv,
har två stycken avkommor. Visa att, om V är mängden av vägar (från
rotnoden ned till löven), så är
‚ 2-†v§ ! 1,
där †v§ är lika med v : s väglängd mätt i antalet vägstumpar.
vœV
12. Antag att man vill veta ifall ett givet telefonnummer finns med i en lista
av 2n st telefonnummer. Visa att om listan är sorterad, så kan man reda ut
problemet efter att ha jämfört det givna numret med högst n + 1 stycken av
3
12. Antag att man vill veta ifall ett givet telefonnummer finns med i en lista
av 2n st telefonnummer. Visa att om listan är sorterad, så kan man reda ut
problemet efter att ha jämfört det givna numret med högst n + 1 stycken av
listans nummer. LEDNING Hitta en rekursiv sökalgoritm som går ut på att
dela listan mitt itu.
13. Hanoi-torn med par av identiska skivor. I följande variant på pusslet med
Hanoi-tornen förekommer par av identiska skivor.
F.ö. gäller samma regler som i det klassiska Hanoi-torn-pusslet. Bestäm både
en rekursiv och en sluten formel för det minsta antalet enskilda
skivförflyttningar som fordras för att flytta ett torn med n stycken skivpar
från en pinne till en annan, om
(a) de två identiska skivorna av varje storlek tillåts hamna i omvänd
ordning i den slutgiltiga placeringen i förhållande till den ursprungliga,
(b) två identiska skivor aldrig tillåts hamna i omvänd ordning i den
slutgiltiga placeringen.
