Problem 1. Förklara med handledning av a) till d) vad temperatur är. a) Vilken makroskopisk naturlag gör att begreppet är meningsfullt? Hur? (1p) Lösning: Termodynamikens nollte huvudsats, att om system A är i jämvikt med B och B i jämvikt med C är också A i jämvikt med C; (systemen har samma temperatur, A kan vara en termometer); se kap. 3.1 1 b) Vad är inom statistisk fysik villkoret för ett system i termodynamisk jämvikt? (1p) Lösning: Systemet befinner sig i sitt mest sannolika tillstånd, dvs i det makrotillståndet som har största antalet mikrotillstånd Ω. c) Härled härur villkoret för att två delsystem är i termodynamisk jämvikt med varandra. (2p) 1 Lösning: Antalet tillstånd av det hela systemet är produkt av delsystemens: Ω = ΩA × ΩB . Systemet är i sitt maximala tillstånd, alltså leder överföring av en liten mängd intern energi från det ena till det andra delsystemet inte till en ändring av Ω. Så om tillförseln av energi ∆U leder till en viss relativ ökning av ΩA (till exempel med 0,1%), måste den relativa minskningen av ΩB vara lika stor för att produkten inte ska ändras. dΩ I termodynamisk jämnvikt har båda delsystemen alltså samma värde av Ω1 dU . 2 d) Vad är sambandet mellan c), absolut temperatur och den mikroskopiska definitionen av entropi? (1p) dS −1 Ω −1 k dΩ −1 Lösning: S = kB ln Ω; T = dU = dkln = Ω . dU dU 1 1 Problem 2. Ovan visas ett fragment ur en elementär lärobok om termodynamik. Skriv en kritisk analys. (2p) Lösning: En kritik kan betona olika saker i avsnittet. Man kan undra varför det är relevant att jämföra den totala kinetiska energin i ett isberg med den i en kopp kaffe - författaren verkar argumentera mot en halmgubbe. Det kan vara ett retoriskt grepp, men det är inget bevis för att molekylernas genomsnittliga kinetiska energi är vad temperatur är ett mått på. Ett vagt ”det visar sig att” ger inte heller någon förklaring. Påståendet rimmar dessutom dåligt med observationen i den första paragrafen att is och vatten kan ha samma temperatur eller att tillförsel av värmeenergi inte alltid medför en höjning av temperatur. Det verkar ju märkligt att vattenmolekyler i flytande form skulle ha exakt samma genomsnittliga kinetiska energi som molekylerna i is vid 0◦ C. Läroboken försöker inte göra det hela begripligt. 2 2 Problem 3. Betrakta en viss mängd luft vid ett tryck på 1,0 bar, en volym på 600 cm3 och en temperatur på 100◦ C (tillstånd A). Detta är startpunkten för en termodynamisk cykel som börjar med en isoterm till tillstånd B med en volym på 200 cm3 . Sedan följer en adiabat till tillstånd C. Cykeln sluts med en isokor tillbaka till tillstånd A. Skissa dessa vägar i p − V diagram och i T − S diagram. Beräkna ändringen i inre energi, värmeutbytet med omgivningen, arbetet på gasen och ändringen i entropi för de tre olika stegen A → B, B → C respektive C → A. Hur stor är cykelns yta i båda diagram? Ge samtliga svar i SI enheter. Är detta en värmepump eller en värmemaskin? (Motivera ditt svar.) (6p) Lösning: Börja med att räkna ut tryck för B och C. Punkt B har ett tryck på 3 bar, på isotermen från A till B gäller att pV är konstant vid 100◦ C. Punkt C har samma volym som A: 600 cm3 . Adiabaten från B till C följer pV γ är konstant, med γ = 1,4, så att trycket är p = (1/3)0,4 = 0,644 bar. Temperaturen är T = 0,644 × 373 = 240 K = -33◦ C. Härmed kan man rita ett p − V diagram. Z B ∆WAB = − Z 200 p dV = − A 600 1 3 · 105 × 200 · 10−6 dV = −60 J×ln V |200 = 65,92 J. 600 = −60 J×ln V 3 Eftersom intern energi av en ideal gas endast beror på temperatur, är den konstant på en isoterm; ∆UAB = 0, så att ∆QAB = −65,92 J. Härmed kan man även räkna ut ändringen i entropi ∆SAB = ∆QAB /T = −65,92/373 = −0,18 J/K. På adiabaten gäller ∆QBC = ∆SBC = 0. Den interna energin ∆UBC beror på arbetet som man får ur integration av polytropen: Z C ∆WBC = − Z 600 p dV = − B 6 200 2,5 60 J dV = −60 J × 0,4 |600 200 = −53,34 J. V 1,4 V För den isokore uppvärmning från C till A gäller att ∆WCA = 0. Entropin är en tillståndsvariabel, alltså måste den totala entropiändringen vara noll och ∆SCA = 0,18 J/k. Värmet kan man få på liknande sätt, eller genom ∆QCA = νCV ∆T . (Och man kan entropiändringen också finna genom integration över temperaturskillnaden av värmeflödet.) A→B B→C C→A ∆W (J) 65,92 -53,34 0 ∆Q (J) -65,92 0 53,34 ∆U (J) 0 53,34 -53,34 ∆S (J/K) -0,18 0 0,18 Cykelns yta mellan båda kurvor i p − V diagrammet är skillnaden mellan båda integraler för arbetet ∆WAB − ∆WBC = 12,58 J. Det är samma yta i T − S diagrammet. Här är isotermen och adiabaten räta linjer. Detta är en värmepump, eftersom den tar upp värme på trajekt CA och avger värme vid högre temperatur (100◦ C). 3