TEMA: Hastighetsskala, tidsskala och effektskala

TEMA: Hastighetsskala, tidsskala
och effektskala
Erland Runelid
V
i föreställer oss ett flygplan som till att börja med flyger i planflykt. Piloten börjar
stiga kraftigt utan att ge mer gaspådrag. Mycket snart sjunker hastigheten och
planet närmar sig det kritiska läge då det faller okontrollerat (stallar). Precis då
trampar piloten på en av roderpedalerna och gör en så kallad hammerhead, det vill säga
vänder nosen sidledes nedåt och påbörjar en kontrollerad dykning och drar av motorn
till försumbar dragkraft. Om vi bortser från luftmotståndet och kan anse att, genom den
beskrivna manövern, dykningen påbörjades med försumbar hastighet så kommer planets
kinetiska energi (och därmed också hastighet) i varje ögonblick att vara en återspegling av
förlorad potentiell energi (och därmed också höjd) enligt
Här kompletteras artikeln Byggnader,
djur och deras skalor som publicerades
i Nämnaren 2014:1 med ytterligare
två teman kring skala som kan
passa för gymnasiet eller som
fördjupningsuppgift för elever i
grundskolan som behöver utmaningar.
mv 2
E pot1 = Ekin2 ⇒ mgh =
2
Ur detta får vi
v  2 gh
Tänk er nu en modell som gör samma manöver från skalenlig höjd.
vreal = 2 ghreal
och
hmodel = kscale ⋅ hreal
vmodel  2 ghmodel  2 g  kscale  hreal  kscale  2 ghreal  kscale  vreal
.
Sammanfattningsvis om hastighetsskala:
vmodel  kscale  vreal
Sambandet mellan förflyttning hastighet och tid måste gälla så
treal 
sreal
vreal
tmodel 
smodel
k s
 scale real  kscale  treal .
vmodel
kscale  vreal
Sammanfattningsvis om tidsskala:
tmodel  kscale  treal
ncm.gu.se/namnaren
Materialet får fritt kopieras och användas
med uppgivande av källa
NCM & Nämnaren
1
Detta kan till en början tyckas absurt. Men tänk er för ett ögonblick en modell av ett
golvur som är avbildat i skala. Tiden mellan två ”tick” bestäms av längden på pendeln
enligt
Treal  2
lreal
g
lmodel
k l
l
 2 scale real  kscale  2 real  kscale  Treal .
g
g
g
Tmodel  2
Notera att modellerna förmodas befinna sig här på jorden med vårt vanliga värde på
tyngd­accelerationen g. Luften modelleras inte heller och inte heller vatten utan de behåller sina egenskaper.
Frekvens och varvtal måste också på motsvarande sätt skalas. Ett hjul som i verkligheten vrider sig ett varv på tiden Treal skall på modellen vrida sig lika mycket på tiden Tmodel.
f real =
1
Treal
f model =
1
Tmodel
=
1
kscale ×Treal
=
1
×f real .
kscale
Sammanfattningsvis om frekvensskala:
f model 
1
 f real
kscale
Nu skall vi fläta ihop det vi hittills konstaterat till något användbart: Vi skall göra en miniature effect-film av det tyska slagskeppet Bismarcks sista strid och förlisning den 27 maj 1941.
Bismarck var 251 m lång, 36 m bred, från köl till övre däck 15 m. Hennes maskineri på 150 170 hk gav henne en toppfart på 30
knop. Sin sista dag hade hon sådana skador, efter slaget i Danmarkssundet där hon sänkt
brittiska slag-kryssaren Hood, att hon stävade med reducerad fart, 16 knop, mot St. Nazaire
för reparationer. Engelsmännen gav sig inte och ett Swordfish torpedplan fick in en träff
nära babords roder som låste sig så att hon bara kunde gå i cirkel. Nu satte engelsmännen
in allt de hade av tungt fartygsartilleri, bomber och torpeder. Ett tag hade Bismarck 20°
slagsida åt babord och låg lågt med aktern. Klockan 10:35 blev hennes slagsida värre och
hon kapsejsade och sjönk med aktern först. Hon försvann under ytan 10:40.
Tänk er nu att vi skall bygga en modell i skala 1:100. Alla mått i meter blir istället
mått i centimeter. Hastighetsskalan blir 1:10. Detta uppnår vi genom att låta propellrarna rotera med 10 gånger verkligt varvtal (konstigt nog). På så sätt får vi en bogvåg och
ett svall som ser realistiska ut, åtminstone på en stillbild. Det är bara det att svallet breder ut sig onaturligt snabbt. Det är här tidsskalan kommer in. Den är också 1:10 och det
åstadkommer vi genom att låta filmen löpa 10 gånger ”för fort” genom filmkameran. Vid
uppspelning med normal filmhastighet kommer allt att se övertygande ut. En 2,5 m lång
och 35 cm bred modell som kapsejsar kommer att göra det på tok för snabbt och plötsligt. Tidsskalan ser till att det blir just så majestätiskt som vi föreställer oss verkligheten.
Man kan här tänka sig andra exempel: en modell av ett tåg som spårar ur, välter och tumlar
nerför en banvall med mera. Men också så kallade proof of concept-försök i reducerad skala
av det mesta faktiskt.
Vi återvänder nu till det dykande flygplanet i det inledande exemplet. Piloten drar på
motorn igen för att återta förlorad höjd. På så sätt ökar den potentiella energin genom det
arbete som uträttas. Detta tar en viss
m  ghreal
 mreal  gvreal
Preal  real
tid och fordrar en viss effekt enligt
treal
Där betecknar hastighetens vertikalkomposant. Vi vet sedan tidigare att
så
3
mmodel  kscale
 mreal
3
Pmodel = mmodel gv↑model = kscale
⋅ mreal ⋅ g kscale ⋅v↑real =
3
3,5
kscale
⋅ kscale ⋅mreal ⋅ gv↑real = kscale
⋅ Preal .
Sammanfattningsvis om effektskala:
ncm.gu.se/namnaren
3,5
Pmodel  kscale
 Preal
Materialet får fritt kopieras och användas
med uppgivande av källa
NCM & Nämnaren
2
Olika flygande djur bär sig åt på olika sätt för att hålla sig i luften. Varför?
Vi tänker oss en humla som förstoras upp 10 gånger. Den skulle enligt ovan behöva
103,5 ≈ 3162 gånger så stor effekt som originalet. Kan det uppnås? Varje muskel borde
utveckla gånger så stor kraft (tvärsnittsarean ökar så mycket och då får man plats med
så många gånger fler muskelfibrer enligt ett inte helt renlärigt resonemang). Samtidigt
får varje muskel 10 gånger så långt rörelseomfång. Den borde alltså kunna utföra ett
103 = 1000 gånger så stort arbete. Skall den nu driva vingarna skall den göra det med skalenlig frekvens. Eller om man så vill, varje vingslag skall fullbordas på skalenlig tid. Vi får
Preal 
Wreal
treal
Pmodel 
Wmodel 103 Wreal

 102,5  Preal .
tmodel
10  treal
Det fattas som vi ser en tiopotens. Detsamma gäller för hjärtat som skall pumpa runt blodet (eller vad det nu är i en humla). Kanske flödet av blod som passerar genom muskeln på
något sätt blir tillräckligt1 om hjärtat slår fortare än skalfrekvens, ett slags överladdning av
muskeln. Men den trista sanningen är att blodet hela tiden måste syresättas. Detta sker
genom att förskjuta en kemisk jämvikt mellan två faser skilda åt av ett membran, en gränsyta i andningsorganen. Gränsyta… yta … area!! Förmågan att syresätta blodet och alltså
2
långsiktigt driva muskulaturen ökar med arean och därmed skalan upphöjt till 2 ( kscale )­­
enligt vad vi vet tidigare om sambandet mellan längdskala och areaskala. Behovet är som vi
3,5
tidigare sett skalan upphöjt till 3,5 ( kscale ).
Detta är anledningen till att vi ser en sådan variation bland flygande djur. De minsta,
myggor och knott, fladdrar med vingarna med en frekvens ”till höger om pianoklaviaturen”. Den stora albatrossen med ett vingspann på nästan 3,5 m är den största nu levande
flygande organismen, den är en segelflygare och rör knappt vingarna alls efter att den lyft
från marken eller havet. Återigen ett exempel på att varje storlek fordrar sin speciella
konstruktion.
1
Hagen-Poiseuilles lag säger att flödet genom ett rör är proportionell mot rörets radie
upphöjt till 4.
 r 4 p

8 l
Så kanske, men bara kanske, kan ett tillräckligt flöde av blod distribueras till muskulaturen.
Men finns det tillräckligt med syre i det blodet? Omvänt om en framgångsrik konstruktion
skalas ned så kommer blodet att vara mer än väl syresatt men det når inte ut till muskulaturen.
ncm.gu.se/namnaren
Materialet får fritt kopieras och användas
med uppgivande av källa
NCM & Nämnaren
Bildkällor:
Author: Robin, Wikimedia Commons
Source: Deutsches Bundesarchiv,
Wikimedia Commons
Author: Ernie, Wikimedia Commons
3
TEMA: Eiffeltornet
N
är man står under Eiffeltornet och blickar uppåt får man lätt in-trycket att det
är en väldigt massiv och otymplig konstruktion. I den här uppgiften skall du studera just det.
Eiffeltornet är ungefär 300 m högt (324 m mer exakt). Basen på tornet bildar en kvadrat med sidan 125 m. Hela tornet med fundament väger 10 000 ton. Själva stålkonstruktionen väger 7000 ton (7 300 ton mer exakt).
1. Tänk dig nu att du skall tillverka en exakt modell, men utan fundament, som är 30 cm
hög. Vad skulle den väga om varje del tillverkas av samma material som originalet? (Det
går så klart inte att göra, men man kan alltid tänka sig det.)
2. Tänk dig nu att du trär en cylindrisk papptub över Eiffeltornet. (Det går så klart inte
att göra, men man kan alltid tänka sig det.) Vad skulle väga mest, Eiffeltornet eller luften i papptuben?
Bildkälla:
Cezary p, Wikimedia Commons
ncm.gu.se/namnaren
Materialet får fritt kopieras och användas
med uppgivande av källa
NCM & Nämnaren
4