Signaleringen mellan cellerna i nerver och muskler är elektrisk till

HELSINGIN SEUDUN BIOTEKNIIKAN KOULUTUSOHJELMA
VALINTAKOE C-osa
24.5.2010
Sukunimi____________________________
Etunimet____________________________
Henkilötunnus________________________
MATEMATIIKKA (20 p)
Solujen välinen viestintä hermoissa ja lihaksissa on luonteeltaan sähköistä. Sähköisen
potentiaalieron solukalvon yli synnyttävät ionipitoisuuksien erot solun sisällä ja solun
ulkopuolella. Tärkeitä ioneja tässä yhteydessä ovat K+, Na+, Ca2+, ja Cl . Erilaiset
herätteet avaavat kalvossa ionikanavia, joiden kautta natrium- ja kaliumionit voivat
virrata. Tämä johtaa kalvopotentiaalin hetkellisiin muutoksiin, jotka vuorostaan
stimuloivat solukalvon lähialueita. Tuloksena on sähköinen signaali joka etenee pitkin
hermosolua.
SI-järjestelmän (Système International d’Unité) sähköinen perussuure on sähkövirta
(symboli I). Sähkövirran yksikkö on amppeeri (A). Sähkövirta 1 A kuljettaa sekunnissa
sähkövarauksen 1 C (coulomb), 1 A = 1 Cs 1, 1 C = 1 As. Tämä on 1/96485 moolia, eli
10,36 mol elektronivarauksia sekunnissa.
Kahden pisteen välinen sähköinen potentiaaliero E on 1 V (voltti) jos 1 C varauksen
kitkaton kuljettaminen pisteiden välillä vaatii 1 J (joule) työtä, 1 V = 1 JC 1.
Fysikaalisia suureita ja niiden yksiköitä käsitellään kerto- ja jakolaskuissa kuten mitä
tahansa numeerisia tekijöitä.
Sähköä johtavan väliaineen sähkönjohtokykyä g kuvaa konduktanssi, jonka yksikkö on
siemen (S),
I
gE.
Tämä on Ohmin laki yksinkertaiselle sähköä johtavalle kappaleelle. Sähkönjohtokyky on
1 S jos kahden pinnan välinen 1 V jännite synnyttää 1 A virran pintojen välille, 1 S =
1 AV 1. Sähköenergia muuttuu lämmöksi. Lämpöteho on 1 W = 1 Js 1.
Sähkövastus (resistanssi R) sähkönjohtokyvyn käänteisarvo ja sen yksikkö on ohmi ( ).
1 = 1 V A 1. Ohmin laki voidaan myös kirjoittaa muodossa
E
IR.
Suurempi resistanssi johtaa annetulla jännitteellä pienempään virtaan.
Homogeenisen sähköä johtavan väliaineen ominaisvastus eli resistiivisyys kuvaa
materiaalin sähkönjohtokykyä. Sylinterinmuotoisen kappaleen päiden välinen resistanssi
l
on
R
,
A
1
missä l tarkoittaa sylinterin pituutta ja A sen poikkipinta-alaa. Käyttökelpoinen
ominaisvastuksen yksikkö on
cm . Liuoksen ominaisvastus pienenee kun siihen
lisätään suolaa. Fosfolipidin muodostaman kaksoiskalvon ominaisvastus on niinkin
korkea kuin 1015 ·cm. Siitä huolimatta, että fysiologiset ionit voivat liikkua lipidissä ne
ovat mieluummin vesiliuoksessa kuin hydrofobisessa lipidissä.
Kalvoille määrittelemme usein ominaisvastusta kalvon vastuksena neliösenttimetriä
kohden. Olettaen, että kaksoiskalvon paksuus on 2 nm (2·10 7 cm) on sen ominaisvastus
RM
l 1015 cm 2 10 7 cm 2 108 cm 2 .
1
Ominaissähkönjohtavuus on g M
0, 5 10 8 S cm 2 5 nS/cm 2 .
RM
Lipidi ei määrää biologisten kalvojen sähkönjohtavuutta. Sähkönjohtavuuden määrää
lipidiin upotetut ionikanavat.
a) Oleta, että kalvo sisältää K+-selektiivisiä ionikanavia, jotka jokainen lisää
sähkönjohtavuutta 20 pS (20·10 12 S). Oleta, että keskimäärin 0,5 ionikanavaa
neliömikrometriä kohti on auki. Määritä kalvon ominaissähkönjohtavuus gK ja
ominaisvastus RK.
Mallivastaus:
gK
RK
0,5 20 10 12 S/ m 2
10-8 cm 2 / m 2
1
103 cm 2 .
gK
10 3 S/cm 2
1 mS/cm 2
Solukalvoa voidaan pitää sähköisenä kondensaattorina koska kalvo toimii sähkövarausten
erottajana. Kondensaattorin kapasitanssi määritellään kondensaattorilevyjen varausten ja
kondensaattorin yli vaikuttavan jännitteen osamääränä, C = q/E. Kapasitanssin SIyksikkö on 1 F (farad). 1 F = 1 C V 1, mikä on hyvin suuri kapasitanssi. Koska kalvo on
hyvin ohut, voidaan soveltaa levykondensaattorin kaavaa rajatulle kalvon pinnalle,
A
C
.
0 r
d
Levykondensaattorin kapasitanssin kaavassa
8,8542 10 12 C V 1 m 1 .
0 on tyhjiön permittivisyys,
0
-
on kalvon suhteellinen permittiivisyys, r 2,1 hiilivetyketjuille.
A kondensaattorilevyjen pinta-ala
d on kondensaattorilevyjen etäisyys toisistaan.
r
Kalvon ominaiskapasitanssia CM määritellään kapasitanssina kalvon neliösenttimetriä
kohti. Se on suuruusluokaltaan 1 F/cm2, mikä on hyvin suuri kapasitanssi, mikä selittyy
sillä, että kalvo on hyvin ohut.
2
b) Rasvan (lipidin) muodostaman kaksoiskalvon ominaiskapasitanssi on noin
0,8 F/cm2. Määritä kaksoiskalvon eristävän osan paksuus.
Mallivastaus:
C
0 r
A
d
d
0 r
C
A
8,8542 10
12
C V 1 m 1 2,1 10
0,8 10 6 C V 1
4
m2
2,3 10
9
m.
Jos täydellisesti K+-spesifisiä ionikanavia sisältävä kalvo erottaa eripitoisia K+ioniliuoksia toisistaan, syntyy K+-ionien nettovirta väkevämmästä liuoksesta
laimeampaan liuokseen. Koska muiden ionien virtaus kalvon läpi on nolla, syntyy
positiivinen varaus sillä puolella kalvoa, johon ionit ovat virranneet. Tämä johtaa lyhyen
ajan kuluessa ionivirran tyrehtymiseen. Nernstin yhtälö antaa solun sisäisen ja solun
ulkopuolisen kaliumionien konsentraatioeron synnyttämän sähköisen potentiaalieron
tasapainotilassa. Vastaavanlainen yhtälö voidaan kirjoittaa muillekin ioneille.
K+
RT
o
ln
.
EK
zF
K+
i
Tämän yhtälön suureet ovat
1
- EK = potentiaaliero i
o. Yksikkö on 1 V (voltti) = 1 J C .
i on
solukalvon sisäpuolinen sähköpotentiaali ja o solukalvon ulkopuolinen
sähköpotentiaali.
- R = kaasuvakio = 8,3145 J K 1 mol 1 (K = kelvin, mooli on ainemäärän
mitta).
- Ainemäärä 1 mol sisältää NA atomia, ionia, molekyyleja tai alkeisvarauksia.
- NA = 6,0221·1023 mol 1 on Avogadron luku.
- T = absoluuttinen lämpötila (mitataan kelvineissä).
- T (kelvin) = t (celsiusasteet) + 273,15 K.
- F = 96485 C mol 1 = Faradayn vakio.
- z on ionin varaus. Kaliumioneille z = 1.
- [K+]o = kaliumionikonsentraatio (mol 1) solun ulkopuolella. 1 = 1 litra
- [K+]i = kaliumionikonsentraatio (mol 1) solun sisäpuolella.
Nernstin yhtälössä logaritmia edeltävän tekijän yksikkö on
R T
RT
J mol 1 K 1 K J
V. Tämä on sähköjännitteen yksikkö.
F
F
C mol 1
C
Kaliumionien tasapainopotentiaali nisäkkäiden luustolihasten solukalvon yli lämpötilassa
t = 37°C (T = 310,15 K) on 98 mV. 1 mV (millivoltti) = 10 3 V.
c) Määrää solunsisäinen kaliumionipitoisuus tasapainotilassa jos pitoisuus solun
ulkopuolisessa nesteessä on 4 mmol/ (1 mmol (millimooli) on 10 3 mol),
tasapainopotentiaali on 98 mV ja lämpötila 37°C.
3
Mallivastaus:
RT 8,3145 J mol 1 K 1 310,15 K
26, 73 mV
zF
1 96485 C mol 1
K+
K+
98 mV
o
o
98 mV 26, 73 mV ln
ln
+
+
26, 73 mV
K
K
i
K
+
i
e
3,6667
K
+
e
o
3,6667
K+
3, 6667
K
i
4 mmol/
39,12 4 mmol/
o
+
156,5 mmol/
e
3,6667
i
160 mmol/ .
Jännitys (potentiaaliero) solukalvon yli ei synny heti kun eripitoiset kaliumioniliuokset
lisätään kalvon kummallekin puolelle. Sitä mukaa kun kaliumionit kulkeutuvat kalvon
läpi kasvaa vastajännite, joka vastustaa diffuusiota. Diffuusiota kalvon läpi voidaan
kuvata ekvivalentilla sähköpiirillä, jota muodostaa ionikanava, jonka sähkönjohtavuus on
g K ja jossa vaikuttaa sähkövirtaa synnyttävä sähkömotorinen voima EK ja rinnan tämän
kanssa kondensaattori kapasitanssilla CM . Sähkövirta ionikanavan läpi varaa
kondensaattorin, jonka jännite kasvaa ja lopulta tasapainottaa ionikanavan
sähkömotorista voimaa. Prosessia kuvaa yhtälö
I K g K E EK .
Solukalvon jännitteen muutoksen määrää kulkeutunut sähkövaraus
dq
dE
.
CM
Ionivirta kanavan läpi on
dq
dE
dE
1
IK
CM
g K E EK
E EK .
dt
dt
dt RK CM
Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu on
E EK 1 e t / ,
missä piirin aikavakio on
RK CM .
d) Määrää tehtävien a) (RK = 103
·cm2) ja b) (CM = 0,8 F/cm2) kalvon aikavakio.
Mallivastaus:
RK CM
103
cm 2 .0,8 10
6
C V 1 cm
2
0,8 ms.
e) Kauanko kestää ennen kuin jännite saavuttaa 50 % loppuarvosta?
Mallivastaus:
E
t
EK 1 e
t/
ln 0, 5
0,693
0,5EK
t
1 e
0, 693
t/
0,5
e
t/
0, 693 0,8 10 3 s
0, 5
0,55 ms.
4
HELSINGFORSREGIONENS UTBILDNINGSPROGRAM I BIOTEKNIK
URVALSPROVET C-del
24.5.2010
Efternamn___________________________
Förnamn____________________________
Personbeteckning_____________________
MATEMATIK (20 p)
Signaleringen mellan cellerna i nerver och muskler är elektrisk till sin natur. Den
elektriska potentialskillnaden över ett cellmembran orsakas av skillnaden i
jonkoncentration innanför och utanför cellen. Viktiga joner i detta sammanhang är K+,
Na+, Ca2+, och Cl . Stimuli av olika slag öppnar jonkanaler i membranet genom vilka
natrium- och kaliumjoner kan strömma. Detta leder till momentana förändringar i
membranpotentialen, som i sin tur stimulerar angränsande områden i cellmembranet.
Resultatet är en elektrisk signal som fortplantas längs med nervcellen.
Den elektriska grundstorheten i SI-systemet (Système International d’Unité) är elektrisk
ström (symbolen I). Den mäts i ampere (A). Strömmen 1 A transporterar den elektriska
laddningen 1 C (coulomb) i sekunden, 1 A = 1 Cs 1, 1 C = 1 As. Detta är 1/96485 mol
eller 10,36 mol elektronladdningar i sekunden.
Den elektriska potentialskillnaden E mellan två punkter är 1 V (volt) om det krävs arbetet
1 J (joule) för att friktionsfritt transportera den elektriska laddningen 1 C mellan
punkterna, 1 V = 1 JC 1.
De fysikaliska storheterna och deras enheter behandlas vid multiplikation och division
som vilka numeriska faktorer som helst.
Ett elektriskt ledande mediums förmåga att leda elektrisk ström beskrivs av konduktansen
g (ledningsförmågan), som mäts i siemen (S),
I
gE.
Detta är Ohms lag för en enkel elektrisk konduktor. Ledningsförmågan är 1 S om
spänningen 1 V mellan två ytor leder till en elektrisk ström mellan ytorna av storleken
1 A, 1 S = 1 AV 1. Den elektriska energin omvandlas till värme. Värmeeffekten är 1 W =
1 Js 1.
Det elektriska motståndet (resistansen R) är inversen av ledningsförmågan, och mäts i
ohm ( ). 1 = 1 V A 1. Ohms lag kan också skrivas i formen
E
IR.
En större resistans leder till en mindre ström för en given spänning.
5
Den specifika resistansen för ett homogent elektriskt ledande material karakteriserar
materialets ledningsförmåga. Resistansen mellan ändytorna av en cylinderformad
konduktor är
l
R
,
A
där l anger längden hos cylindern och A dess tvärsnitt. En användbar enhet för
resistiviteten är
cm . Resistiviteten sjunker när man adderar salt till en
vattenlösning. Resistiviteten hos ett fosfolipid dubbellager i en saltlösning är så hög som
1015 ·cm. Trots att fysiologiska joner kan röra sig i lipiden föredrar de vattenlösningen
framom den hydrofoba lipiden.
För membraner definierar vi ofta den specifika resistansen som membranets resistans per
kvadratcentimeter. Under antagandet att lipid dubbellagrets tjocklek är 2 nm (2·10 7 cm)
är dess specifika resistans RM
l 1015 cm 2 10 7 cm 2 108 cm 2 .
1
Den specifika konduktansen är g M
0, 5 10 8 S cm 2 5 nS/cm 2 .
RM
Den elektriska konduktiviteten hos biologiska membraner bestäms inte av lipiden, utan
av de jonkanaler som finns inbäddade i lipiden.
a) Antag att membranet innehåller K+-selektiva jonkanaler, som var och en bidrar
med konduktiviteten 20 pS (20·10 12 S). Antag att i medeltal 0,5 jonkanaler per
kvadratmikrometer är öppna. Beräkna membranets specifika konduktivitet gK och
specifika resistans RK.
Svar:
gK
RK
0,5 20 10 12 S/ m 2
10-8 cm 2 / m 2
1
103 cm 2 .
gK
10 3 S/cm 2
1 mS/cm 2
Cellmembranet kan betraktas som en elektrisk kondensator eftersom membranet fungerar
som en separator av elektriska laddningar. Kondensatorns kapacitans definieras som
kvoten av laddningen på kondensatorns plattor och den elektriska spänningen över
kondensatorn, C = q/E. SI-enheten för kapacitans är 1 F (farad). 1 F = 1 C V 1, vilket är
en mycket stor kapacitans. Eftersom ett membran är väldigt tunt kan vi tillämpa formeln
for skivkondensatorns kapacitans på en begränsad del av membranets yta:
A
C
.
0 r
d
I formeln för skivkondensatorns kapacitans är
8,8542 10 12 C V 1 m 1 .
0 permittiviteten för vakuum,
0
6
-
den relativa dielektricitetskonstanten för membranet.
kolvätekedjor.
A är skivkondensatorplattornas yta
d är avståndet mellan plattorna.
r
r
2,1 för
Membranets specifika kapacitans CM definieras som kapacitansen per kvadratcentimeter
av membranet. Den är av storleksordningen 1 F/cm2, vilket är en mycket stor
kapacitans, vilket förklaras av att membranet är mycket tunt.
b) Den specifika kapacitansen hos ett dubbellager av fetter (lipider) är ungefär 0,8
F/cm2. Bestäm tjockleken hos den isolerande delen av dubbellagret.
Svar:
C
0 r
A
d
d
0 r
C
A
8,8542 10
12
C V 1 m 1 2,1 10
0,8 10 6 C V 1
4
m2
2,3 10
9
m.
Om ett membran med perfekt K+-specifika jonkanaler separerar lösningar med olika
koncentration av K+-joner uppkommer en nettoström av dessa från den mera
koncentrerade lösningen till den mera utspädda lösningen. Eftersom flödet av andra joner
är noll uppkommer ett överskott av positiv laddning på den sida dit jonerna diffunderat,
vilket så småningom minskar nettoflödet till noll. Nernsts ekvation ger den elektriska
potentialskillnaden orsakad av skillnaden i kaliumjonkoncentrationen innanför och
utanför cellen när jämvikt uppnåtts. Motsvarande ekvation kan skrivas för andra joner.
K+
RT
o
ln
.
EK
+
zF
K
i
Storheterna i denna ekvation är
1
- EK = potentialskillnaden i
o. Enheten är 1 V (volt) = 1 J C .
i är den
elektriska potentialen innanför cellmembranen och o den elektriska
potentialen utanför cellmembranen.
- R = gaskonstanten = 8,3145 J K 1 mol 1 (K = kelvin, mol är ett mått på
ämnesmängden).
- Ämnesmängden 1 mol innehåller NA atomer, joner, molekyler eller
elementarladdningar.
- NA = 6,0221·1023 mol 1 är Avogadros tal.
- T = den absoluta temperaturen (mäts i kelvin).
- T (kelvin) = t (celsiusgrader) + 273,15 K.
- F = 96485 C mol 1 = Faradays konstant.
- z är jonens laddning. För kaliumjonerna är z = 1.
- [K+]o = kaliumjonkoncentrationen (mol 1) utanför cellen. 1 = 1 liter
- [K+]i = kaliumjonkoncentrationen (mol 1) innanför cellen.
7
I Nernsts ekvation blir enheten för faktorn framför logaritmen
R T
RT
J mol 1 K 1 K J
V. Detta ät enheten för elektrisk spänning.
F
F
C mol 1
C
Jämviktspotentialen för kaliumjoner över cellmembranet hos däggdjurens skelettmuskler
vid temperaturen t = 37°C (T = 310,15 K) är 98 mV. 1 mV (millivolt) = 10 3 V.
c) Bestäm kaliumjonkoncentrationen inne i cellen vid jämvikt om koncentrationen i
den extracellulära vätskan är 4 mmol/ (1 mmol (millimol) är 10 3 mol),
membranpotentiaalen är 98 mV och temperaturen 37°C
Svar:
RT 8,3145 J mol 1 K 1 310,15 K
26, 73 mV
zF
1 96485 C mol 1
K+
K+
98 mV
o
o
98 mV 26, 73 mV ln
ln
+
+
26, 73 mV
K
K
i
K
+
i
e
3,6667
K
+
o
e
3,6667
i
4 mmol/
39,12 4 mmol/
3, 6667
K+
K
156,5 mmol/
o
+
e
3,6667
i
160 mmol/ .
Spänningen (potentialskillnaden) över cellmembranet uppkommer inte omedelbart när
kaliumjonlösningarna med olika kaliumjonhalt tillförs på båda sidor av membranet. I takt
med att kaliumjonerna diffunderar genom membranet växer motspänningen som
motverkar diffusionen. Diffusionen genom membranet kan beskrivas med en ekvivalent
elektrisk strömkrets bestående av en jonkanal med konduktiviteten g K i vilken verkar en
pådrivande elektromotoriska kraft EK och parallellt med denna en kondensator med
kapacitansen CM . Den elektriska strömmen genom jonkanalen laddar kondensatorn, vars
spänning växer och till sist balanserar den elektromotoriska kraften i jonkanalen.
Processen beskrivs av ekvationen
I K g K E EK .
Förändringen i spänningen över membranet bestäms av den diffunderade laddningen
dq
dE
.
CM
Jonströmmen genom kanalen är
dq
dE
dE
1
IK
CM
g K E EK
E EK .
dt
dt
dt RK CM
Lösningen till denna differentialekvation är
E EK 1 e t / ,
där kretsens tidskonstant är
RK CM .
8
d) Beräkna tidskonstanten för membranet som behandlades i a) (RK = 103
och b) frågan (CM = 0,8 F/cm2).
Svar:
RK CM 103 cm 2 .0,8 10 6 C V 1 cm 2 0,8 ms.
·cm2)
e) Hur lång tid tar det för spänningen att nå 50 % av slutvärdet?
Svar:
E EK 1 e t /
0,5EK
1 e t/
0,5 e t / 0, 5
t
ln 0, 5
0,693
t
0, 693
0, 693 0,8 10 3 s
0,55 ms.
9