Linjär algebra förel. 1 Ekvationssystem och matriser

advertisement
Linjär algebra
förel. 1
Ekvationssystem och matriser
Pelle
2016-01-18
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
1 / 17
Fakta om Linjär algebra
I
Omfattning: 6hp (4 veckors heltid = 120h)
I
19 föreläsningar, 8 övningstillfällen (en varje läsvecka)
Ni är: C, E och L
I
I
Kursbok: Gunnar Sparr, Linjär algebra, Studentlitteratur 1994 +
Övningshäfte.
I
Kursregistrering: Jag delar ut listor idag och ytterligare två föreläsningar.
I
Tentamen: Må 14 mars 8–13. Inga hjälpmedel. Anonym.
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
2 / 17
Kurshemsida
Kursen har en enkel hemsida:
www.maths.lth.se/matematiklth/personal/pellep/kurser/linalg/.
www.maths.lth.se/~pellep/kurser/linalg/.
Här hittar du kursinformation och föreläsningsanteckningar m.m.
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
3 / 17
Frågelåda
Forum där lärare besvarar alla matematikfrågor: forum.maths.lth.se.
Inloggning med StiL-identitet.
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
4 / 17
Linjär algebra = studiet av linjära ekvationer
Lätt: Lösningarna utgörs av
alla talpar (x, y ) så att
Exempel på linjär ekvation:
y=
2x + 3y = 5
5 2
− x,
3 3
x ∈ R.
Lösningen till uppgiften kan
illustreras grafiskt:
Terminologi:
x, y : obekanta,
2, 3: koefficienter,
5: högerled.
y
Uppgift: Bestäm alla par
av reella tal (x, y ) som
uppfyller ekvationen ovan.
x
(Rät linje)
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
5 / 17
Icke-linjära ekvationer.
Exempel: Ekvationen
Exempel: Lös ekvationen
4x 2 y = 1
x 2 − 4x + y 2 − 2y = −4.
har lösningarna
Kvadratkomplettering ger
(x − 2)2 + (y − 1)2 = 1.
y
Lösningsmängd:
y
x
x
(Behandlas ej i linjär
algebra!)
(Cirkel, finns med i kursen)
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
6 / 17
Linjära ekvationssystem
Exempel:


3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34


x + 2y + 3z = 26
Tre linjära ekvationer med
tre obekanta (x, y och z).
Uppgift: Bestäm tripplar
av reella tal (x, y , z) sådan
att alla tre ekvationer är
uppfyllda samtidigt.
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
7 / 17
Lösningsmetod: Successiv elimination


3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34


x + 2y + 3z = 26


3x + 2y + z = 39
5
1
⇔
3y + 3z = 8


x + 2y + 3z = 26
-2/3
-1/3
Observera: två ekvationer
med två obekanta y och z.


3x + 2y +
5
⇔
3y +


z = 39
1
3z
36
15 z
=8
=
33
5
z
y,z
(trappform)
Lösa ut de obekanta en
efter en (lätt!):


3x + 2y + z = 39
5
1
⇔
3y + 3z = 8


4
8
3 y + 3 z = 13
Pelle
-4/5
z = 11/4, y = 17/4, x = 37/4.
(Återsubstitution)
Förel. 1
2016-01-18
8 / 17
Räkning med heltal – en praktisk fråga!
De flesta övningsuppgifter ger ekvationssystem med heltalskoefficienter (av
praktiska skäl.)
I exemplet ovan leder successiv elimination till bråkräkning (jobbigt!)
Man kan enkelt undvika onödig bråkräkning (i denna kurs.)


3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34


x + 2y + 3z = 26


3x + 2y + z = 39
5
1
⇔
3y + 3z = 8


x + 2y + 3z = 26
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
9 / 17
Teori
Vi har följande viktiga resultat:
Sats (1, s.9)
Två ekvationssystem är ekvivalenta (har samma lösningar) om det ena
framkommer från det andra genom att man antingen
(i) bytar ordning på ett par av ekvationerna, eller
(ii) multiplicerar en ekvation med ett tal c 6= 0, eller
(iii) adderar en multipel av en ekvation till en annan ekvation.
Bevis.
Man kontrollerar enkelt att alla operationerna (i)–(iii) är reversibla.
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
10 / 17
Historisk anmärkning
Successiv elimination kallas också gausselimination efter den berömda tyska
matematikern C. F. Gauss (1777–1855)
Ekvationssystemet i exemplet kommer från en 2000 år gammal kinesisk lärobok.
Lösningsmetoden är troligtvis mycket äldre än så.
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
11 / 17
“Rektangulära” ekvationssystem
Tre ekv. med två obekanta.
(Överbestämt)


x + y = 1
x + 2y = 2


x + 3y = 4
Två ekv. med tre obekanta.
(Underbestämt)
(
2x + 3y + 4z = 5
4x − 3y + 2z = 1
Förväntning: Oändligt
många lösningar.
Förväntning: Lösningar
saknas.
Definition
1) Antalet ekv. = antalet obekanta: Kvadratiskt ekvationssystem.
2) Antalet ekv. > antalet obekanta: Överbestämt system.
3) Antalet ekvationer < antalet obekanta: Underbestämt system.
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
12 / 17
Matriser
En matris är ett rektangulärt schema av tal.

a11 a12
 a21 a22

A= .
..
 ..
.
am1 am2
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
...
amn





aij är talet på rad i och kolonn j.
A har m rader och n kolonner. vi säger att A en m × n matris.
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
13 / 17
Matriser
Räkneregler
I
Addition: Addera elementen på samma plats.
1 2
5 6
1+5 2+6
6
+
=
=
3 4
7 8
3+7 4+8
10
8
12
OBS: Funkar bara om matriserna är lika stora.
I
Multiplikation med tal: Multiplicera alla elementen med talet.
1 2
5·1 5·2
5 10
5
=
=
3 4
5·3 5·4
15 20
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
14 / 17
Matriser
Räkneregler
I
Likhet: A = B.
betyder att vi har likhet på varje plats i A och B.
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
15 / 17
Matriser
Räkneregler
I
Matrismultiplikation: C = AB.
På plats (i, j) i matrisen C står rad i från A multiplicerad med kolonn j från
B".

1
 3
5

2
1
4 
3
6
2
0

1·1+2·3
= 3·1+4·3
5·1+6·3
 
1·2+2·0
7
3 · 2 + 4 · 0  =  15
5·2+6·0
23

2
6 
10
OBS: Funkar bara om A har lika många kolonner som B har rader.
Oftast blir AB 6= BA.
Om A är m × p, B är p × n blir C m × n.
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
16 / 17
Matriser
Ex:

Låt
1
A= 2
−1
Då blir
1 1
0 1
3 2

1

2
AX =
−1
Och likheten AX = Y blir

,
1
0
3


 
x1
3
X =  x2  ,
Y = 0 
x3
5

 

1
x1
x1 + x2 + x3
1   x2  =  2x1 + x3 
2
x3
−x1 + 3x2

3
 x1 + x2 + x3 =
2x1
+ x3 =
0

−x1 + 3x2
= −5
ett linjärt ekvationssystem!
Pelle
Förel. 1
2016-01-18
17 / 17
Download
Random flashcards
Svenska

105 Cards Anton Piter

organsik kemi

5 Cards oauth2_google_80bad7b3-612c-4f00-b9d5-910c3f3fc9ce

Multiplacation table

156 Cards Антон piter

Fysik

46 Cards oauth2_google_97f6fa87-d6cd-4ae9-bcbf-0f9c2bb34c13

Create flashcards