Linjär algebra förel. 1 Ekvationssystem och matriser Pelle 2016-01-18 Pelle Förel. 1 2016-01-18 1 / 17 Fakta om Linjär algebra I Omfattning: 6hp (4 veckors heltid = 120h) I 19 föreläsningar, 8 övningstillfällen (en varje läsvecka) Ni är: C, E och L I I Kursbok: Gunnar Sparr, Linjär algebra, Studentlitteratur 1994 + Övningshäfte. I Kursregistrering: Jag delar ut listor idag och ytterligare två föreläsningar. I Tentamen: Må 14 mars 8–13. Inga hjälpmedel. Anonym. Pelle Förel. 1 2016-01-18 2 / 17 Kurshemsida Kursen har en enkel hemsida: www.maths.lth.se/matematiklth/personal/pellep/kurser/linalg/. www.maths.lth.se/~pellep/kurser/linalg/. Här hittar du kursinformation och föreläsningsanteckningar m.m. Pelle Förel. 1 2016-01-18 3 / 17 Frågelåda Forum där lärare besvarar alla matematikfrågor: forum.maths.lth.se. Inloggning med StiL-identitet. Pelle Förel. 1 2016-01-18 4 / 17 Linjär algebra = studiet av linjära ekvationer Lätt: Lösningarna utgörs av alla talpar (x, y ) så att Exempel på linjär ekvation: y= 2x + 3y = 5 5 2 − x, 3 3 x ∈ R. Lösningen till uppgiften kan illustreras grafiskt: Terminologi: x, y : obekanta, 2, 3: koefficienter, 5: högerled. y Uppgift: Bestäm alla par av reella tal (x, y ) som uppfyller ekvationen ovan. x (Rät linje) Pelle Förel. 1 2016-01-18 5 / 17 Icke-linjära ekvationer. Exempel: Ekvationen Exempel: Lös ekvationen 4x 2 y = 1 x 2 − 4x + y 2 − 2y = −4. har lösningarna Kvadratkomplettering ger (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1. y Lösningsmängd: y x x (Behandlas ej i linjär algebra!) (Cirkel, finns med i kursen) Pelle Förel. 1 2016-01-18 6 / 17 Linjära ekvationssystem Exempel: 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 Tre linjära ekvationer med tre obekanta (x, y och z). Uppgift: Bestäm tripplar av reella tal (x, y , z) sådan att alla tre ekvationer är uppfyllda samtidigt. Pelle Förel. 1 2016-01-18 7 / 17 Lösningsmetod: Successiv elimination 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 3x + 2y + z = 39 5 1 ⇔ 3y + 3z = 8 x + 2y + 3z = 26 -2/3 -1/3 Observera: två ekvationer med två obekanta y och z. 3x + 2y + 5 ⇔ 3y + z = 39 1 3z 36 15 z =8 = 33 5 z y,z (trappform) Lösa ut de obekanta en efter en (lätt!): 3x + 2y + z = 39 5 1 ⇔ 3y + 3z = 8 4 8 3 y + 3 z = 13 Pelle -4/5 z = 11/4, y = 17/4, x = 37/4. (Återsubstitution) Förel. 1 2016-01-18 8 / 17 Räkning med heltal – en praktisk fråga! De flesta övningsuppgifter ger ekvationssystem med heltalskoefficienter (av praktiska skäl.) I exemplet ovan leder successiv elimination till bråkräkning (jobbigt!) Man kan enkelt undvika onödig bråkräkning (i denna kurs.) 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 3x + 2y + z = 39 5 1 ⇔ 3y + 3z = 8 x + 2y + 3z = 26 Pelle Förel. 1 2016-01-18 9 / 17 Teori Vi har följande viktiga resultat: Sats (1, s.9) Två ekvationssystem är ekvivalenta (har samma lösningar) om det ena framkommer från det andra genom att man antingen (i) bytar ordning på ett par av ekvationerna, eller (ii) multiplicerar en ekvation med ett tal c 6= 0, eller (iii) adderar en multipel av en ekvation till en annan ekvation. Bevis. Man kontrollerar enkelt att alla operationerna (i)–(iii) är reversibla. Pelle Förel. 1 2016-01-18 10 / 17 Historisk anmärkning Successiv elimination kallas också gausselimination efter den berömda tyska matematikern C. F. Gauss (1777–1855) Ekvationssystemet i exemplet kommer från en 2000 år gammal kinesisk lärobok. Lösningsmetoden är troligtvis mycket äldre än så. Pelle Förel. 1 2016-01-18 11 / 17 “Rektangulära” ekvationssystem Tre ekv. med två obekanta. (Överbestämt) x + y = 1 x + 2y = 2 x + 3y = 4 Två ekv. med tre obekanta. (Underbestämt) ( 2x + 3y + 4z = 5 4x − 3y + 2z = 1 Förväntning: Oändligt många lösningar. Förväntning: Lösningar saknas. Definition 1) Antalet ekv. = antalet obekanta: Kvadratiskt ekvationssystem. 2) Antalet ekv. > antalet obekanta: Överbestämt system. 3) Antalet ekvationer < antalet obekanta: Underbestämt system. Pelle Förel. 1 2016-01-18 12 / 17 Matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal. a11 a12 a21 a22 A= . .. .. . am1 am2 ... ... .. . a1n a2n .. . ... amn aij är talet på rad i och kolonn j. A har m rader och n kolonner. vi säger att A en m × n matris. Pelle Förel. 1 2016-01-18 13 / 17 Matriser Räkneregler I Addition: Addera elementen på samma plats. 1 2 5 6 1+5 2+6 6 + = = 3 4 7 8 3+7 4+8 10 8 12 OBS: Funkar bara om matriserna är lika stora. I Multiplikation med tal: Multiplicera alla elementen med talet. 1 2 5·1 5·2 5 10 5 = = 3 4 5·3 5·4 15 20 Pelle Förel. 1 2016-01-18 14 / 17 Matriser Räkneregler I Likhet: A = B. betyder att vi har likhet på varje plats i A och B. Pelle Förel. 1 2016-01-18 15 / 17 Matriser Räkneregler I Matrismultiplikation: C = AB. På plats (i, j) i matrisen C står rad i från A multiplicerad med kolonn j från B". 1 3 5 2 1 4 3 6 2 0 1·1+2·3 = 3·1+4·3 5·1+6·3 1·2+2·0 7 3 · 2 + 4 · 0 = 15 5·2+6·0 23 2 6 10 OBS: Funkar bara om A har lika många kolonner som B har rader. Oftast blir AB 6= BA. Om A är m × p, B är p × n blir C m × n. Pelle Förel. 1 2016-01-18 16 / 17 Matriser Ex: Låt 1 A= 2 −1 Då blir 1 1 0 1 3 2 1 2 AX = −1 Och likheten AX = Y blir , 1 0 3 x1 3 X = x2 , Y = 0 x3 5 1 x1 x1 + x2 + x3 1 x2 = 2x1 + x3 2 x3 −x1 + 3x2 3 x1 + x2 + x3 = 2x1 + x3 = 0 −x1 + 3x2 = −5 ett linjärt ekvationssystem! Pelle Förel. 1 2016-01-18 17 / 17