NUMPROG, 2D1212, vt 2006
Föreläsning 5, Numme-delen
Stabilitet vid numerisk behandling av diffekvationer
Linjära och icke-linjära ekvationssystem
Då steglängden h är tillräckligt liten erhålles en noggrann numerisk
lösning. Hur liten h måste vara beror på vilken ordning p metoden är av.
För Eulers metod är ordningen p = 1 vilken kräver liten steglängd. För
Runge-Kuttas metod är ordningen p = 4, varvid större steg kan tas.
Vad händer då om steglängden blir stor? Här visar det sig att det beror
på metoden om den numeriska lösningen blir stabil eller instabil, dvs om
lösningen blir begränsad eller om den växer obegränsat.
Exempel. Eulers framåtmetod tillämpad på den enkla differentialekvationen
dx
= −x, x(0) = 1, → x(t) = e−t
dt
Följande graf visar den exakta lösningen tillsammans med den numeriska
lösningen för 2 olika steglängder, nämligen h = 0.5 och h = 2.5
Eulers framaatmetod, stsbilitet med avseende paa steget h
2.5
2
1.5
x
1
exakt loesning
0.5
h=0.5
0
−0.5
h=2.5
−1
−1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
3
1
3.5
4
4.5
5
För h = 2.5 blir lösningen instabil, i detta fall oscillerande med växande
amplitud. För h = 0.5 är lösningen stabil och ger hyfsad noggrannhet.
För denna enkla differentialekvation går det att beräkna exakt för vilket
värde på h som lösningen blir instabil. Eulers framåtmetod ger nämligen
rekursionsformeln
xk+1 = xk − hxk = (1 − h)xk = (1 − h)2 xk−1 = . . . (1 − h)k+1x0
Vi ser att talföljden xk är stabil (begränsad) om
|1 − h| ≤ 1 → 0 ≤ h ≤ 2
Lösningen blir alltså instabil om h > 2
Om Eulers bakåtmetod används ser grafen ut på följande sätt
Eulers bakaatmetod, stabilitet med avseende paa steget h
1
0.9
0.8
0.7
x
0.6
h=2.5
0.5
h=0.5
0.4
0.3
exakt loesning
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
3
3.5
4
4.5
5
Eulers bakåtmetod ger alltså stabila lösningar för bägge steglängderna,
även om noggrannheten blir sämre för ökande steglängd.
Implicita metoder som Eulers bakåtmetod är nödvändigt att använda
för en vanlig typ av system av differentialekvationer som kallas styva. Dessa
uppträder i många olika tillämpningar: mekaniska system, kemiska reaktioner, värmeledningsproblem, etc. Om en explicit metod såsom Ringe-Kuttas
metod används måste extremt små steglängder användas för att lösningarna ska bli stabila.
2
