“Strövtåg i matematikens värld”
Problemlapp 5. Kongruensräkning
1. Bestäm det minsta naturliga tal som satisfierar a) x ≡ 45 (mod 4), b) x ≡ −17 (mod 3).
2. Vad blir resten vid division av 411 · 821 + 376 · 297 med 7 ?
3. Vilken rest får man vid division av 20761 med 13 ?
4. Bestäm alla kvadratiska rester modulu 5 (dvs. alla rester mellan 0 och 4 som uppkommer då
man dividerar ett kvadrattal med 5). Ge också två exempel på diofantiska ekvationer vars
olösbarhet följer av resultatet om kvadratiska rester.
5. Bestäm resten vid division av 63111 med 11.
6. Visa att (1747 + 212 )14 − 4 är delbart med 13.
7. Visa att för varje naturligt tal n gäller att 112n + 52n+1 − 6 är delbart med 24.
8. a) Visa att följande diofantiska ekvationer saknar lösningar
a) x2 − 4y 2 = 2,
b) x2 + 5y 2 = 1.000.002.
c) 2x4 + 7y 16 = 7003.
9. Visa att inget tal på formen 4n + 3 kan skrivas som en summa av två kvadrater.
10. Vid lösning av t.ex. problem 5 ovan så vill man gärna hitta potenser av 63 som ligger nära
(skiljer sig med 1 från) multipler av 11. Visa att för att någon av kongruenserna am ≡ 1 (mod b)
och am ≡ −1 (mod b) skall gälla så måste a och b sakna gemensam delare större än 1. (Å andra
sidan, om SGD(a, p) = 1, dvs. a och p saknar gemensam delare och p är ett primtal, så säger
Fermats lilla sats att ap−1 ≡ 1 (mod p) och en generalisering av denna, Eulers sats, säger att
om SGD(a, b) = 1, så är aφ(b) ≡ 1 (mod b), där φ(b) är Eulers totient-funktion som anger
antalet heltal mindre än eller lika med b som saknar gemensam delare större än 1 med b. Vi
kommer att bevisa Fermats lilla sats senare.)
11. Beräkna a) φ(11), b) φ(25), c) φ(30). (De tal som saknar gemensam delare större än ett
med 30 har en egenskap gemensam, vilken? I själva verket är 30 det största tal som har denna
egenskap!)
12. Visa att Eulers sats verkligen är en generalisering av Fermats, dvs. att
φ(n) = n − 1 ⇔ n är primtal.
13. Visa att det inte kan finnas något naturligt tal på formen 8n+7 som kan skrivas som en summa
av tre kvadrater. (Diophantos)
14. Vi har visat att inget tal på formen 8n + 7 kan skrivas som en summa av tre kvadrater. Gauss
visade att det nästan bara är just dessa som har den egenskapen. Att det bara är “nästan”
följer av följande påstående: Om 4|n och n är en summa av tre kvadrater så gäller att även n/4
är en summa av tre kvadrater. Visa detta samt visa att det medför att det finns ytterligare
tal som ej är en summa av tre kvadrater. (Gauss resultat är just att det är dessa och endast
dessa som ej kan skrivas på det angivna sättet.)
