UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Gunnar Berg

Prov i matematik
UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Gunnar Berg
Tel. 471 32 75
Strövtåg ...
Hemtentamen, del 1
2009-06-25
Skrivtid: Till 2009-08-04. Tillåtna hjälpmedel: papper, pennor, böcker och anteckningar;
släktingar och vänner ... Kom ihåg att motivera dina resultat så utförligt du kan.
1. Är följande påståenden sanna, falska eller oavgjorda? (Endast svar skall ges.)
a) Det finns fler reella tal än rationella tal.
b) Om z är ett komplext tal så gäller att z + z och zz är positiva reella tal.
c) Talet 24 är perfekt.
d) Varje jämnt tal är en summa av två primtal.
e) Om vi räknar i basen 6 är 5 · 5 = 41.
2. Visa att 1314 + 1413 är delbart med 3.
3. Visa med induktion formeln
n
X
k=0
5k =
5n+1 − 1
.
4
4. Skriv talet 3211 i basen 7.
√
5. Vilken är den minsta mängd som innehåller talet i (= −1) och som är sluten under
multiplikation? Motivera noga.
√
6. Bestäm de primtal p för vilka 41p + 1 är ett heltal.
√
7. Visa att talen 5 och log5 7 är irrationella. Motivera noga!
8. Bestäm alla primtal mellan 10 och 10000 som har egenskapen att när sista siffran
flyttas fram före den första så blir talet oförändrat.
9. Med hur många nollor avslutas talet 700! om det uttrycks i basen 11 ?
10. Visa att den diofantiska ekvationen x2 − 5y 4 = 2 är olösbar.
11. Är det sant att alla tal på formen n2 − n + 41, där n är ett naturligt tal, är primtal?
Bevis eller motexempel.
12. Visa att det bara finns ett heltal, vars kub är lika med en kvadrat minus ett.
13. Hur visade Euklides att det finns oändligt många primtal?
q
√
√
14. Visa att talen −3/7, 3 3 + 1/ 5 och 3 + i är algebraiska. Är något av dem ett
algebraiskt heltal ?
15. Skriv en mini-essä under rubriken “Mitt favorittal.”
HA EN FIN SOMMAR!