Strövt˚ag i matematikens värld

“Strövtåg i matematikens värld”
Problemlapp 2. Ytterligare problem i talteori
1. Hur många nollor avslutar talet 20! om det skrivs i basen 7? Med hur många nollor avslutar
talet 169! ? (I den vanliga basen.)
2. Visa att summan av tre på varandra följande tal alltid är delbar med 3. Kan resultatet
generaliseras?
3. Undersök för vilka heltal n det finns ett primtal p som uppfyller sambandet
n3 = 5p + 1.
4. Ett heltal består i den vanliga representationen av enbart ettor. Visa att om talet är ett primtal
så måste antalet ettor också vara ett primtal. Gäller omvändningen, dvs. att om antalet ettor
är ett primtal så är talet själv ett primtal?
5. Det sjusiffriga talet n = 72x20y2 är delbart med 72. Vilka är de möjliga värdena på x och y ?
6. Bestäm alla naturliga tal n för vilka exakt två av följande påståenden är sanna
a) talet n + 71 är kvadraten på ett heltal,
b) den sista siffran i n är 2,
c) talet n − 45 är kvadraten på ett heltal.
7. Världens roligaste tal säges vara 142857. Varför? (Se vad som händer när du multiplicerar
med 2, 3, 4 etc.!)
8. Man vet att talet
1 00000 00000 30000 00000 00070 00000 00021
är en produkt av två mindre, positiva heltal. Bestäm dessa.
9. Visa att det inte kan finnas något naturligt tal på formen 8n+7 som kan skrivas som en summa
av tre kvadrater. (Diophantos)
10. Vi har visat att inget tal på formen 8n + 7 kan skrivas som en summa av tre kvadrater. Gauss
visade att det nästan bara är just dessa som har den egenskapen. Att det bara är “nästan”
följer av följande påstående: Om 4|n och n är en summa av tre kvadrater så gäller att även n/4
är en summa av tre kvadrater. Visa detta samt visa att det medför att det finns ytterligare
tal som ej är en summa av tre kvadrater. (Gauss resultat är just att det är dessa och endast
dessa som ej kan skrivas på det angivna sättet.)
11. Bestäm de positiva heltalen a och b om vilka man vet att precis ett av följande påståenden är
falskt:
(1) a + 7b är ett primtal.
(2) a = 2b + 5.
(3) a + 1 är delbart med b.
(4) a + b är delbart med 3.
Gunnar