“Strövtåg i matematikens värld”
Problemlapp 10: Pythagoreiska taltrippler m.m.
1. Låt en rätvinklig triangel ha heltalssidor (i meter) och arean A m2 . Bevisa med hjälp av
resultatet om pythagoreiska trippler att
a) A är ett heltal.
b) A är antingen 6, 30 eller en produkt av minst 4 primtal (ej nödvändigtvis distinkta).
2. Som bekant gäller 32 + 42 = 52 . Visa att om x2 + y 2 = z 2 så gäller
a) ett av talen x, y, z är delbart med 3,
b) ett av talen x, y, z är delbart med 4,
c) ett av talen x, y, z är delbart med 5.
3. Bestäm alla rätvinkliga trianglar vars sidolängder är heltal och som har egenskapen att arean
är lika med omkretsen.
4. Bestäm alla positiva heltalslösningar till ekvationen x2 + y 2 = 1302 . (Ledning: fundera först
på hur det sista talet i en primitiv pythagoreisk triangel kan se ut.)
5. Visa att det till varje heltal n ≥ 3 finns en pythagoreisk triangel med sidlängd n. Visa också
att varje primtal på formen 4n + 1 är längden av hypotenusan i en rätvinklig triangel.
6. Antag att omkretsen av en rätvinklig triangel med heltalssidor är 2pq cm. där p och q är
primtal och p < q. Visa att triangelns area är
(2p − q)(q − p) pq cm2 .
7. Visa att det bara finns ett positivt heltal, vars kub är lika med en kvadrat minus ett. (Detta är
ett specialfall av Catalans förmodan från 1844, som går ut på att 8 och 9 är de enda potenser
som skiljer sig åt med 1, dvs. att den diofantiska ekvationen xm − y n = 1 bara har en enda
lösning om x och y är positiva och m och n är större än 1. Detta bevisades vara sant år 2002
av en rumänsk matematiker, Preda Mihăilescu.)
8. Visa att det finns två heltal som båda kan skrivas som summan av tre kvadrater, men vars
produkt inte har denna egenskap. (Jämför summor av två kvadrater, där dennna situation
inte kan uppkomma. Detsamma gäller som vi skall se för summor av fyra kvadrater.)
9. Lös fullständigt den diofantiska ekvationen x! + y! = z!.
10. Visa att talet
Gunnar
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ... +
1
n
inte är ett heltal om n > 1.
