lasse berglund
Om behovet av bevis
Med hjälp av ett exempel på ett talområde där entydig
primtalsfaktorisering inte gäller samt ett exempel på en felräknande
miniräknare argumenteras det för behovet av bevis i matematiken.
A
ritmetikens fundamentalsats uttalar
att varje heltal större än 1 kan primtalsfaktoriseras på endast ett sätt, så
när som på faktorernas ordning. Exempel:
100 = 22 · 52 27531 = 32 · 7 · 19 · 23
Några andra primfaktoriseringar än de ovan
finns inte för dessa tal, och likadant är det
för alla tal. Primfaktoriseringen är entydig
påstår fundamentalsatsen.
Varför bär denna sats detta stolta namn?
Är inte uttalandet om entydigheten en självklarhet? Det krävs dessutom ett antal hjälpsatser innan man kan bevisa den, så är det
inte mycket väsen för ingenting?
Det satsen påstår är långt ifrån självklart
och resultatet är av grundläggande vikt. För
att belysa detta följer här ett exempel på ett
talsystem där primfaktoriseringen kan ske
på flera sätt.
Vi betraktar nu en annan oändlig mängd
än de naturliga talen N. Vi väljer mängden M
som består av alla tal på formen
ak = 3k + 1 där k är ett heltal > 0,
dvs talen 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 ...
Först måste vi kontrollera att multiplikation av två tal i M inte leder ut ur mängden,
dvs att även produkten är ett tal som ingår i
mängden M. Vi väljer två godtyckliga tal,
(3m +1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + 1 =
3 ( 3mn + m + n) + 1 = 3k + 1
48
Nämnaren nr 3 • 2007
och vi kan konstatera att produkten är ett
tal på M-form. Vi definierar nu begreppen
primtal och sammansatta tal i denna mängd
M på exakt samma sätt som det vanligen
görs bland de naturliga talen N:
Om p > 1 är ett tal i M och om p inte har
några andra M-faktorer än 1 och sig själv
så är p ett primtal i M. Vi kallar dessa tal
M-primtal.
Om a, b och c är tre tal > 1 i M och om a
kan skrivas a = b · c så är a ett sammansatt
tal i M.
Vi skriver upp ett antal tal ur mängden M än
en gång, nu med M-primtalen blå­markerade:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,...
..., 94, 97, 100, 103, ...
Primtalen är framsållade efter samma princip såsom Erathostenes en gång gjorde. Inget
tal innan t ex 10 är en faktor i 10; alltså är 10
ett M-primtal. En mer iögonfallande iakttagelse är följande:
100 = 10 · 10 = 4 · 25
dvs talet 100 i mängden M kan delas upp
i M-primfaktorer på mer än ett sätt. Det
grundläggande resultatet om entydig faktorisering är som synes ingen självklarhet.
Ett bevis behövs. Beviset för Aritmetikens
fundamentalsats kan studeras i de flesta
algebra­böcker ämnade för universitetets
grund­kurser.
a2 = (3k)2 Rationella tal?
Om man på sin räknare, en T-83:a i detta
fall, slår in följande kvotkvadrat och trycker
Enter så får man:
(
)
22 627 417 2
=2
16 · 106
dvs maskinen anger heltalet 2 utan en enda
decimal. Ur detta skulle man kunna dra den
förhastade slutsatsen:
22 627 417
= √2
16 · 106
(
8 460 701
4 884 788
)
=3
Det finns som synes, behov av bevis. Låt oss
utföra ett.
Vi utgår från att räknaren har rätt, dvs
vi antar att √3 kan skrivas som en kvot av
två heltal a och b, dvs vi antar att √3 är rationellt. Som en självklarhet, för att slippa trivialiteter, antar vi dessutom att talen a och
b inte har några gemensamma faktorer, dvs
att de är förkortade så långt det går. Alltså:
√3 =
a
b
Vi kvadrerar och förenklar till a2 = 3b2.
3b2 är delbart med 3 på grund av faktorn 3.
Då måste, pga likheten, även a2 vara delbart
med 3 enligt fundamentalsatsen. För att vi
ska kunna dra slutsatsen att talet a självt är
delbart med 3, gör vi följande betraktelse.
Alla heltal a får resten 0, 1 eller 2 vid divi­
sion med 3, dvs alla heltal a kan skrivas på
någon av följande tre former:
a = 3k
a = 3k+1
a2 = (3k+1)2= 3 (3k2 + 2k) + 1
a2 = (3k+2)2= 3 (3k2 + 4k +1) + 1
Vi kan konstatera att om ett tal i kvadrat är
delbart med 3 så måste talet självt vara delbart med 3. Vi kan därmed gå vidare och
sätta a = 3k. Vår ekvation a2 = 3b2 blir:
(3k)2 = 3b2
9k2 = 3b2
3k2 = b2
en slutsats, som om den vore sann, sannerligen skulle ställa mycket på huvudet. Redan
pythagoréerna­ upptäckte att diagonalen i
en kvadrat med sidan 1 inte kan skrivas som
en kvot av två heltal, dvs √2 är irrationellt.
Här verkar det onekligen som att en pålitlig
assistent som den moderna räknaren påstår
något annat. Ännu ett exempel:
2
= 3 · 3k2
a = 3k+2
där k är ett heltal och där enbart a = 3k är delbart med 3. Vi kvadrerar samtliga former:­
Samma argument som ovan ger att även
talet b är delbart med 3. Men detta strider
mot antagandet att a och b inte har några
gemensamma faktorer.
◊
Vi har fått en motsägelse.
◊
Motsägelsen härstammar från antagandet att √3 är rationellt.
◊
Alltså är √3 irrationellt.
I räknarens tidevarv försvinner ibland
resone­mang som dessa. Det är synd. Matematikens särställning bland världens alla
vetenskaper, dess innersta väsen, utgörs av
det logiska beviset. Nedan ges ytterligare
två lustigheter från vår vän räknaren som
den intresserade läsaren kan roa sig med att
vederlägga genom att t ex anta att räknaren talar sanning och sedan, med algebrans
hjälp, visa på det orimliga i resultaten. Vi
har redan sett en rationell rot-tvåa. Här är
ytterligare en:
(
)
2 500 000 000
1 767 766 953
2
=2
Det verkar finnas fler bråkrepresentanter för detta tal. En annan observation med
räknaren i handen:
(
217 108 671
156 250 000
)
7
= 10
Ska vi dra slutsatsen att 7√10 är rationellt?
litteratur
Om varför 1 inte är ett primtal:
primes.utm.edu/notes/faq/one.html
Nämnaren nr 3 • 2007
49
