LYCKA TILL!

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
TENTAMENSSKRIVNING
DISKRET MATEMATIK
2012–01–13 kl 14–19
Hjälpmedel: Räknedosa. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
Skriv fullständiga meningar och förklara dina beteckningar. Alla svar skall förenklas så
långt som möjligt, kan innehålla binomialkoefficienter eller Stirlingtal, men undvik summatecken Σ i svaret.
1. Man väljer 20 bollar från en låda med 50 vita och 50 röda bollar. Bestäm sannolikheten
a) att alla bollar har samma färg.
b) att man får exakt 10 vita och 10 röda bollar.
2. Visa att varje graf med n ≥ 3 hörn och m ≥ n kanter innehåller minst en cykel.
3. Bestäm alla heltal n sådana att följande tre villkor gäller samtidigt:
• 11n + 3 är delbart med 7,
• 3n + 7 är delbart med 11,
• 7n + 11 är delbart med 3.
4. Betrakta ekvationen x1 + x2 + · · · + xn = 0. Hur många heltallösningar har den om
a) xi = ±1?
b) xi + i ≥ 0?
5. Visa att det finns ett tal som har alla siffrorna lika med 7 och som är delbart med
2011.
6. Låt f och g vara ord i samma alfabet. Låt f ∼ g om f g = gf. Till exempel om
f = XY XY och g = XY så är f g = gf = XY XY XY och f ∼ g. Däremot
XY 6∼ Y X eftersom XY Y X 6= Y XXY.
a) Visa att f ∼ g om och endast om det finns ett ord h sådant att f = hk , g = hl
för några heltal k, l. (I exemplet ovan h = XY, k = 2, l = 1.)
b) Visa att f ∼ g om och endast om f n = g m för några positiva heltal m, n.
c) Visa att ∼ är en ekvivalensrelation.
Man kan använda föregående delproblem även om man inte lyckades att visa dem.
LYCKA TILL!